Решить неравенство x_2(101* 10^x-10^(2+2x))-_5(101* 2^x-5^(2+x)* 2^(2+2x)).

Решаем неравенство x_2(101* 10^x-10^(2+2x))-_5(101* 2^x-5^(2+x)* 2^(2+2x)). **Разложение аргументов логарифмов.** Обозначим аргументы через A и B. Преобразуем первый: A=101* 10^x-10^(2+2x)=101* 10^x-100*(10^x)^2=10^x(101-100* 10^x). Во втором учтём 5^(2+x)=25* 5^x и 2^(2+2x)=4*(2^x)^2, а также 5^x* 2^x=10^x: B=101* 2^x-25* 5^x* 4*(2^x)^2=2^x(101-100* 5^x* 2^x)=2^x(101-100* 10^x). Оба аргумента содержат общий множитель C=101-100* 10^x. **Область допустимых значений.** Логарифмы определены при A>0 и B>0. Так как 10^x>0 и 2^x>0, оба условия равносильны C>0: 101-100* 10^x>0 10^x<(101)/(100) x<lg(101)/(100)=lg 101-2. Итак, ОДЗ: x<lg 101-2. В частности, точка x=lg 101-2 **исключена**: при ней C=0 и A=B=0, логарифмы не существуют. **Сведение неравенства.** Заметим, что (A)/(B)=(10^xC)/(2^xC)=(10^x)/(2^x)=5^x, откуда B=A* 5^(-x). Тогда _5 B=_5 A+_5 5^(-x)=_5 A-x, и правая часть равна _2 A-_5 B=_2 A-(_5 A-x)=_2 A-_5 A+x. Подставляя в исходное неравенство x_2 A-_5 A+x, сокращаем x и получаем равносильное (на ОДЗ) неравенство _2 A_5 A. **Решение _2 A_5 A.** Перейдём к натуральному логарифму: _2 A-_5 A=(ln A)/(ln 2)-(ln A)/(ln 5)=ln A*(ln 5-ln 2)/(ln 2ln 5). Так как ln 5>ln 2>0, коэффициент (ln 5-ln 2)/(ln 2ln 5)>0. Поэтому _2 A_5 A ln A 0 0<A 1. Условие A>0 уже входит в ОДЗ, остаётся A 1. **Возврат к x.** Положим u=10^x>0; тогда A=u(101-100u)=101u-100u^2, и A 1 101u-100u^2 1 100u^2-101u+1 0. Корни квадратного трёхчлена: u=(1)/(100) и u=1 (так как 100u^2-101u+1=(100u-1)(u-1)). Парабола ветвями вверх, поэтому 100u^2-101u+1 0 u(1)/(100) или u 1. **Пересечение с ОДЗ.** ОДЗ даёт 0<u<(101)/(100). Пересекая с (u(1)/(100))U(u 1), получаем 0<u(1)/(100) или 1 u<(101)/(100). Переходя к x=lg u: | множество по u | множество по x | |---|---| | 0<u(1)/(100) | x(1)/(100)=-2 | | 1 u<(101)/(100) | 0 x<lg(101)/(100)=lg 101-2 | Проверим включение/исключение краёв. - x=-2: u=(1)/(100), A=(1)/(100)* 100=1>0 — определено, A 1 выполнено с равенством, точка **входит**. - x=0: u=1, A=1*(101-100)=1>0 — определено, входит. - x=lg 101-2: u=(101)/(100), C=0, A=0 — логарифм не определён, точка **не входит**. **Ответ:** xin(-inf;-2]U[0;lg 101-2). *Примечание.* Ответ в печатном сборнике содержал неточность; приведённый ответ получен независимым решением и проверен.

\((-\infty;-2]\cup[0;\lg 101-2)\)