Задача №18205

Через вершины $A\text{,}$ $B\text{,}$ $C$ параллелограмма $ABCD$ со сторонами $AB=3$ и $BC=5$ проведена окружность, пересекающую прямую $BD$ в точке $E\text{,}$ причем $BE=9\text{.}$ Найти диагональ $BD\text{.}$

Обозначим искомую диагональ $BD=d\text{.}$ По условию точки $A\text{,}$ $B\text{,}$ $C$ лежат на окружности, а прямая $BD$ пересекает эту окружность в точке $B$ (она уже на окружности) и в точке $E\text{,}$ причём $BE=9\text{.}$

Расположение точки $D\text{.}$ В параллелограмме противоположные стороны равны: $AD=BC=5$ и $CD=AB=3\text{.}$ По теореме косинусов в треугольнике $ABD$ (угол $DAB=180^{\circ }-\angle ABC\text{,}$ так как соседние углы параллелограмма дают в сумме $180^{\circ }$) получаем

Поскольку $|\cos (\angle ABC)|<1\text{,}$ отсюда $B{D}^2<64\text{,}$ то есть $BD<8<9=BE\text{.}$ Значит, точка $E$ лежит на прямой $BD$ дальше от $B\text{,}$ чем $D\text{;}$ иными словами, точка $D$ расположена между $B$ и $E\text{,}$ и

Степень точки $D\text{.}$ Прямая $BD$ — секущая, проходящая через точку $D$ и пересекающая окружность в точках $B$ и $E\text{.}$ Так как $D$ лежит между ними, точка $D$ находится внутри окружности, и для степени точки $D$ справедливо

Вычислим степень точки $D$ ещё одним способом. Введём координаты с началом в $B\text{:}$ пусть $A=(3,0)\text{,}$ а $C=(5\cos \phi ,5\sin \phi )\text{,}$ где $\phi =\angle ABC\text{.}$ Тогда $D=A+(C-B)=(3+5\cos \phi ,5\sin \phi )$ (поскольку в параллелограмме $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$). Уравнение окружности, проходящей через $A\text{,}$ $B=(0,0)\text{,}$ $C\text{,}$ запишем в виде $x^2+y^2+px+qy+r=0\text{.}$ Подстановка точки $B$ даёт $r=0\text{;}$ подстановка $A$ и $C$ определяет $p$ и $q\text{.}$ Степень точки $D$ равна левой части этого уравнения при $x=x_D,y=y_D\text{;}$ прямое вычисление даёт

Это согласуется с равенством $B{D}^2=34+30\cos \phi \text{,}$ откуда

Уравнение на $d\text{.}$ Приравнивая два выражения для степени точки $D\text{,}$ получаем

Раскрывая скобки в правой части, имеем $d^2-34=-9d+d^2\text{,}$ то есть $-34=-9d\text{,}$ откуда

Заметим, что слагаемое $d^2$ сократилось, и зависимость от $\cos \phi$ исчезла: ответ не зависит от формы параллелограмма. Фактически выполнено тождество $BD\cdot BE=A{B}^2+B{C}^2=34\text{,}$ так что $BD=\frac{34}{BE}=\frac{34}{9}\text{.}$

Проверка реализуемости. Из $B{D}^2=34+30\cos \phi ={\left(\frac{34}{9}\right)}^2=\frac{1156}{81}$ находим

что лежит в промежутке $(-1,1)\text{.}$ Значит, такой параллелограмм существует ($\angle ABC\approx 131^{\circ }$), и при нём действительно $AB=3\text{,}$ $BC=5\text{,}$ $BE=9\text{.}$

Ответ: $BD=\frac{34}{9}\text{.}$