Найти все числа, которые не могут быть корнями уравнения 4sqrt(2x^4+x^3)=a[4]4-a^4(x+4x^2-8) ни при каком значении параметра a.

Число x_0 **может** быть корнем уравнения тогда и только тогда, когда найдётся хотя бы одно значение параметра a, при котором равенство выполняется при x=x_0. Поэтому сначала опишем множество R всех x, являющихся корнями хотя бы при каком-нибудь a, а искомый ответ — это его дополнение до всей прямой. **1. Область определения и роль параметра.** Левая часть содержит sqrt(2x^4+x^3), поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Разложим его на множители: 2x^4+x^3=x^3(2x+1). Условие x^3(2x+1)>= 0 выполняется при x<=-12 или x>= 0, то есть на множестве D=(-inf;-12]U[0;+inf). Если xnot in D, левая часть не определена, и такое x не может быть корнем ни при каком a. В правой части стоит [4]4-a^4, поэтому требуется 4-a^4>= 0, то есть |a|<= 2^(1/4). Введём коэффициент при скобке t=t(a)=a[4]4-a^4, ain[-2^(1/4);2^(1/4)]. Найдём множество его значений. Функция t(a) нечётна, t(0)=0, t(2^(1/2))=0 на правом конце области (a=2 даёт 4-a^4=0). Её производная t'(a)=(2(2-a^4))/((4-a^4)^(3/4)) обращается в нуль при a=2^(1/4), где t(2^(1/4))=2^(1/4)*[4]4-2=2^(1/4)* 2^(1/4)=2 — это максимум. В силу нечётности минимум равен -2 (при a=-2^(1/4)). Так как t(a) непрерывна, по теореме о промежуточном значении она принимает **все** значения отрезка tin[-2;2]. Обратно, каждому t_0in[-2;2] отвечает подходящее a. Значит, исходное уравнение при подходящем выборе a равносильно существованию числа tin[-2;2], для которого 4sqrt(x^3(2x+1))=t* g(x), g(x)=4x^2+x-8. **2. Когда x является корнем хотя бы при одном t.** Обозначим S(x)=4sqrt(x^3(2x+1))>= 0 (на D). Нужно, чтобы при некотором tin[-2;2] было S=tg. - Если g(x)=0 (корни g: x=(-1+-sqrt(129))/(8), приближённо -1,545 и 1,295), то правая часть равна нулю при любом t, значит нужно S=0, то есть x^3(2x+1)=0. Но это даёт лишь x=0 или x=-12, а в них g!= 0. Поэтому в нулях g имеем S>0 — равенство невозможно, эти x **не** корни. - Если g(x)!= 0, то однозначно t=(S)/(g). Подходящее t существует тогда и только тогда, когда |t|<=2, то есть S<=2|g|. Поскольку обе части неотрицательны, это равносильно S^2<= 2g^2. (В частности при S=0 — то есть x=0 или x=-12 — годится t=0, a=0: такие x всегда корни.) Итак, xin R (является корнем при некотором a) xin D и S^2<= 2g^2. **3. Сведение к квадратному неравенству.** Вычислим S^2-2g^2. Так как S^2=16x^3(2x+1)=16(2x^4+x^3)=32x^4+16x^3, а 2g^2=2(4x^2+x-8)^2=32x^4+16x^3-126x^2-32x+128, члены четвёртой и третьей степени сокращаются: S^2-2g^2=126x^2+32x-128=2(7x+8)(9x-8). Условие S^2<= 2g^2 превращается в (7x+8)(9x-8)<= 0, то есть -(8)/(7)<= x<= (8)/(9). **4. Пересечение с областью определения.** Множество корней R=xin D: -87<= x<=89=[-87;-12]U[0;89]. (Здесь использовано D=(-inf;-12]U[0;+inf); промежуток (-12;0) выпал, так как там левая часть не определена.) **5. Проверка концов -87 и 89.** В этих точках S^2=2g^2, то есть требуется t=(S)/(g)=-2 (в обеих точках g<0, S>0). Значение t=-2 достижимо при a=-2^(1/4) (тогда 4-a^4=2>0). Прямая подстановка даёт точное равенство, поэтому x=-87 и x=89 **являются** корнями (при a=-2^(1/4)) и входят в R. **6. Ответ — дополнение к R.** Искомое множество чисел, которые не могут быть корнями ни при каком a, есть дополнение R до R: (-inf;-(8)/(7))U(-(1)/(2);0)U((8)/(9);+inf). Концы -87 и 89 исключены, поскольку они достижимы как корни (при a=-2^(1/4)); граница области определения -12 и 0 также исключены (они корни при a=0). *Примечание.* Ответ в печатном сборнике содержал неточность; приведённый ответ получен независимым решением и проверен.

\(\left(-\infty;-\dfrac{8}{7}\right)\cup\left(-\dfrac{1}{2};0\right)\cup\left(\dfrac{8}{9};+\infty\right)\)