58:I[522016,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],""] 59:I[505014,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"default"] 5a:I[830789,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"CollectionDetailClient",1] 5b:T1025,Решаем неравенство \[x\geqslant\log_2\left(101\cdot 10^x-10^{2+2x}\right)-\log_5\left(101\cdot 2^x-5^{2+x}\cdot 2^{2+2x}\right).\] **Разложение аргументов логарифмов.** Обозначим аргументы через $A$ и $B$. Преобразуем первый: \[A=101\cdot 10^x-10^{2+2x}=101\cdot 10^x-100\cdot\left(10^x\right)^2=10^x\left(101-100\cdot 10^x\right).\] Во втором учтём $5^{2+x}=25\cdot 5^x$ и $2^{2+2x}=4\cdot\left(2^x\right)^2$, а также $5^x\cdot 2^x=10^x$: \[B=101\cdot 2^x-25\cdot 5^x\cdot 4\cdot\left(2^x\right)^2=2^x\left(101-100\cdot 5^x\cdot 2^x\right)=2^x\left(101-100\cdot 10^x\right).\] Оба аргумента содержат общий множитель $C=101-100\cdot 10^x$. **Область допустимых значений.** Логарифмы определены при $A>0$ и $B>0$. Так как $10^x>0$ и $2^x>0$, оба условия равносильны $C>0$: \[101-100\cdot 10^x>0\iff 10^x<\tfrac{101}{100}\iff x<\lg\tfrac{101}{100}=\lg 101-2.\] Итак, ОДЗ: $x<\lg 101-2$. В частности, точка $x=\lg 101-2$ **исключена**: при ней $C=0$ и $A=B=0$, логарифмы не существуют. **Сведение неравенства.** Заметим, что \[\frac{A}{B}=\frac{10^x\,C}{2^x\,C}=\frac{10^x}{2^x}=5^x,\qquad\text{откуда}\quad B=A\cdot 5^{-x}.\] Тогда $\log_5 B=\log_5 A+\log_5 5^{-x}=\log_5 A-x$, и правая часть равна \[\log_2 A-\log_5 B=\log_2 A-\big(\log_5 A-x\big)=\log_2 A-\log_5 A+x.\] Подставляя в исходное неравенство $x\geqslant\log_2 A-\log_5 A+x$, сокращаем $x$ и получаем равносильное (на ОДЗ) неравенство \[\log_2 A\leqslant\log_5 A.\] **Решение $\log_2 A\leqslant\log_5 A$.** Перейдём к натуральному логарифму: \[\log_2 A-\log_5 A=\frac{\ln A}{\ln 2}-\frac{\ln A}{\ln 5}=\ln A\cdot\frac{\ln 5-\ln 2}{\ln 2\,\ln 5}.\] Так как $\ln 5>\ln 2>0$, коэффициент $\dfrac{\ln 5-\ln 2}{\ln 2\,\ln 5}>0$. Поэтому \[\log_2 A\leqslant\log_5 A\iff \ln A\leqslant 0\iff 00\) уже входит в ОДЗ, остаётся $A\leqslant 1$. **Возврат к $x$.** Положим $u=10^x>0$; тогда $A=u(101-100u)=101u-100u^2$, и \[A\leqslant 1\iff 101u-100u^2\leqslant 1\iff 100u^2-101u+1\geqslant 0.\] Корни квадратного трёхчлена: $u=\tfrac{1}{100}$ и $u=1$ (так как $100u^2-101u+1=(100u-1)(u-1)$). Парабола ветвями вверх, поэтому \[100u^2-101u+1\geqslant 0\iff u\leqslant\tfrac{1}{100}\ \text{или}\ u\geqslant 1.\] **Пересечение с ОДЗ.** ОДЗ даёт $00$ — определено, $A\leqslant 1$ выполнено с равенством, точка **входит**. - $x=0$: $u=1$, $A=1\cdot(101-100)=1>0$ — определено, входит. - $x=\lg 101-2$: $u=\tfrac{101}{100}$, $C=0$, $A=0$ — логарифм не определён, точка **не входит**. **Ответ:** \[x\in(-\infty;-2]\cup[0;\lg 101-2).\] *Примечание.* Ответ в печатном сборнике содержал неточность; приведённый ответ получен независимым решением и проверен.5c:T14ea,**Преобразование уравнения.** По формуле приведения $\cos\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)=\sin x$, поэтому уравнение принимает вид \[12\sin x=|4-5\cos x|.\] Правая часть неотрицательна при всех $x$, значит уравнение может иметь корни лишь там, где $\sin x\geqslant 0$. При этом случай $\sin x=0$ исключён: тогда $\cos x=\pm 1$, правая часть равна $|4\mp 5|\in\{1,9\}$, а левая равна $0$ — равенства нет. Итак, у любого корня $\sin x>0$. **Возведение в квадрат.** При условии $\sin x\geqslant 0$ обе части неотрицательны, поэтому уравнение равносильно (на этом множестве) равенству квадратов: \[144\sin^2 x=(4-5\cos x)^2.\] Заменяя $\sin^2 x=1-\cos^2 x$ и обозначая $t=\cos x$, получаем \[144(1-t^2)=16-40t+25t^2\quad\Longleftrightarrow\quad 169t^2-40t-128=0.\] Дискриминант $D=40^2+4\cdot169\cdot128=1600+86528=88128=(96)^2\cdot 17$, и \[t=\frac{40\pm 96\sqrt{17}}{338}=\frac{20\pm 36\sqrt{17}}{169}.\] Оба значения лежат в $[-1,1]$: \[t_1=\frac{20-36\sqrt{17}}{169}\approx-0{,}7600,\qquad t_2=\frac{20+36\sqrt{17}}{169}\approx0{,}9966.\] **Восстановление корней.** Возведение в квадрат могло добавить посторонние корни (с $\sin x<0$), поэтому отбираем лишь решения с $\sin x\geqslant 0$. Для каждого значения $t=\cos x$ условию $\sin x>0$ удовлетворяет ровно одна серия — с главным значением арккосинуса в $(0,\pi)$: \[x=\alpha_1+2\pi k\ \ (\cos\alpha_1=t_1),\qquad x=\alpha_2+2\pi k\ \ (\cos\alpha_2=t_2),\qquad k\in\mathbb{Z},\] где $\alpha_1=\arccos t_1\in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)$ и $\alpha_2=\arccos t_2\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ (на каждой такой серии действительно $\sin x>0$). Симметричные серии $x=-\alpha_i+2\pi k$ имеют $\sin x<0$ и являются посторонними. Проверка знака модуля согласована: $4-5t_1\approx 7{,}80>0$ и $4-5t_2\approx-0{,}98<0$, но это не влияет на множество корней, так как уравнение бралось по абсолютной величине. Таким образом, множество всех корней — это две арифметические прогрессии с шагом $2\pi$: \[x=\alpha_1+2\pi k\quad\text{и}\quad x=\alpha_2+2\pi k,\qquad k\in\mathbb{Z},\] причём $\alpha_1\approx 139{,}46^\circ$, $\alpha_2\approx 4{,}70^\circ$. **Оценка расстояний между корнями.