Через вершины A, B, C параллелограмма ABCD со сторонами AB=3 и BC=5 проведена окружность, пересекающую прямую BD в точке E, причем BE=9. Найти диагональ BD.

Обозначим искомую диагональ BD=d . По условию точки A , B , C лежат на окружности, а прямая BD пересекает эту окружность в точке B (она уже на окружности) и в точке E , причём BE=9 . **Расположение точки D .** В параллелограмме противоположные стороны равны: AD=BC=5 и CD=AB=3 . По теореме косинусов в треугольнике ABD (угол DAB=180^- ABC , так как соседние углы параллелограмма дают в сумме 180^ ) получаем BD^2=AB^2+AD^2-2* AB* ADcos( DAB)=9+25+2* 3* 5cos( ABC)=34+30cos( ABC). Поскольку |cos( ABC)|<1 , отсюда BD^2<64 , то есть BD<8<9=BE . Значит, точка E лежит на прямой BD дальше от B , чем D ; иными словами, точка D расположена между B и E , и DE=BE-BD=9-d. **Степень точки D .** Прямая BD — секущая, проходящая через точку D и пересекающая окружность в точках B и E . Так как D лежит между ними, точка D находится внутри окружности, и для степени точки D справедливо pow(D)=-DB* DE=-d(9-d). Вычислим степень точки D ещё одним способом. Введём координаты с началом в B : пусть A=(3,0) , а C=(5cos,5sin) , где = ABC . Тогда D=A+(C-B)=(3+5cos,5sin) (поскольку в параллелограмме BD=BA+BC ). Уравнение окружности, проходящей через A , B=(0,0) , C , запишем в виде x^2+y^2+px+qy+r=0 . Подстановка точки B даёт r=0 ; подстановка A и C определяет p и q . Степень точки D равна левой части этого уравнения при x=x_D, y=y_D ; прямое вычисление даёт pow(D)=30cos. Это согласуется с равенством BD^2=34+30cos , откуда pow(D)=30cos=BD^2-34=d^2-34. **Уравнение на d .** Приравнивая два выражения для степени точки D , получаем d^2-34=-d(9-d). Раскрывая скобки в правой части, имеем d^2-34=-9d+d^2 , то есть -34=-9d , откуда d=(34)/(9). Заметим, что слагаемое d^2 сократилось, и зависимость от cos исчезла: ответ не зависит от формы параллелограмма. Фактически выполнено тождество BD* BE=AB^2+BC^2=34 , так что BD=(34)/(BE)=(34)/(9) . **Проверка реализуемости.** Из BD^2=34+30cos=((34)/(9))^2=(1156)/(81) находим cos=(1)/(30)((1156)/(81)-34)=-(799)/(1215)~-0,658, что лежит в промежутке (-1,1) . Значит, такой параллелограмм существует ( ABC~131^ ), и при нём действительно AB=3 , BC=5 , BE=9 . Ответ: BD=(34)/(9) .

\(\dfrac{34}{9}\)