Имеет ли уравнение 12cos((3pi)/(2)+x)=|4-5cos x| хотя бы одну пару корней, расстояние между которыми не превосходит (pi)/(2)?

**Преобразование уравнения.** По формуле приведения cos((3pi)/(2)+x)=sin x, поэтому уравнение принимает вид 12sin x=|4-5cos x|. Правая часть неотрицательна при всех x, значит уравнение может иметь корни лишь там, где sin x 0. При этом случай sin x=0 исключён: тогда cos x=+- 1, правая часть равна |4-+ 5|in1,9, а левая равна 0 — равенства нет. Итак, у любого корня sin x>0. **Возведение в квадрат.** При условии sin x 0 обе части неотрицательны, поэтому уравнение равносильно (на этом множестве) равенству квадратов: 144sin^2 x=(4-5cos x)^2. Заменяя sin^2 x=1-cos^2 x и обозначая t=cos x, получаем 144(1-t^2)=16-40t+25t^2 169t^2-40t-128=0. Дискриминант D=40^2+4*169*128=1600+86528=88128=(96)^2* 17, и t=(40+- 96sqrt(17))/(338)=(20+- 36sqrt(17))/(169). Оба значения лежат в [-1,1]: t_1=(20-36sqrt(17))/(169)~-0,7600, t_2=(20+36sqrt(17))/(169)~0,9966. **Восстановление корней.** Возведение в квадрат могло добавить посторонние корни (с sin x<0), поэтому отбираем лишь решения с sin x 0. Для каждого значения t=cos x условию sin x>0 удовлетворяет ровно одна серия — с главным значением арккосинуса в (0,pi): x=_1+2pi k (cos_1=t_1), x=_2+2pi k (cos_2=t_2), kinZ, где _1=arccos t_1in((pi)/(2),pi) и _2=arccos t_2in(0,(pi)/(2)) (на каждой такой серии действительно sin x>0). Симметричные серии x=-_i+2pi k имеют sin x<0 и являются посторонними. Проверка знака модуля согласована: 4-5t_1~ 7,80>0 и 4-5t_2~-0,98<0, но это не влияет на множество корней, так как уравнение бралось по абсолютной величине. Таким образом, множество всех корней — это две арифметические прогрессии с шагом 2pi: x=_1+2pi k и x=_2+2pi k, kinZ, причём _1~ 139,46^, _2~ 4,70^. **Оценка расстояний между корнями.** Внутри одного периода длины 2pi корней ровно два: _2<_1. Поэтому расстояния между соседними корнями (во всей числовой прямой) принимают лишь два значения: d_1=_1-_2 и d_2=(2pi+_2)-_1=2pi-(_1-_2)=2pi-d_1. Так как d_1~ 2,352<pi, меньшим из двух является d_1=_1-_2. Расстояние между любой парой корней не меньше d_1 (любые два корня либо соседние, либо разделены ещё бо́льшим промежутком). Поэтому достаточно показать, что d_1>(pi)/(2). Оценим _1 и _2 грубо, но строго, пользуясь убыванием косинуса на [0,pi]. Для _1: cos_1=t_1<-12. Действительно, t_1<-12 равносильно 36sqrt(17)>104,5, то есть sqrt(17)>2,903, что верно (17>8,43). Значит _1>(2pi)/(3)=120^. Для _2: cos_2=t_2>(3)/(2). Это равносильно 40+72sqrt(17)>1693; поскольку 72sqrt(17)>72*4,12=296,8, левая часть больше 336>169*1,74>1693. Значит _2<(pi)/(6)=30^. Отсюда _1-_2>(2pi)/(3)-(pi)/(6)=(pi)/(2), то есть наименьшее возможное расстояние между корнями строго больше (pi)/(2) (численно _1-_2~ 134,76^>90^). Второе расстояние d_2=2pi-d_1~ 3,931 — тем более больше (pi)/(2). **Вывод.** Расстояние между любыми двумя корнями уравнения строго превосходит (pi)/(2). Следовательно, пары корней с расстоянием, не превосходящим (pi)/(2), не существует. **Ответ: нет.**

Нет