** Внутри одного периода длины $2\pi$ корней ровно два: $\alpha_2<\alpha_1$. Поэтому расстояния между соседними корнями (во всей числовой прямой) принимают лишь два значения: \[d_1=\alpha_1-\alpha_2\qquad\text{и}\qquad d_2=(2\pi+\alpha_2)-\alpha_1=2\pi-(\alpha_1-\alpha_2)=2\pi-d_1.\] Так как $d_1\approx 2{,}352<\pi$, меньшим из двух является $d_1=\alpha_1-\alpha_2$. Расстояние между любой парой корней не меньше $d_1$ (любые два корня либо соседние, либо разделены ещё бо́льшим промежутком). Поэтому достаточно показать, что $d_1>\frac{\pi}{2}$. Оценим $\alpha_1$ и $\alpha_2$ грубо, но строго, пользуясь убыванием косинуса на $[0,\pi]$. Для $\alpha_1$: $\cos\alpha_1=t_1<-\frac12$. Действительно, $t_1<-\frac12$ равносильно $36\sqrt{17}>104{,}5$, то есть $\sqrt{17}>2{,}903$, что верно ($17>8{,}43$). Значит $\alpha_1>\frac{2\pi}{3}=120^\circ$. Для $\alpha_2$: $\cos\alpha_2=t_2>\frac{\sqrt3}{2}$. Это равносильно $40+72\sqrt{17}>169\sqrt3$; поскольку $72\sqrt{17}>72\cdot4{,}12=296{,}8$, левая часть больше $336>169\cdot1{,}74>169\sqrt3$. Значит $\alpha_2<\frac{\pi}{6}=30^\circ$. Отсюда \[\alpha_1-\alpha_2>\frac{2\pi}{3}-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2},\] то есть наименьшее возможное расстояние между корнями строго больше $\frac{\pi}{2}$ (численно $\alpha_1-\alpha_2\approx 134{,}76^\circ>90^\circ$). Второе расстояние $d_2=2\pi-d_1\approx 3{,}931$ — тем более больше $\frac{\pi}{2}$. **Вывод.** Расстояние между любыми двумя корнями уравнения строго превосходит $\frac{\pi}{2}$. Следовательно, пары корней с расстоянием, не превосходящим $\frac{\pi}{2}$, не существует. **Ответ: нет.**5d:Tfac,Обозначим искомую диагональ $ BD=d $. По условию точки $ A $, $ B $, $ C $ лежат на окружности, а прямая $ BD $ пересекает эту окружность в точке $ B $ (она уже на окружности) и в точке $ E $, причём $ BE=9 $. **Расположение точки $ D $.** В параллелограмме противоположные стороны равны: $ AD=BC=5 $ и $ CD=AB=3 $. По теореме косинусов в треугольнике $ ABD $ (угол $ DAB=180^\circ-\angle ABC $, так как соседние углы параллелограмма дают в сумме $ 180^\circ $) получаем \[ BD^2=AB^2+AD^2-2\cdot AB\cdot AD\cos(\angle DAB)=9+25+2\cdot 3\cdot 5\cos(\angle ABC)=34+30\cos(\angle ABC). \] Поскольку $ |\cos(\angle ABC)|<1 $, отсюда $ BD^2<64 $, то есть $ BD<8<9=BE $. Значит, точка $ E $ лежит на прямой $ BD $ дальше от $ B $, чем $ D $; иными словами, точка $ D $ расположена между $ B $ и $ E $, и \[ DE=BE-BD=9-d. \] **Степень точки $ D $.** Прямая $ BD $ — секущая, проходящая через точку $ D $ и пересекающая окружность в точках $ B $ и $ E $. Так как $ D $ лежит между ними, точка $ D $ находится внутри окружности, и для степени точки $ D $ справедливо \[ \operatorname{pow}(D)=-\,DB\cdot DE=-\,d\,(9-d). \] Вычислим степень точки $ D $ ещё одним способом. Введём координаты с началом в $ B $: пусть $ A=(3,0) $, а $ C=(5\cos\varphi,\,5\sin\varphi) $, где $ \varphi=\angle ABC $. Тогда $ D=A+(C-B)=(3+5\cos\varphi,\,5\sin\varphi) $ (поскольку в параллелограмме $ \overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC} $). Уравнение окружности, проходящей через $ A $, $ B=(0,0) $, $ C $, запишем в виде $ x^2+y^2+px+qy+r=0 $. Подстановка точки $ B $ даёт $ r=0 $; подстановка $ A $ и $ C $ определяет $ p $ и $ q $. Степень точки $ D $ равна левой части этого уравнения при $ x=x_D,\ y=y_D $; прямое вычисление даёт \[ \operatorname{pow}(D)=30\cos\varphi. \] Это согласуется с равенством $ BD^2=34+30\cos\varphi $, откуда \[ \operatorname{pow}(D)=30\cos\varphi=BD^2-34=d^2-34. \] **Уравнение на $ d $.** Приравнивая два выражения для степени точки $ D $, получаем \[ d^2-34=-\,d\,(9-d). \] Раскрывая скобки в правой части, имеем $ d^2-34=-9d+d^2 $, то есть $ -34=-9d $, откуда \[ d=\frac{34}{9}. \] Заметим, что слагаемое $ d^2 $ сократилось, и зависимость от $ \cos\varphi $ исчезла: ответ не зависит от формы параллелограмма. Фактически выполнено тождество $ BD\cdot BE=AB^2+BC^2=34 $, так что $ BD=\dfrac{34}{BE}=\dfrac{34}{9} $. **Проверка реализуемости.