Задача №18203

Решить неравенство

$$x⩾{\log }_2\left(101\cdot 10^x-10^{2+2x}\right)-{\log }_5\left(101\cdot 2^x-5^{2+x}\cdot 2^{2+2x}\right).$$

Решаем неравенство

$$x⩾{\log }_2\left(101\cdot 10^x-10^{2+2x}\right)-{\log }_5\left(101\cdot 2^x-5^{2+x}\cdot 2^{2+2x}\right).$$

Разложение аргументов логарифмов. Обозначим аргументы через $A$ и $B\text{.}$ Преобразуем первый:

$$A=101\cdot 10^x-10^{2+2x}=101\cdot 10^x-100\cdot {\left(10^x\right)}^2=10^x\left(101-100\cdot 10^x\right).$$

Во втором учтём $5^{2+x}=25\cdot 5^x$ и $2^{2+2x}=4\cdot {\left(2^x\right)}^2\text{,}$ а также $5^x\cdot 2^x=10^x\text{:}$

$$B=101\cdot 2^x-25\cdot 5^x\cdot 4\cdot {\left(2^x\right)}^2=2^x\left(101-100\cdot 5^x\cdot 2^x\right)=2^x\left(101-100\cdot 10^x\right).$$

Оба аргумента содержат общий множитель $C=101-100\cdot 10^x\text{.}$

Область допустимых значений. Логарифмы определены при $A>0$ и $B>0\text{.}$ Так как $10^x>0$ и $2^x>0\text{,}$ оба условия равносильны $C>0\text{:}$

$$101-100\cdot 10^x>0⟺10^x<\frac{101}{100}⟺x<\lg \frac{101}{100}=\lg 101-2.$$

Итак, ОДЗ: $x<\lg 101-2\text{.}$ В частности, точка $x=\lg 101-2$ исключена: при ней $C=0$ и $A=B=0\text{,}$ логарифмы не существуют.

Сведение неравенства. Заметим, что

$$\frac{A}{B}=\frac{10^{x}C}{2^{x}C}=\frac{10^x}{2^x}=5^x,\text{откуда}B=A\cdot 5^{-x}.$$

Тогда ${\log }_{5}B={\log }_{5}A+{\log }_5{5}^{-x}={\log }_{5}A-x\text{,}$ и правая часть равна

$${\log }_{2}A-{\log }_{5}B={\log }_{2}A-({\log }_{5}A-x)={\log }_{2}A-{\log }_{5}A+x.$$

Подставляя в исходное неравенство $x⩾{\log }_{2}A-{\log }_{5}A+x\text{,}$ сокращаем $x$ и получаем равносильное (на ОДЗ) неравенство

$${\log }_{2}A⩽{\log }_{5}A.$$

Решение ${\log }_{2}A⩽{\log }_{5}A\text{.}$ Перейдём к натуральному логарифму:

$${\log }_{2}A-{\log }_{5}A=\frac{\ln A}{\ln 2}-\frac{\ln A}{\ln 5}=\ln A\cdot \frac{\ln 5-\ln 2}{\ln 2\ln 5}.$$

Так как $\ln 5>\ln 2>0\text{,}$ коэффициент $\frac{\ln 5-\ln 2}{\ln 2\ln 5}>0\text{.}$ Поэтому

$${\log }_{2}A⩽{\log }_{5}A⟺\ln A⩽0⟺0<A⩽1.$$

Условие $A>0$ уже входит в ОДЗ, остаётся $A⩽1\text{.}$

Возврат к $x\text{.}$ Положим $u=10^x>0\text{;}$ тогда $A=u(101-100u)=101u-100u^2\text{,}$ и

$$A⩽1⟺101u-100u^2⩽1⟺100u^2-101u+1⩾0.$$

Корни квадратного трёхчлена: $u=\frac{1}{100}$ и $u=1$ (так как $100u^2-101u+1=(100u-1)(u-1)$). Парабола ветвями вверх, поэтому

$$100u^2-101u+1⩾0⟺u⩽\frac{1}{100}\text{или}u⩾1.$$

Пересечение с ОДЗ. ОДЗ даёт $0<u<\frac{101}{100}\text{.}$ Пересекая с $\left(u⩽\frac{1}{100}\right)\cup \left(u⩾1\right)\text{,}$ получаем

$$0<u⩽\frac{1}{100}\text{или}1⩽u<\frac{101}{100}.$$

Переходя к $x=\lg u\text{:}$

Проверим включение/исключение краёв.

• $x=-2\text{:}$ $u=\frac{1}{100}\text{,}$ $A=\frac{1}{100}\cdot 100=1>0$ — определено, $A⩽1$ выполнено с равенством, точка входит.
• $x=0\text{:}$ $u=1\text{,}$ $A=1\cdot (101-100)=1>0$ — определено, входит.
• $x=\lg 101-2\text{:}$ $u=\frac{101}{100}\text{,}$ $C=0\text{,}$ $A=0$ — логарифм не определён, точка не входит.

Ответ:

$$x\in (-\infty ;-2]\cup [0;\lg 101-2).$$

Примечание. Ответ в печатном сборнике содержал неточность; приведённый ответ получен независимым решением и проверен.