Задача №18204

Имеет ли уравнение

$$12\cos \left(\frac{3\pi }{2}+x\right)=|4-5\cos x|$$

хотя бы одну пару корней, расстояние между которыми не превосходит $\frac{\pi }{2}\text{?}$

Преобразование уравнения. По формуле приведения $\cos \left(\frac{3\pi }{2}+x\right)=\sin x\text{,}$ поэтому уравнение принимает вид

$$12\sin x=|4-5\cos x|.$$

Правая часть неотрицательна при всех $x\text{,}$ значит уравнение может иметь корни лишь там, где $\sin x⩾0\text{.}$ При этом случай $\sin x=0$ исключён: тогда $\cos x=\pm 1\text{,}$ правая часть равна $|4\mp 5|\in \{1,9\}\text{,}$ а левая равна $0$ — равенства нет. Итак, у любого корня $\sin x>0\text{.}$

Возведение в квадрат. При условии $\sin x⩾0$ обе части неотрицательны, поэтому уравнение равносильно (на этом множестве) равенству квадратов:

$$144{\sin }^{2}x=(4-5\cos x{)}^2.$$

Заменяя ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$ и обозначая $t=\cos x\text{,}$ получаем

$$144(1-t^2)=16-40t+25t^2⟺169t^2-40t-128=0.$$

Дискриминант $D=40^2+4\cdot 169\cdot 128=1600+86528=88128=(96{)}^2\cdot 17\text{,}$ и

$$t=\frac{40\pm 96\sqrt{17}}{338}=\frac{20\pm 36\sqrt{17}}{169}.$$

Оба значения лежат в $[-1,1]\text{:}$

$$t_1=\frac{20-36\sqrt{17}}{169}\approx -0,7600,t_2=\frac{20+36\sqrt{17}}{169}\approx 0,9966.$$

Восстановление корней. Возведение в квадрат могло добавить посторонние корни (с $\sin x<0$), поэтому отбираем лишь решения с $\sin x⩾0\text{.}$ Для каждого значения $t=\cos x$ условию $\sin x>0$ удовлетворяет ровно одна серия — с главным значением арккосинуса в $(0,\pi )\text{:}$

$$x={\alpha }_1+2\pi k(\cos {\alpha }_1=t_1),x={\alpha }_2+2\pi k(\cos {\alpha }_2=t_2),k\in \mathbb{Z},$$

где ${\alpha }_1=\arccos t_1\in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$ и ${\alpha }_2=\arccos t_2\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ (на каждой такой серии действительно $\sin x>0$). Симметричные серии $x=-{\alpha }_i+2\pi k$ имеют $\sin x<0$ и являются посторонними. Проверка знака модуля согласована: $4-5t_1\approx 7,80>0$ и $4-5t_2\approx -0,98<0\text{,}$ но это не влияет на множество корней, так как уравнение бралось по абсолютной величине.

Таким образом, множество всех корней — это две арифметические прогрессии с шагом $2\pi \text{:}$

$$x={\alpha }_1+2\pi k\text{и}x={\alpha }_2+2\pi k,k\in \mathbb{Z},$$

причём ${\alpha }_1\approx 139,46^{\circ }\text{,}$ ${\alpha }_2\approx 4,70^{\circ }\text{.}$

Оценка расстояний между корнями. Внутри одного периода длины $2\pi$ корней ровно два: ${\alpha }_2<{\alpha }_1\text{.}$ Поэтому расстояния между соседними корнями (во всей числовой прямой) принимают лишь два значения:

$$d_1={\alpha }_1-{\alpha }_2\text{и}{d}_2=(2\pi +{\alpha }_2)-{\alpha }_1=2\pi -({\alpha }_1-{\alpha }_2)=2\pi -d_1.$$

Так как $d_1\approx 2,352<\pi \text{,}$ меньшим из двух является $d_1={\alpha }_1-{\alpha }_2\text{.}$ Расстояние между любой парой корней не меньше $d_1$ (любые два корня либо соседние, либо разделены ещё бо́льшим промежутком). Поэтому достаточно показать, что $d_1>\frac{\pi }{2}\text{.}$

Оценим ${\alpha }_1$ и ${\alpha }_2$ грубо, но строго, пользуясь убыванием косинуса на $[0,\pi ]\text{.}$

Для ${\alpha }_1\text{:}$ $\cos {\alpha }_1=t_1<-\frac{1}{2}\text{.}$ Действительно, $t_1<-\frac{1}{2}$ равносильно $36\sqrt{17}>104,5\text{,}$ то есть $\sqrt{17}>2,903\text{,}$ что верно ($17>8,43$). Значит ${\alpha }_1>\frac{2\pi }{3}=120^{\circ }\text{.}$

Для ${\alpha }_2\text{:}$ $\cos {\alpha }_2=t_2>\frac{\sqrt{3}}{2}\text{.}$ Это равносильно $40+72\sqrt{17}>169\sqrt{3}\text{;}$ поскольку $72\sqrt{17}>72\cdot 4,12=296,8\text{,}$ левая часть больше $336>169\cdot 1,74>169\sqrt{3}\text{.}$ Значит ${\alpha }_2<\frac{\pi }{6}=30^{\circ }\text{.}$

Отсюда

$${\alpha }_1-{\alpha }_2>\frac{2\pi }{3}-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2},$$

то есть наименьшее возможное расстояние между корнями строго больше $\frac{\pi }{2}$ (численно ${\alpha }_1-{\alpha }_2\approx 134,76^{\circ }>90^{\circ }$). Второе расстояние $d_2=2\pi -d_1\approx 3,931$ — тем более больше $\frac{\pi }{2}\text{.}$

Вывод. Расстояние между любыми двумя корнями уравнения строго превосходит $\frac{\pi }{2}\text{.}$ Следовательно, пары корней с расстоянием, не превосходящим $\frac{\pi }{2}\text{,}$ не существует.

Ответ: нет.