Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Геометрия
Мехмат МГУ (архив)
Основание ABCD прямоугольного параллелепипеда ABCDA′B′C′D′ повернули в плоскости ABC на угол 30∘ вокруг точки пересечения диагоналей AC и BD (вершина A повернулась в направлении вершины D), а боковые грани заменили гранями AA′B, A′B′B, BB′C, B′C′C, CC′D, C′D′D, DD′A и D′A′A. Найти все значения, которые может принимать периметр и площадь сечения полученного многогранника плоскостью, параллельной плоскости ABC, если периметр прямоугольника ABCD равен 26, а его площадь равна 42.
1. Размеры прямоугольника.
Пусть стороны прямоугольника ABCD равны p и q. По условию полупериметр равен 13, а площадь 42, то есть p+q=13, pq=42. Числа p,q — корни уравнения t2−13t+42=0, откуда t=6 или t=7. Значит, стороны прямоугольника равны 6 и 7 (какая именно сторона равна 6, а какая 7, на ответ не повлияет — это будет видно из формул). Обозначим для краткости полудлины сторон через a и b, так что AB=CD=2a, BC=DA=2b и {2a,2b}={6,7}.
2. Что представляет собой многогранник.
Верхняя грань A′B′C′D′ осталась на месте, а нижняя грань — это тот же прямоугольник, повёрнутый в своей плоскости на 30∘ вокруг центра O (точки пересечения диагоналей). Боковая поверхность теперь составлена из восьми треугольников
AA′B, A′B′B, BB′C, B′C′C, CC′D, C′D′D, DD′A, D′A′A,то есть нижний и верхний прямоугольники соединены «лентой» из восьми треугольников. Это антипризма (скрученная призма): нижнее основание повёрнуто относительно верхнего.
Введём параметр высоты. Пусть высота параллелепипеда равна H; секущую плоскость, параллельную ABC, зададим уровнем z=tH, где t∈[0;1] (t=0 — нижнее основание, t=1 — верхнее). Каждый из восьми боковых треугольников имеет одну вершину на одном основании и две на другом, поэтому плоскость уровня t пересекает ровно две его «наклонные» стороны и высекает один отрезок. Восемь таких отрезков образуют замкнутый восьмиугольник — это и есть сечение.
Удобно описать его вершины как точки на наклонных рёбрах. Если ребро идёт от точки P нижнего основания к точке Q верхнего, то плоскость уровня t делит его в отношении t от P, давая точку P+t(Q−P). Идя по боковой поверхности, получаем восьмиугольник с вершинами (в порядке обхода)
A+t(A′−A), B+t(A′−B), B+t(B′−B), C+t(B′−C), C+t(C′−C), D+t(C′−D), D+t(D′−D), A+t(D′−A).3. Периметр сечения постоянен.
Рассмотрим стороны восьмиугольника подряд.
Сторона между A+t(A′−A) и B+t(A′−B) равна вектору
(B+t(A′−B))−(A+t(A′−A))=(B−A)(1−t),её длина ∣AB∣(1−t)=2a(1−t), и она параллельна стороне AB.
Следующая сторона, между B+t(A′−B) и B+t(B′−B), равна t(B′−A′); её длина ∣A′B′∣t=2at, и она параллельна A′B′, то есть тоже стороне «типа AB».
Так же проверяется, что дальше идут стороны длины 2b(1−t) (параллельна BC) и 2bt (параллельна B′C′), после чего весь набор повторяется. Итак, восьмиугольник имеет стороны
2a(1−t), 2at, 2b(1−t), 2bt, 2a(1−t), 2at, 2b(1−t), 2bt.Сумма равна
2[2a(1−t)+2at+2b(1−t)+2bt]=2(2a+2b)=4a+4b,то есть равна периметру исходного прямоугольника. Поскольку 2a+2b=13⋅2/... — проще: 4a+4b=2⋅(2a+2b), а 2a+2b — полупериметр прямоугольника, равный 13. Значит, периметр любого сечения равен
26и не зависит ни от уровня t, ни от угла поворота. (Геометрически: при «скручивании» каждая сторона прямоугольника при подъёме плавно «расщепляется» на две — долю (1−t) исходного направления внизу и долю t того же направления вверху, а их сумма длин постоянна.)
4. Площадь сечения.
Площадь уже зависит от уровня. Введём координаты в плоскости основания с началом в центре O. Верхний (неповёрнутый) прямоугольник:
A′=(−a,−b), B′=(a,−b), C′=(a,b), D′=(−a,b).Нижний прямоугольник получается поворотом на угол φ (∣φ∣=30∘); знак φ отвечает направлению поворота. По формуле площади (по координатам вершин восьмиугольника из п. 2) после упрощения получается, что площадь сечения как функция от t есть квадратичная функция:
S(t)=4ab+(t2−t)[(a2+b2)sinφ−2abcosφ+2ab].Здесь 4ab=2a⋅2b=42 — площадь прямоугольника; при t=0 и t=1 получаем S=42 (оба основания), что естественно.
Так как t2−t≤0 на [0;1] (минимум −41 при t=21), знак отклонения S(t) от 42 определяется знаком скобки
K=(a2+b2)sinφ−2abcosφ+2ab.Подставим a2+b2=9+449=485, 2ab=21, cos30∘=23, sin30∘=21.
5. Выбор направления поворота.
Расположим вершины в порядке обхода A=(−a,−b)→B=(a,−b)→C=(a,b)→D=(−a,b) (это обход против часовой стрелки). Тогда вершина A=(−a,−b) и вершина D=(−a,b) лежат по разные стороны от центра по вертикали; кратчайший поворот, переводящий A в сторону D, — это поворот по часовой стрелке (дуга от A к D по часовой стрелке короче, чем против). Поэтому условие «вершина A повернулась в направлении D» означает φ=−30∘, то есть sinφ=−21.
Тогда
K=485⋅(−21)−21⋅23+21=−885−2213+21=883−2213.Численно K=883−2213≈10,375−18,19<0, то есть K<0. Значит, (t2−t)K≥0, и
S(t)=42+(t2−t)K≥42,причём минимум 42 достигается при t=0,1, а максимум — при t=21:
Smax=S(21)=42−41K=42−41(883−2213)=42−3283+8213.Приведём к общему знаменателю 8: 42−3283=321344−83=321261, а 8213=32843, откуда Smax=321261+843. Проще привести к знаменателю 8: прямой подсчёт даёт
Smax=8253+2213=8253+843.6. Множество значений площади.
Функция S(t)=42+(t2−t)K непрерывна на [0;1], возрастает на [0;21] от 42 до 8253+843 и симметрично убывает на [21;1] обратно до 42. По теореме о промежуточном значении она принимает все значения этого отрезка. Сечение при каждом t — выпуклый восьмиугольник (при t=0,1 вырождается в основание-прямоугольник), так что вычисление площади по формуле шнуровки корректно.
Ответ. Периметр сечения постоянен и равен 26. Площадь сечения принимает все значения отрезка
[42; 8253+843].(Замечание. Если бы поворот шёл в противоположную сторону — «A от D», φ=+30∘ — было бы K>0 и площадь убывала бы до минимума 883+843≈28,56, давая отрезок [883+843;42]. Условие задачи фиксирует первый случай.)