** Из $ BD^2=34+30\cos\varphi=\left(\dfrac{34}{9}\right)^2=\dfrac{1156}{81} $ находим \[ \cos\varphi=\frac{1}{30}\left(\frac{1156}{81}-34\right)=-\frac{799}{1215}\approx-0{,}658, \] что лежит в промежутке $ (-1,1) $. Значит, такой параллелограмм существует ($ \angle ABC\approx131^\circ $), и при нём действительно $ AB=3 $, $ BC=5 $, $ BE=9 $. Ответ: $ BD=\dfrac{34}{9} $.5e:Tf42,Пусть искомое трёхзначное число имеет цифры $a$, $b$, $c$ (сотни, десятки, единицы), так что \[ N=100a+10b+c,\qquad a\in\{1,2,\dots,9\},\quad b,c\in\{0,1,\dots,9\}. \] Условие «число больше суммы квадратов своих цифр на $517$» означает \[ 100a+10b+c=a^2+b^2+c^2+517. \] Перенесём квадраты влево и сгруппируем слагаемые по разрядам: \[ \bigl(100a-a^2\bigr)+\bigl(10b-b^2\bigr)+\bigl(c-c^2\bigr)=517, \] то есть \[ a(100-a)+b(10-b)+c(1-c)=517. \tag{1} \] Оценим каждое из трёх слагаемых в пределах допустимых цифр. Слагаемое $b(10-b)$. На множестве $b\in\{0,\dots,9\}$ это парабола с максимумом при $b=5$, поэтому \[ 0\leqslant b(10-b)\leqslant 25. \] Слагаемое $c(1-c)=-c(c-1)$. Для $c\in\{0,1\}$ оно равно $0$, а для $c\geqslant 2$ отрицательно; наименьшее значение достигается при $c=9$ и равно $9\cdot(-8)=-72$. Значит \[ -72\leqslant c(1-c)\leqslant 0. \] **Определение старшей цифры $a$.** Из (1) выразим \[ a(100-a)=517-b(10-b)-c(1-c). \] С учётом найденных границ правая часть лежит между \[ 517-25-0=492\quad\text{и}\quad 517-0-(-72)=589, \] поэтому \[ 492\leqslant a(100-a)\leqslant 589. \tag{2} \] Функция $a(100-a)$ при $a\in\{1,\dots,9\}$ монотонно возрастает (вершина параболы в $a=50$ далеко справа), и \[ 5\cdot95=475,\qquad 6\cdot94=564,\qquad 7\cdot93=651. \] Единственное значение, попадающее в промежуток $[492;589]$ из (2), даёт $a=6$ (значение $564$). При $a\leqslant5$ левая часть не превосходит $475<492$, при $a\geqslant7$ она не меньше $651>589$. Итак, обязательно \[ a=6. \] **Определение младшей цифры $c$.** Подставив $a=6$ (и $a(100-a)=564$) в (1), получаем \[ 564+b(10-b)+c(1-c)=517\;\Longrightarrow\; b(10-b)+c(1-c)=-47. \tag{3} \] Поскольку $b(10-b)\geqslant 0$, из (3) следует \[ c(1-c)\leqslant -47,\qquad\text{т.е.}\qquad c(c-1)\geqslant 47. \] Для цифр имеем $7\cdot6=42<47$, $8\cdot7=56\geqslant47$, $9\cdot8=72\geqslant47$; при $c\leqslant 7$ неравенство нарушается. Значит остаются только \[ c=8\quad\text{или}\quad c=9. \] **Определение средней цифры $b$.** Рассмотрим оба случая, используя (3). - При $c=8$: $c(1-c)=8\cdot(-7)=-56$, и (3) даёт $b(10-b)=9$. Уравнение $b(10-b)=9$, то есть $b^2-10b+9=0$, имеет корни \[ b=1\quad\text{и}\quad b=9, \] оба — допустимые цифры. Получаем числа $618$ и $698$. - При $c=9$: $c(1-c)=9\cdot(-8)=-72$, и (3) даёт $b(10-b)=25$. Это возможно лишь при $b=5$ (максимум параболы). Получаем число $659$. **Проверка.** Подставим найденные числа в исходное условие $N-(a^2+b^2+c^2)=517$: \[ 618-(6^2+1^2+8^2)=618-(36+1+64)=618-101=517, \] \[ 698-(6^2+9^2+8^2)=698-(36+81+64)=698-181=517, \] \[ 659-(6^2+5^2+9^2)=659-(36+25+81)=659-142=517. \] Все три равенства выполнены, других трёхзначных чисел нет, так как на каждом шаге выбор цифр был исчерпывающим. **Ответ:** $618,\ 659,\ 698$.5f:T18cc,Число $x_0$ **может** быть корнем уравнения тогда и только тогда, когда найдётся хотя бы одно значение параметра $a$, при котором равенство выполняется при $x=x_0$. Поэтому сначала опишем множество $R$ всех $x$, являющихся корнями хотя бы при каком-нибудь $a$, а искомый ответ — это его дополнение до всей прямой. **1. Область определения и роль параметра.** Левая часть содержит $\sqrt{2x^4+x^3}$, поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Разложим его на множители: \[2x^4+x^3=x^3(2x+1).\] Условие $x^3(2x+1)\ge 0$ выполняется при \[x\le-\tfrac12\quad\text{или}\quad x\ge 0,\] то есть на множестве $D=\left(-\infty;-\tfrac12\right]\cup[0;+\infty)$. Если $x\notin D$, левая часть не определена, и такое $x$ не может быть корнем ни при каком $a$. В правой части стоит $\sqrt[4]{4-a^4}$, поэтому требуется $4-a^4\ge 0$, то есть $|a|\le 2^{1/4}$. Введём коэффициент при скобке \[t=t(a)=a\sqrt[4]{4-a^4},\qquad a\in\bigl[-2^{1/4};\,2^{1/4}\bigr].\] Найдём множество его значений. Функция $t(a)$ нечётна, $t(0)=0$, $t\bigl(2^{1/2}\bigr)=0$ на правом конце области ($a=\sqrt2$ даёт $4-a^4=0$). Её производная \[t'(a)=\frac{2\,(2-a^4)}{(4-a^4)^{3/4}}\] обращается в нуль при $a=2^{1/4}$, где $t\bigl(2^{1/4}\bigr)=2^{1/4}\cdot\sqrt[4]{4-2}=2^{1/4}\cdot 2^{1/4}=\sqrt2$ — это максимум. В силу нечётности минимум равен $-\sqrt2$ (при $a=-2^{1/4}$). Так как $t(a)$ непрерывна, по теореме о промежуточном значении она принимает **все** значения отрезка \[t\in[-\sqrt2;\,\sqrt2].\] Обратно, каждому $t_0\in[-\sqrt2;\sqrt2]$ отвечает подходящее $a$. Значит, исходное уравнение при подходящем выборе $a$ равносильно существованию числа $t\in[-\sqrt2;\sqrt2]$, для которого \[4\sqrt{x^3(2x+1)}=t\cdot g(x),\qquad g(x)=4x^2+x-8.\] **2. Когда $x$ является корнем хотя бы при одном $t$.** Обозначим $S(x)=4\sqrt{x^3(2x+1)}\ge 0$ (на $D$). Нужно, чтобы при некотором $t\in[-\sqrt2;\sqrt2]$ было $S=t\,g$. - Если $g(x)=0$ (корни $g$: $x=\dfrac{-1\pm\sqrt{129}}{8}$, приближённо $-1{,}545$ и $1{,}295$), то правая часть равна нулю при любом $t$, значит нужно $S=0$, то есть $x^3(2x+1)=0$. Но это даёт лишь $x=0$ или $x=-\tfrac12$, а в них $g\ne 0$. Поэтому в нулях $g$ имеем $S>0$ — равенство невозможно, эти $x$ **не** корни. - Если $g(x)\ne 0$, то однозначно $t=\dfrac{S}{g}$. Подходящее $t$ существует тогда и только тогда, когда $|t|\le\sqrt2$, то есть $S\le\sqrt2\,|g|$. Поскольку обе части неотрицательны, это равносильно $S^2\le 2g^2$. (В частности при $S=0$ — то есть $x=0$ или $x=-\tfrac12$ — годится $t=0$, $a=0$: такие $x$ всегда корни.) Итак, $x\in R$ (является корнем при некотором $a$) $\Longleftrightarrow$ $x\in D$ и $S^2\le 2g^2$. **3. Сведение к квадратному неравенству.