Задача №18206

Найти все трехзначные натуральные числа, каждое из которых больше суммы квадратов своих цифр на 517.

Пусть искомое трёхзначное число имеет цифры $a\text{,}$ $b\text{,}$ $c$ (сотни, десятки, единицы), так что

Условие «число больше суммы квадратов своих цифр на $517$» означает

Перенесём квадраты влево и сгруппируем слагаемые по разрядам:

то есть

Оценим каждое из трёх слагаемых в пределах допустимых цифр.

Слагаемое $b(10-b)\text{.}$ На множестве $b\in \{0,\dots ,9\}$ это парабола с максимумом при $b=5\text{,}$ поэтому

Слагаемое $c(1-c)=-c(c-1)\text{.}$ Для $c\in \{0,1\}$ оно равно $0\text{,}$ а для $c⩾2$ отрицательно; наименьшее значение достигается при $c=9$ и равно $9\cdot (-8)=-72\text{.}$ Значит

Определение старшей цифры $a\text{.}$ Из (1) выразим

С учётом найденных границ правая часть лежит между

поэтому

Функция $a(100-a)$ при $a\in \{1,\dots ,9\}$ монотонно возрастает (вершина параболы в $a=50$ далеко справа), и

Единственное значение, попадающее в промежуток $[492;589]$ из (2), даёт $a=6$ (значение $564$). При $a⩽5$ левая часть не превосходит $475<492\text{,}$ при $a⩾7$ она не меньше $651>589\text{.}$ Итак, обязательно

Определение младшей цифры $c\text{.}$ Подставив $a=6$ (и $a(100-a)=564$) в (1), получаем

Поскольку $b(10-b)⩾0\text{,}$ из (3) следует

Для цифр имеем $7\cdot 6=42<47\text{,}$ $8\cdot 7=56⩾47\text{,}$ $9\cdot 8=72⩾47\text{;}$ при $c⩽7$ неравенство нарушается. Значит остаются только

Определение средней цифры $b\text{.}$ Рассмотрим оба случая, используя (3).

• При $c=8\text{:}$ $c(1-c)=8\cdot (-7)=-56\text{,}$ и (3) даёт $b(10-b)=9\text{.}$ Уравнение $b(10-b)=9\text{,}$ то есть $b^2-10b+9=0\text{,}$ имеет корни

оба — допустимые цифры. Получаем числа $618$ и $698\text{.}$

• При $c=9\text{:}$ $c(1-c)=9\cdot (-8)=-72\text{,}$ и (3) даёт $b(10-b)=25\text{.}$ Это возможно лишь при $b=5$ (максимум параболы). Получаем число $659\text{.}$

Проверка. Подставим найденные числа в исходное условие $N-(a^2+b^2+c^2)=517\text{:}$

Все три равенства выполнены, других трёхзначных чисел нет, так как на каждом шаге выбор цифр был исчерпывающим.

Ответ: $618,659,698\text{.}$