Основание ABCD прямоугольного параллелепипеда ABCDA'B'C'D' повернули в плоскости ABC на угол 30^ вокруг точки пересечения диагоналей AC и BD (вершина A повернулась в направлении вершины D), а боковые грани заменили гранями AA'B, A'B'B, BB'C, B'C'C, CC'D, C'D'D, DD'A и D'A'A. Найти все значения, которые может принимать периметр и площадь сечения полученного многогранника плоскостью, параллельной плоскости ABC, если периметр прямоугольника ABCD равен 26, а его площадь равна 42.

**1. Размеры прямоугольника.** Пусть стороны прямоугольника ABCD равны p и q. По условию полупериметр равен 13, а площадь 42, то есть p+q=13, pq=42. Числа p,q — корни уравнения t^2-13t+42=0, откуда t=6 или t=7. Значит, стороны прямоугольника равны 6 и 7 (какая именно сторона равна 6, а какая 7, на ответ не повлияет — это будет видно из формул). Обозначим для краткости полудлины сторон через a и b, так что AB=CD=2a, BC=DA=2b и 2a,2b=6,7. **2. Что представляет собой многогранник.** Верхняя грань A'B'C'D' осталась на месте, а нижняя грань — это тот же прямоугольник, повёрнутый в своей плоскости на 30^ вокруг центра O (точки пересечения диагоналей). Боковая поверхность теперь составлена из восьми треугольников AA'B, A'B'B, BB'C, B'C'C, CC'D, C'D'D, DD'A, D'A'A, то есть нижний и верхний прямоугольники соединены «лентой» из восьми треугольников. Это антипризма (скрученная призма): нижнее основание повёрнуто относительно верхнего. Введём параметр высоты. Пусть высота параллелепипеда равна H; секущую плоскость, параллельную ABC, зададим уровнем z=tH, где tin[0;1] (t=0 — нижнее основание, t=1 — верхнее). Каждый из восьми боковых треугольников имеет одну вершину на одном основании и две на другом, поэтому плоскость уровня t пересекает ровно две его «наклонные» стороны и высекает один отрезок. Восемь таких отрезков образуют замкнутый восьмиугольник — это и есть сечение. Удобно описать его вершины как точки на наклонных рёбрах. Если ребро идёт от точки P нижнего основания к точке Q верхнего, то плоскость уровня t делит его в отношении t от P, давая точку P+t(Q-P). Идя по боковой поверхности, получаем восьмиугольник с вершинами (в порядке обхода) A+t(A'-A), B+t(A'-B), B+t(B'-B), C+t(B'-C), C+t(C'-C), D+t(C'-D), D+t(D'-D), A+t(D'-A). **3. Периметр сечения постоянен.** Рассмотрим стороны восьмиугольника подряд. Сторона между A+t(A'-A) и B+t(A'-B) равна вектору (B+t(A'-B))-(A+t(A'-A))=(B-A)(1-t), её длина |AB|(1-t)=2a(1-t), и она параллельна стороне AB. Следующая сторона, между B+t(A'-B) и B+t(B'-B), равна t(B'-A'); её длина |A'B'|t=2at, и она параллельна A'B', то есть тоже стороне «типа AB». Так же проверяется, что дальше идут стороны длины 2b(1-t) (параллельна BC) и 2bt (параллельна B'C'), после чего весь набор повторяется. Итак, восьмиугольник имеет стороны 2a(1-t), 2at, 2b(1-t), 2bt, 2a(1-t), 2at, 2b(1-t), 2bt. Сумма равна 2[2a(1-t)+2at+2b(1-t)+2bt]=2(2a+2b)=4a+4b, то есть равна периметру исходного прямоугольника. Поскольку 2a+2b=13* 2/... — проще: 4a+4b=2*(2a+2b), а 2a+2b — полупериметр прямоугольника, равный 13. Значит, периметр любого сечения равен 26 и не зависит ни от уровня t, ни от угла поворота. (Геометрически: при «скручивании» каждая сторона прямоугольника при подъёме плавно «расщепляется» на две — долю (1-t) исходного направления внизу и долю t того же направления вверху, а их сумма длин постоянна.) **4. Площадь сечения.** Площадь уже зависит от уровня. Введём координаты в плоскости основания с началом в центре O. Верхний (неповёрнутый) прямоугольник: A'=(-a,-b), B'=(a,-b), C'=(a,b), D'=(-a,b). Нижний прямоугольник получается поворотом на угол (||=30^); знак отвечает направлению поворота. По формуле площади (по координатам вершин восьмиугольника из п. 2) после упрощения получается, что площадь сечения как функция от t есть квадратичная функция: S(t)=4ab+(t^2-t)[(a^2+b^2)sin-2abcos+2ab]. Здесь 4ab=2a* 2b=42 — площадь прямоугольника; при t=0 и t=1 получаем S=42 (оба основания), что естественно. Так как t^2-t<= 0 на [0;1] (минимум -14 при t=12), знак отклонения S(t) от 42 определяется знаком скобки K=(a^2+b^2)sin-2abcos+2ab. Подставим a^2+b^2=9+(49)/(4)=(85)/(4), 2ab=21, cos 30^=(3)/(2), sin 30^=12. **5. Выбор направления поворота.** Расположим вершины в порядке обхода A=(-a,-b) B=(a,-b) C=(a,b) D=(-a,b) (это обход против часовой стрелки). Тогда вершина A=(-a,-b) и вершина D=(-a,b) лежат по разные стороны от центра по вертикали; кратчайший поворот, переводящий A в сторону D, — это поворот по часовой стрелке (дуга от A к D по часовой стрелке короче, чем против). Поэтому условие «вершина A повернулась в направлении D» означает =-30^, то есть sin=-12. Тогда K=(85)/(4)*(-12)-21*(3)/(2)+21=-(85)/(8)-(213)/(2)+21=(83)/(8)-(213)/(2). Численно K=(83)/(8)-(213)/(2)~ 10,375-18,19<0, то есть K<0. Значит, (t^2-t)K>= 0, и S(t)=42+(t^2-t)K>= 42, причём минимум 42 достигается при t=0,1, а максимум — при t=12: S_()=S(12)=42-14K=42-14((83)/(8)-(213)/(2))=42-(83)/(32)+(213)/(8). Приведём к общему знаменателю 8: 42-(83)/(32)=(1344-83)/(32)=(1261)/(32), а (213)/(8)=(843)/(32), откуда S_()=(1261+843)/(32). Проще привести к знаменателю 8: прямой подсчёт даёт S_()=(253)/(8)+(213)/(2)=(253+843)/(8). **6. Множество значений площади.** Функция S(t)=42+(t^2-t)K непрерывна на [0;1], возрастает на [0;12] от 42 до (253+843)/(8) и симметрично убывает на [12;1] обратно до 42. По теореме о промежуточном значении она принимает все значения этого отрезка. Сечение при каждом t — выпуклый восьмиугольник (при t=0,1 вырождается в основание-прямоугольник), так что вычисление площади по формуле шнуровки корректно. **Ответ.** Периметр сечения постоянен и равен 26. Площадь сечения принимает все значения отрезка [42; (253+843)/(8)]. (Замечание. Если бы поворот шёл в противоположную сторону — «A от D», =+30^ — было бы K>0 и площадь убывала бы до минимума (83+843)/(8)~ 28,56, давая отрезок [(83+843)/(8);42]. Условие задачи фиксирует первый случай.)

\(26;\ \left[42;\dfrac{253+84\sqrt{3}}{8}\right]\)