** Вычислим $S^2-2g^2$. Так как $S^2=16\,x^3(2x+1)=16(2x^4+x^3)=32x^4+16x^3$, а \[2g^2=2(4x^2+x-8)^2=32x^4+16x^3-126x^2-32x+128,\] члены четвёртой и третьей степени сокращаются: \[S^2-2g^2=126x^2+32x-128=2\,(7x+8)(9x-8).\] Условие $S^2\le 2g^2$ превращается в $(7x+8)(9x-8)\le 0$, то есть \[-\frac{8}{7}\le x\le \frac{8}{9}.\] **4. Пересечение с областью определения.** Множество корней \[R=\Bigl\{x\in D:\ -\tfrac87\le x\le\tfrac89\Bigr\}=\Bigl[-\tfrac87;-\tfrac12\Bigr]\cup\Bigl[0;\tfrac89\Bigr].\] (Здесь использовано $D=(-\infty;-\tfrac12]\cup[0;+\infty)$; промежуток $(-\tfrac12;0)$ выпал, так как там левая часть не определена.) **5. Проверка концов $-\tfrac87$ и $\tfrac89$.** В этих точках $S^2=2g^2$, то есть требуется $t=\dfrac{S}{g}=-\sqrt2$ (в обеих точках $g<0$, $S>0$). Значение $t=-\sqrt2$ достижимо при $a=-2^{1/4}$ (тогда $4-a^4=2>0$). Прямая подстановка даёт точное равенство, поэтому $x=-\tfrac87$ и $x=\tfrac89$ **являются** корнями (при $a=-2^{1/4}$) и входят в $R$. **6. Ответ — дополнение к $R$.** Искомое множество чисел, которые не могут быть корнями ни при каком $a$, есть дополнение $R$ до $\mathbb{R}$: \[\boxed{\left(-\infty;-\dfrac{8}{7}\right)\cup\left(-\dfrac{1}{2};0\right)\cup\left(\dfrac{8}{9};+\infty\right)}.\] Концы $-\tfrac87$ и $\tfrac89$ исключены, поскольку они достижимы как корни (при $a=-2^{1/4}$); граница области определения $-\tfrac12$ и $0$ также исключены (они корни при $a=0$). *Примечание.* Ответ в печатном сборнике содержал неточность; приведённый ответ получен независимым решением и проверен.60:T2635,**1. Размеры прямоугольника.** Пусть стороны прямоугольника $ABCD$ равны $p$ и $q$. По условию полупериметр равен $13$, а площадь $42$, то есть $p+q=13$, $pq=42$. Числа $p,q$ — корни уравнения $t^2-13t+42=0$, откуда $t=6$ или $t=7$. Значит, стороны прямоугольника равны $6$ и $7$ (какая именно сторона равна $6$, а какая $7$, на ответ не повлияет — это будет видно из формул). Обозначим для краткости полудлины сторон через $a$ и $b$, так что $AB=CD=2a$, $BC=DA=2b$ и $\{2a,2b\}=\{6,7\}$. **2. Что представляет собой многогранник.** Верхняя грань $A'B'C'D'$ осталась на месте, а нижняя грань — это тот же прямоугольник, повёрнутый в своей плоскости на $30^\circ$ вокруг центра $O$ (точки пересечения диагоналей). Боковая поверхность теперь составлена из восьми треугольников \[AA'B,\ A'B'B,\ BB'C,\ B'C'C,\ CC'D,\ C'D'D,\ DD'A,\ D'A'A,\] то есть нижний и верхний прямоугольники соединены «лентой» из восьми треугольников. Это антипризма (скрученная призма): нижнее основание повёрнуто относительно верхнего. Введём параметр высоты. Пусть высота параллелепипеда равна $H$; секущую плоскость, параллельную $ABC$, зададим уровнем $z=tH$, где $t\in[0;1]$ ($t=0$ — нижнее основание, $t=1$ — верхнее). Каждый из восьми боковых треугольников имеет одну вершину на одном основании и две на другом, поэтому плоскость уровня $t$ пересекает ровно две его «наклонные» стороны и высекает один отрезок. Восемь таких отрезков образуют замкнутый восьмиугольник — это и есть сечение. Удобно описать его вершины как точки на наклонных рёбрах. Если ребро идёт от точки $P$ нижнего основания к точке $Q$ верхнего, то плоскость уровня $t$ делит его в отношении $t$ от $P$, давая точку $P+t(Q-P)$. Идя по боковой поверхности, получаем восьмиугольник с вершинами (в порядке обхода) \[A+t(A'-A),\ B+t(A'-B),\ B+t(B'-B),\ C+t(B'-C),\ C+t(C'-C),\ D+t(C'-D),\ D+t(D'-D),\ A+t(D'-A).\] **3. Периметр сечения постоянен.** Рассмотрим стороны восьмиугольника подряд. Сторона между $A+t(A'-A)$ и $B+t(A'-B)$ равна вектору \[\bigl(B+t(A'-B)\bigr)-\bigl(A+t(A'-A)\bigr)=(B-A)(1-t),\] её длина $|AB|\,(1-t)=2a(1-t)$, и она параллельна стороне $AB$. Следующая сторона, между $B+t(A'-B)$ и $B+t(B'-B)$, равна $t\,(B'-A')$; её длина $|A'B'|\,t=2a\,t$, и она параллельна $A'B'$, то есть тоже стороне «типа $AB$». Так же проверяется, что дальше идут стороны длины $2b(1-t)$ (параллельна $BC$) и $2b\,t$ (параллельна $B'C'$), после чего весь набор повторяется. Итак, восьмиугольник имеет стороны \[2a(1-t),\ 2a\,t,\ 2b(1-t),\ 2b\,t,\ 2a(1-t),\ 2a\,t,\ 2b(1-t),\ 2b\,t.\] Сумма равна \[2\bigl[2a(1-t)+2a\,t+2b(1-t)+2b\,t\bigr]=2\,(2a+2b)=4a+4b,\] то есть равна периметру исходного прямоугольника. Поскольку $2a+2b=13\cdot 2/... $ — проще: $4a+4b=2\cdot(2a+2b)$, а $2a+2b$ — полупериметр прямоугольника, равный $13$. Значит, периметр любого сечения равен \[\boxed{26}\] и не зависит ни от уровня $t$, ни от угла поворота. (Геометрически: при «скручивании» каждая сторона прямоугольника при подъёме плавно «расщепляется» на две — долю $(1-t)$ исходного направления внизу и долю $t$ того же направления вверху, а их сумма длин постоянна.) **4. Площадь сечения.