Задача №18207

Найти все числа, которые не могут быть корнями уравнения

$$4\sqrt{2x^4+x^3}=a\sqrt[4]{4-a^4}\left(x+4x^2-8\right)$$

ни при каком значении параметра $a\text{.}$

Число $x_0$ может быть корнем уравнения тогда и только тогда, когда найдётся хотя бы одно значение параметра $a\text{,}$ при котором равенство выполняется при $x=x_0\text{.}$ Поэтому сначала опишем множество $R$ всех $x\text{,}$ являющихся корнями хотя бы при каком-нибудь $a\text{,}$ а искомый ответ — это его дополнение до всей прямой.

1. Область определения и роль параметра.

Левая часть содержит $\sqrt{2x^4+x^3}\text{,}$ поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Разложим его на множители:

$$2x^4+x^3=x^3(2x+1).$$

Условие $x^3(2x+1)\ge 0$ выполняется при

$$x\le -\frac{1}{2}\text{или}x\ge 0,$$

то есть на множестве $D=\left(-\infty ;-\frac{1}{2}\right]\cup [0;+\infty )\text{.}$ Если $x\notin D\text{,}$ левая часть не определена, и такое $x$ не может быть корнем ни при каком $a\text{.}$

В правой части стоит $\sqrt[4]{4-a^4}\text{,}$ поэтому требуется $4-a^4\ge 0\text{,}$ то есть $|a|\le 2^{1/4}\text{.}$ Введём коэффициент при скобке

$$t=t(a)=a\sqrt[4]{4-a^4},a\in [-2^{1/4};2^{1/4}].$$

Найдём множество его значений. Функция $t(a)$ нечётна, $t(0)=0\text{,}$ $t\left(2^{1/2}\right)=0$ на правом конце области ($a=\sqrt{2}$ даёт $4-a^4=0$). Её производная

$$t^{\prime }(a)=\frac{2(2-a^4)}{(4-a^4{)}^{3/4}}$$

обращается в нуль при $a=2^{1/4}\text{,}$ где $t\left(2^{1/4}\right)=2^{1/4}\cdot \sqrt[4]{4-2}=2^{1/4}\cdot 2^{1/4}=\sqrt{2}$ — это максимум. В силу нечётности минимум равен $-\sqrt{2}$ (при $a=-2^{1/4}$). Так как $t(a)$ непрерывна, по теореме о промежуточном значении она принимает все значения отрезка

$$t\in [-\sqrt{2};\sqrt{2}].$$

Обратно, каждому $t_0\in [-\sqrt{2};\sqrt{2}]$ отвечает подходящее $a\text{.}$ Значит, исходное уравнение при подходящем выборе $a$ равносильно существованию числа $t\in [-\sqrt{2};\sqrt{2}]\text{,}$ для которого

$$4\sqrt{x^3(2x+1)}=t\cdot g(x),g(x)=4x^2+x-8.$$

2. Когда $x$ является корнем хотя бы при одном $t\text{.}$

Обозначим $S(x)=4\sqrt{x^3(2x+1)}\ge 0$ (на $D$). Нужно, чтобы при некотором $t\in [-\sqrt{2};\sqrt{2}]$ было $S=tg\text{.}$

• Если $g(x)=0$ (корни $g\text{:}$ $x=\frac{-1\pm \sqrt{129}}{8}\text{,}$ приближённо $-1,545$ и $1,295$), то правая часть равна нулю при любом $t\text{,}$ значит нужно $S=0\text{,}$ то есть $x^3(2x+1)=0\text{.}$ Но это даёт лишь $x=0$ или $x=-\frac{1}{2}\text{,}$ а в них $g\ne 0\text{.}$ Поэтому в нулях $g$ имеем $S>0$ — равенство невозможно, эти $x$ не корни.
• Если $g(x)\ne 0\text{,}$ то однозначно $t=\frac{S}{g}\text{.}$ Подходящее $t$ существует тогда и только тогда, когда $|t|\le \sqrt{2}\text{,}$ то есть $S\le \sqrt{2}|g|\text{.}$ Поскольку обе части неотрицательны, это равносильно $S^2\le 2g^2\text{.}$ (В частности при $S=0$ — то есть $x=0$ или $x=-\frac{1}{2}$ — годится $t=0\text{,}$ $a=0\text{:}$ такие $x$ всегда корни.)

Итак, $x\in R$ (является корнем при некотором $a$) $⟺$ $x\in D$ и $S^2\le 2g^2\text{.}$

3. Сведение к квадратному неравенству.

Вычислим $S^2-2g^2\text{.}$ Так как $S^2=16x^3(2x+1)=16(2x^4+x^3)=32x^4+16x^3\text{,}$ а

$$2g^2=2(4x^2+x-8{)}^2=32x^4+16x^3-126x^2-32x+128,$$

члены четвёртой и третьей степени сокращаются:

$$S^2-2g^2=126x^2+32x-128=2(7x+8)(9x-8).$$

Условие $S^2\le 2g^2$ превращается в $(7x+8)(9x-8)\le 0\text{,}$ то есть

$$-\frac{8}{7}\le x\le \frac{8}{9}.$$

4. Пересечение с областью определения.

Множество корней

$$R=\{x\in D:-\frac{8}{7}\le x\le \frac{8}{9}\}=[-\frac{8}{7};-\frac{1}{2}]\cup [0;\frac{8}{9}].$$

(Здесь использовано $D=(-\infty ;-\frac{1}{2}]\cup [0;+\infty )\text{;}$ промежуток $(-\frac{1}{2};0)$ выпал, так как там левая часть не определена.)

5. Проверка концов $-\frac{8}{7}$ и $\frac{8}{9}\text{.}$

В этих точках $S^2=2g^2\text{,}$ то есть требуется $t=\frac{S}{g}=-\sqrt{2}$ (в обеих точках $g<0\text{,}$ $S>0$). Значение $t=-\sqrt{2}$ достижимо при $a=-2^{1/4}$ (тогда $4-a^4=2>0$). Прямая подстановка даёт точное равенство, поэтому $x=-\frac{8}{7}$ и $x=\frac{8}{9}$ являются корнями (при $a=-2^{1/4}$) и входят в $R\text{.}$

6. Ответ — дополнение к $R\text{.}$

Искомое множество чисел, которые не могут быть корнями ни при каком $a\text{,}$ есть дополнение $R$ до $\mathbb{R}\text{:}$

$$\boxed{\left(-\infty ;-\frac{8}{7}\right)\cup \left(-\frac{1}{2};0\right)\cup \left(\frac{8}{9};+\infty \right)}.$$

Концы $-\frac{8}{7}$ и $\frac{8}{9}$ исключены, поскольку они достижимы как корни (при $a=-2^{1/4}$); граница области определения $-\frac{1}{2}$ и $0$ также исключены (они корни при $a=0$).

Примечание. Ответ в печатном сборнике содержал неточность; приведённый ответ получен независимым решением и проверен.