Найти все трехзначные натуральные числа, каждое из которых больше суммы квадратов своих цифр на 517.

Пусть искомое трёхзначное число имеет цифры a, b, c (сотни, десятки, единицы), так что N=100a+10b+c, ain1,2,,9, b,cin0,1,,9. Условие «число больше суммы квадратов своих цифр на 517» означает 100a+10b+c=a^2+b^2+c^2+517. Перенесём квадраты влево и сгруппируем слагаемые по разрядам: (100a-a^2)+(10b-b^2)+(c-c^2)=517, то есть a(100-a)+b(10-b)+c(1-c)=517. 1 Оценим каждое из трёх слагаемых в пределах допустимых цифр. Слагаемое b(10-b). На множестве bin0,,9 это парабола с максимумом при b=5, поэтому 0 b(10-b) 25. Слагаемое c(1-c)=-c(c-1). Для cin0,1 оно равно 0, а для c 2 отрицательно; наименьшее значение достигается при c=9 и равно 9*(-8)=-72. Значит -72 c(1-c) 0. **Определение старшей цифры a.** Из (1) выразим a(100-a)=517-b(10-b)-c(1-c). С учётом найденных границ правая часть лежит между 517-25-0=492 и 517-0-(-72)=589, поэтому 492 a(100-a) 589. 2 Функция a(100-a) при ain1,,9 монотонно возрастает (вершина параболы в a=50 далеко справа), и 5*95=475, 6*94=564, 7*93=651. Единственное значение, попадающее в промежуток [492;589] из (2), даёт a=6 (значение 564). При a5 левая часть не превосходит 475<492, при a7 она не меньше 651>589. Итак, обязательно a=6. **Определение младшей цифры c.** Подставив a=6 (и a(100-a)=564) в (1), получаем 564+b(10-b)+c(1-c)=517(10-b)+c(1-c)=-47. 3 Поскольку b(10-b) 0, из (3) следует c(1-c) -47, т.е. c(c-1) 47. Для цифр имеем 7*6=42<47, 8*7=5647, 9*8=7247; при c 7 неравенство нарушается. Значит остаются только c=8 или c=9. **Определение средней цифры b.** Рассмотрим оба случая, используя (3). - При c=8: c(1-c)=8*(-7)=-56, и (3) даёт b(10-b)=9. Уравнение b(10-b)=9, то есть b^2-10b+9=0, имеет корни b=1 и b=9, оба — допустимые цифры. Получаем числа 618 и 698. - При c=9: c(1-c)=9*(-8)=-72, и (3) даёт b(10-b)=25. Это возможно лишь при b=5 (максимум параболы). Получаем число 659. **Проверка.** Подставим найденные числа в исходное условие N-(a^2+b^2+c^2)=517: 618-(6^2+1^2+8^2)=618-(36+1+64)=618-101=517, 698-(6^2+9^2+8^2)=698-(36+81+64)=698-181=517, 659-(6^2+5^2+9^2)=659-(36+25+81)=659-142=517. Все три равенства выполнены, других трёхзначных чисел нет, так как на каждом шаге выбор цифр был исчерпывающим. **Ответ:** 618, 659, 698.

\(698; 659; 618\)