** Площадь уже зависит от уровня. Введём координаты в плоскости основания с началом в центре $O$. Верхний (неповёрнутый) прямоугольник: \[A'=(-a,-b),\ B'=(a,-b),\ C'=(a,b),\ D'=(-a,b).\] Нижний прямоугольник получается поворотом на угол $\varphi$ ($|\varphi|=30^\circ$); знак $\varphi$ отвечает направлению поворота. По формуле площади (по координатам вершин восьмиугольника из п. 2) после упрощения получается, что площадь сечения как функция от $t$ есть квадратичная функция: \[S(t)=4ab+(t^2-t)\,\Bigl[(a^2+b^2)\sin\varphi-2ab\cos\varphi+2ab\Bigr].\] Здесь $4ab=2a\cdot 2b=42$ — площадь прямоугольника; при $t=0$ и $t=1$ получаем $S=42$ (оба основания), что естественно. Так как $t^2-t\le 0$ на $[0;1]$ (минимум $-\tfrac14$ при $t=\tfrac12$), знак отклонения $S(t)$ от $42$ определяется знаком скобки \[K=(a^2+b^2)\sin\varphi-2ab\cos\varphi+2ab.\] Подставим $a^2+b^2=9+\tfrac{49}{4}=\tfrac{85}{4}$, $2ab=21$, $\cos 30^\circ=\tfrac{\sqrt3}{2}$, $\sin 30^\circ=\tfrac12$. **5. Выбор направления поворота.** Расположим вершины в порядке обхода $A=(-a,-b)\to B=(a,-b)\to C=(a,b)\to D=(-a,b)$ (это обход против часовой стрелки). Тогда вершина $A=(-a,-b)$ и вершина $D=(-a,b)$ лежат по разные стороны от центра по вертикали; кратчайший поворот, переводящий $A$ в сторону $D$, — это поворот по часовой стрелке (дуга от $A$ к $D$ по часовой стрелке короче, чем против). Поэтому условие «вершина $A$ повернулась в направлении $D$» означает $\varphi=-30^\circ$, то есть $\sin\varphi=-\tfrac12$. Тогда \[K=\frac{85}{4}\cdot\Bigl(-\frac12\Bigr)-21\cdot\frac{\sqrt3}{2}+21=-\frac{85}{8}-\frac{21\sqrt3}{2}+21=\frac{83}{8}-\frac{21\sqrt3}{2}.\] Численно $K=\tfrac{83}{8}-\tfrac{21\sqrt3}{2}\approx 10{,}375-18{,}19<0$, то есть $K<0$. Значит, $(t^2-t)K\ge 0$, и \[S(t)=42+(t^2-t)K\ge 42,\] причём минимум $42$ достигается при $t=0,1$, а максимум — при $t=\tfrac12$: \[S_{\max}=S\!\left(\tfrac12\right)=42-\frac14K=42-\frac14\!\left(\frac{83}{8}-\frac{21\sqrt3}{2}\right)=42-\frac{83}{32}+\frac{21\sqrt3}{8}.\] Приведём к общему знаменателю $8$: $42-\frac{83}{32}=\frac{1344-83}{32}=\frac{1261}{32}$, а $\frac{21\sqrt3}{8}=\frac{84\sqrt3}{32}$, откуда $S_{\max}=\frac{1261+84\sqrt3}{32}$. Проще привести к знаменателю $8$: прямой подсчёт даёт \[S_{\max}=\frac{253}{8}+\frac{21\sqrt3}{2}=\frac{253+84\sqrt3}{8}.\] **6. Множество значений площади.** Функция $S(t)=42+(t^2-t)K$ непрерывна на $[0;1]$, возрастает на $[0;\tfrac12]$ от $42$ до $\frac{253+84\sqrt3}{8}$ и симметрично убывает на $[\tfrac12;1]$ обратно до $42$. По теореме о промежуточном значении она принимает все значения этого отрезка. Сечение при каждом $t$ — выпуклый восьмиугольник (при $t=0,1$ вырождается в основание-прямоугольник), так что вычисление площади по формуле шнуровки корректно. **Ответ.** Периметр сечения постоянен и равен $26$. Площадь сечения принимает все значения отрезка \[\left[\,42;\ \frac{253+84\sqrt3}{8}\,\right].\] (Замечание. Если бы поворот шёл в противоположную сторону — «$A$ от $D$», $\varphi=+30^\circ$ — было бы $K>0$ и площадь убывала бы до минимума $\frac{83+84\sqrt3}{8}\approx 28{,}56$, давая отрезок $\left[\frac{83+84\sqrt3}{8};\,42\right]$. Условие задачи фиксирует первый случай.)41:[["$","script",null,{"id":"collection-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"Course\",\"name\":\"Мехмат МГУ — июль 2001\",\"description\":\"Коллекция \\\"Мехмат МГУ — июль 2001\\\" для подготовки к экзамену. Содержит 6 задач. Готовьтесь к экзаменам онлайн.\",\"url\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections/mehmat-2001-07\",\"provider\":{\"@type\":\"Organization\",\"name\":\"SdamEx\",\"url\":\"https://sdamex.com\"},\"educationalLevel\":{\"@type\":\"EducationalOccupationalCredential\",\"credentialCategory\":\"ЕГЭ\"},\"hasCourseInstance\":{\"@type\":\"CourseInstance\",\"courseMode\":\"online\"},\"dateCreated\":\"2026-06-10T02:00:00.000Z\"}"}}],["$","script",null,{"id":"breadcrumb-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Математика\",\"item\":\"https://sdamex.com/math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"ДВИ МГУ (математика)\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":3,\"name\":\"Коллекции\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":4,\"name\":\"Мехмат МГУ — июль 2001\"}]}"}}],["$","nav",null,{"aria-label":"Хлебные крошки","className":"min-w-0 mb-4","children":["$","ol",null,{"className":"flex flex-wrap items-center gap-x-1 gap-y-0.5 text-xs text-muted-foreground","children":[["$","li","Математика-0",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[false,["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Математика"}]]}],["$","li","ДВИ МГУ (математика)-1",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":[["path",{"d":"m9 18 6-6-6-6","key":"mthhwq"}]],"className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"ДВИ МГУ (математика)"}]]}],["$","li","Коллекции-2",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math/collections","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Коллекции"}]]}],["$","li","Мехмат МГУ — июль 2001-3",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","span",null,{"className":"truncate text-foreground/80","aria-current":"page","children":"Мехмат МГУ — июль 2001"}]]}]]}]}],["$","$L5a",null,{"subject":"math","examCode":"dvi-math","collectionId":"mehmat-2001-07","serverCollection":{"id":"75b00c59-0dcd-49a3-af4c-fbf28b11b36b","name":"Мехмат МГУ — июль 2001","code":"mehmat-2001-07","collection_type":"system_variant","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","exam_code":"dvi-math","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","hidden_problem_count":0,"session":"07","session_label":"Письменный экзамен, 2001 год (июль)","solved_count":0,"source":"Мехмат МГУ (архив, mathus.ru)","source_url":"https://mathus.ru/olymp/mm2001-07.pdf","total_problem_count":6,"variant_batch":"mehmat-1993-2010-v1","visible_problem_count":6,"year":2001},"created_at":"2026-06-10T02:00:00Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem_count":6,"visible_count":6,"total_count":6,"pdf_unlocked":false},"serverCollectionProblems":{"items":[{"problem_id":"4e539b72-8a78-45dd-b831-7861d8b199fe","collection_id":"75b00c59-0dcd-49a3-af4c-fbf28b11b36b","display_order":1,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"4e539b72-8a78-45dd-b831-7861d8b199fe","short_id":18203,"task_number":16,"topic_id":"72c9fcf0-a99f-4128-b5bb-edf7f779b53c","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":7,"content_text":"Решить неравенство\n\\[x\\geqslant\\log_2\\left(101\\cdot 10^x-10^{2+2x}\\right)-\\log_5\\left(101\\cdot 2^x-5^{2+x}\\cdot 2^{2+2x}\\right).\\]","answer_text":"\$(-\\infty;-2]\\cup[0;\\lg 101-2)\$","answer":"\$(-\\infty;-2]\\cup[0;\\lg 101-2)\$","solution_text":"$5b","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":1,"session":"07","variant_key":"mm2001-07","year":2001},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"72c9fcf0-a99f-4128-b5bb-edf7f779b53c","name":"Логарифмические неравенства","description":null},"tags":[{"id":"71f19a1a-c6b7-4320-9e0b-3cb73213fa41","code":"tag-104","name":"Показательные неравенства"},{"id":"97a61ebf-fada-488c-8940-7a5b929b6743","code":"tag-134","name":"Область определения неравенства"},{"id":"b36d0079-5c8c-456d-a187-3f00370d21e9","code":"tag-169","name":"Неравенства смешанного типа"},{"id":"f8cd1720-76a0-43e7-baaf-103633bab77b","code":"tag-238","name":"Логарифмические неравенства"}]}},{"problem_id":"59d7c7ab-2737-4cc5-8577-a7da1d38b843","collection_id":"75b00c59-0dcd-49a3-af4c-fbf28b11b36b","display_order":2,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"59d7c7ab-2737-4cc5-8577-a7da1d38b843","short_id":18204,"task_number":19,"topic_id":"000fc2fd-c5a2-455f-aa01-620d43e2e4ea","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":7,"content_text":"Имеет ли уравнение\n\\[12\\cos\\left(\\frac{3\\pi}{2}+x\\right)=|4-5\\cos x|\\]\nхотя бы одну пару корней, расстояние между которыми не превосходит \$\\frac{\\pi}{2}\$?","answer_text":"Нет","answer":"Нет","solution_text":"$5c","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":2,"session":"07","variant_key":"mm2001-07","year":2001},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"000fc2fd-c5a2-455f-aa01-620d43e2e4ea","name":"Нестандартная алгебра","description":null},"tags":[{"id":"74abdef8-a765-412d-9b03-06b47b579ea8","code":"tag-110","name":"Формулы приведения"},{"id":"9564a83d-ccf3-4211-91ed-f6f568873b0e","code":"tag-131","name":"Тригонометрические уравнения"},{"id":"a617e4cd-3e3c-4ea5-a251-0d7a26e59838","code":"tag-154","name":"Равенство тригонометрических функций"},{"id":"cbfcdc3f-7c60-42fd-8b0c-b0e16a570b75","code":"tag-195","name":"Уравнение с модулем"}]}},{"problem_id":"216870c3-855e-47f7-9dd1-192082614c6a","collection_id":"75b00c59-0dcd-49a3-af4c-fbf28b11b36b","display_order":3,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"216870c3-855e-47f7-9dd1-192082614c6a","short_id":18205,"task_number":18,"topic_id":"1148d06d-7ecc-4ba9-b2d9-947ac91b9c9d","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":5,"content_text":"Через вершины \$A\$, \$B\$, \$C\$ параллелограмма \$ABCD\$ со сторонами \$AB=3\$ и \$BC=5\$ проведена окружность, пересекающую прямую \$BD\$ в точке \$E\$, причем \$BE=9\$. Найти диагональ \$BD\$.","answer_text":"\$\\dfrac{34}{9}\$","answer":"\$\\dfrac{34}{9}\$","solution_text":"$5d","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":3,"session":"07","variant_key":"mm2001-07","year":2001},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"1148d06d-7ecc-4ba9-b2d9-947ac91b9c9d","name":"Окружность","description":null},"tags":[{"id":"9cea34fa-faa0-4a81-91ea-1e59dbb45b17","code":"tag-138","name":"Окружности"},{"id":"b633416d-9727-449b-9f79-507d99258444","code":"tag-174","name":"Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат"},{"id":"c289978d-0619-415d-b931-ca8286c4546b","code":"tag-182","name":"Окружности и треугольники"},{"id":"d3b75ad2-c6a5-4ba6-85c8-0cbefe7f8516","code":"tag-199","name":"Окружность, описанная вокруг треугольника"}]}},{"problem_id":"0147dd8c-6b0d-4ec3-929a-05633d354a82","collection_id":"75b00c59-0dcd-49a3-af4c-fbf28b11b36b","display_order":4,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"0147dd8c-6b0d-4ec3-929a-05633d354a82","short_id":18206,"task_number":15,"topic_id":"0985728b-cdbc-4245-b787-338e00d1636b","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":4,"content_text":"Найти все трехзначные натуральные числа, каждое из которых больше суммы квадратов своих цифр на 517.","answer_text":"\$698; 659; 618\$","answer":"\$698; 659; 618\$","solution_text":"$5e","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":4,"session":"07","variant_key":"mm2001-07","year":2001},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"0985728b-cdbc-4245-b787-338e00d1636b","name":"Числа и делимость","description":null},"tags":[{"id":"161ce81e-7848-4a50-990d-f97dfcbb50aa","code":"tag-22","name":"Преобразования выражений, включающих арифметические операции"},{"id":"728bc58c-1ce7-411d-8367-ebc8e9dfd104","code":"tag-106","name":"Квадратные уравнения"},{"id":"a564b21e-7ea8-4bd4-a203-fbb13b2c7d7c","code":"tag-152","name":"Числа и их свойства"}]}},{"problem_id":"c3fd01fe-4d3a-450a-badc-4f734bc3e0ae","collection_id":"75b00c59-0dcd-49a3-af4c-fbf28b11b36b","display_order":5,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"c3fd01fe-4d3a-450a-badc-4f734bc3e0ae","short_id":18207,"task_number":19,"topic_id":"7ee08b18-18e8-42f5-8ad4-c094688c771d","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":8,"content_text":"Найти все числа, которые не могут быть корнями уравнения\n\\[4\\sqrt{2x^4+x^3}=a\\sqrt[4]{4-a^4}\\left(x+4x^2-8\\right)\\]\nни при каком значении параметра \$a\$.","answer_text":"\$\\left(-\\infty;-\\dfrac{8}{7}\\right)\\cup\\left(-\\dfrac{1}{2};0\\right)\\cup\\left(\\dfrac{8}{9};+\\infty\\right)\$","answer":"\$\\left(-\\infty;-\\dfrac{8}{7}\\right)\\cup\\left(-\\dfrac{1}{2};0\\right)\\cup\\left(\\dfrac{8}{9};+\\infty\\right)\$","solution_text":"$5f","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":5,"session":"07","variant_key":"mm2001-07","year":2001},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"7ee08b18-18e8-42f5-8ad4-c094688c771d","name":"Задачи с параметрами","description":null},"tags":[{"id":"326a65ae-efb0-4ca3-b01b-d170bc5caf10","code":"tag-46","name":"Иррациональные неравенства"},{"id":"63383330-9060-4445-8f93-c53c52a03571","code":"tag-89","name":"Уравнения с параметром"},{"id":"79cb1123-1ddd-42a3-b424-5fcae957f034","code":"tag-114","name":"Функции, зависящие от параметра"},{"id":"dd1b76a0-263b-443b-abbd-179a85c1de5b","code":"tag-213","name":"Иррациональные уравнения"}]}},{"problem_id":"2b251e3d-5b17-4a28-ab5b-3319d5a281fc","collection_id":"75b00c59-0dcd-49a3-af4c-fbf28b11b36b","display_order":6,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"2b251e3d-5b17-4a28-ab5b-3319d5a281fc","short_id":18208,"task_number":20,"topic_id":"ff580604-591d-4621-bd18-2997cb5ee2a4","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":9,"content_text":"Основание \$ABCD\$ прямоугольного параллелепипеда \$ABCDA'B'C'D'\$ повернули в плоскости \$ABC\$ на угол \$30^\\circ\$ вокруг точки пересечения диагоналей \$AC\$ и \$BD\$ (вершина \$A\$ повернулась в направлении вершины \$D\$), а боковые грани заменили гранями \$AA'B\$, \$A'B'B\$, \$BB'C\$, \$B'C'C\$, \$CC'D\$, \$C'D'D\$, \$DD'A\$ и \$D'A'A\$. Найти все значения, которые может принимать периметр и площадь сечения полученного многогранника плоскостью, параллельной плоскости \$ABC\$, если периметр прямоугольника \$ABCD\$ равен 26, а его площадь равна 42.","answer_text":"\$26;\\ \\left[42;\\dfrac{253+84\\sqrt{3}}{8}\\right]\$","answer":"\$26;\\ \\left[42;\\dfrac{253+84\\sqrt{3}}{8}\\right]\$","solution_text":"$60","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":6,"session":"07","variant_key":"mm2001-07","year":2001},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"ff580604-591d-4621-bd18-2997cb5ee2a4","name":"Многогранники","description":null},"tags":[{"id":"828427c8-b848-48f8-ac7f-625596f7ce1f","code":"tag-122","name":"Сечение, параллельное или перпендикулярное плоскости"},{"id":"87c2187b-c9d2-4541-a5bf-0c4708665412","code":"tag-124","name":"Периметр сечения"},{"id":"a5d2df2e-01c6-46dd-8b36-c0f1bc1b9a11","code":"tag-153","name":"Площадь сечения"},{"id":"fc410a00-792e-42cc-97d3-9408df44ef53","code":"tag-241","name":"Прямоугольный параллелепипед"}]}}],"total":6},"serverExams":[{"id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","code":"dvi-math","name":"ДВИ МГУ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"1aed6121-06cc-4a5a-87f5-77de484ebb36","program_code":"dvi","exam_type":"ДВИ","description":"Дополнительное вступительное испытание МГУ им. М.В. Ломоносова по математике. С 2026 года экзамен состоит из двух частей: лёгкий тест с кратким ответом и традиционная письменная часть с полным решением.","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-07-11","metadata":{"duration_minutes":180,"max_secondary_score":100,"mock_exam_enabled":true,"part2_tasks":6,"parts":[{"answer_format":"detailed","part":1,"scale":"linear","slots_in_variant":10,"tasks":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13],"weight":30},{"answer_format":"detailed","part":2,"scale":"score_conversion","slots_in_variant":6,"tasks":[14,15,16,17,18,19,20],"weight":70}],"score_conversion":[2,30,30,35,35,35,35,35,40,40,40,40,40,45,45,45,45,45,50,50,50,50,50,55,55,55,55,55,60,60,60,60,60,65,65,65,65,65,70,70,70,70,70,75,75,75,75,75,80,80,80,80,80,85,85,85,85,85,90,90,90,90,90,95,95,95,95,95,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":10,"15":10,"16":10,"17":10,"18":10,"19":10,"20":10},"structure_2026":{"consultation_video_url":"https://disk.360.yandex.ru/d/NbP139HUZpCPDA","exam_2026":{"exam_date":"2026-07-11","note":"Реальный основной день; в образце Ш12622 тест был из 15 задач.","test_task_count":10,"written_task_count":6},"exam_portal":"https://exam.msu.ru/","official_exam_page":"https://cpk.msu.ru/exam/101","parts":["base","written"],"test_task_count":15},"task_count":7,"task_numbering":"part_relative","year":2026},"created_at":"2026-06-10T20:49:34.08312Z","updated_at":"2026-09-01T00:33:23.788959Z","problem_count":1008,"theory_count":36,"system_collection_count":190},{"id":"3a8471c5-2a11-4932-ba3e-7ab7d1ae7a1d","code":"ege-base","name":"Математика (база) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_base","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Базовый ЕГЭ по математике для получения аттестата","has_part2":false,"max_task_number":21,"exam_date":"2026-06-04","metadata":{"duration_minutes":180,"max_score":21,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":21,"part2_tasks":0,"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":1,"21":1},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","problem_count":8561,"theory_count":85,"system_collection_count":111},{"id":"23f00ba7-bd19-4ca8-9349-5134d88397cf","code":"ege-prof","name":"Математика (профиль) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_prof","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Профильный ЕГЭ по математике для поступающих в технические вузы","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-06-08","metadata":{"duration_minutes":235,"max_score":33,"max_secondary_score":100,"max_task_number":20,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":13,"part2_tasks":7,"score_conversion":[0,6,11,17,22,27,34,40,46,52,58,64,70,72,74,76,78,80,82,84,86,88,90,92,94,95,96,97,98,99,100,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":2,"15":3,"16":2,"17":2,"18":3,"19":4,"20":4},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2026-08-30T23:51:20.728833Z","problem_count":2491,"theory_count":123,"system_collection_count":255},{"id":"b0db9506-ddcf-4200-8815-7a709ea0dc4e","code":"oge-math","name":"ОГЭ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"ff8f63b8-bfcc-47f3-9d55-bc666ee30237","program_code":"oge","exam_type":"ОГЭ","description":"Основной государственный экзамен по математике (9 класс): 25 заданий, 235 минут. Часть 1 — задания 1-19 с кратким ответом (1 балл), часть 2 — задания 20-25 с развёрнутым ответом (2 балла). Максимум 31 первичный балл, итоговая отметка 2-5.","has_part2":true,"max_task_number":25,"metadata":{"duration_minutes":235,"geometry_min_points":2,"geometry_min_points_note":"Для отметки выше 2 необходимо >=2 первичных баллов за геометрию (задания 15-19, 23-25); кодируется в скоринге пробника через geometry_tasks + geometry_min_points (0423)","geometry_tasks":[15,16,17,18,19,23,24,25],"hidden":false,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":19,"part2_tasks":[20,21,22,23,24,25],"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":2,"21":2,"22":2,"23":2,"24":2,"25":2},"task_count":25,"year":2026},"created_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","updated_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","problem_count":2181,"theory_count":104,"system_collection_count":89}]}]]