58:I[522016,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],""] 59:I[505014,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"default"] 5a:I[830789,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"CollectionDetailClient",1] 5b:Te40,Требуется решить неравенство \[26^x+27\geqslant 9\left(6-\sqrt{10}\right)^x+3\left(6+\sqrt{10}\right)^x.\] **Ключевое наблюдение.** Основания $6-\sqrt{10}$ и $6+\sqrt{10}$ сопряжены, и их произведение равно \[\left(6-\sqrt{10}\right)\left(6+\sqrt{10}\right)=36-10=26.\] Значит при любом $x$ \[\left(6-\sqrt{10}\right)^x\left(6+\sqrt{10}\right)^x=\Big(\left(6-\sqrt{10}\right)\left(6+\sqrt{10}\right)\Big)^x=26^x.\] **Замена.** Введём обозначения \[b=\left(6-\sqrt{10}\right)^x,\qquad B=\left(6+\sqrt{10}\right)^x.\] Тогда $bB=26^x$, и неравенство переписывается так: \[bB+27\geqslant 9b+3B.\] Перенесём всё в левую часть и сгруппируем: \[bB-9b-3B+27\geqslant 0\quad\Longleftrightarrow\quad b(B-9)-3(B-9)\geqslant 0\quad\Longleftrightarrow\quad (b-3)(B-9)\geqslant 0.\] То есть исходное неравенство равносильно \[\left(\left(6-\sqrt{10}\right)^x-3\right)\left(\left(6+\sqrt{10}\right)^x-9\right)\geqslant 0.\] **Анализ множителей.** Оба основания больше единицы: \[6-\sqrt{10}\approx 2{,}838>1,\qquad 6+\sqrt{10}\approx 9{,}162>1,\] поэтому обе показательные функции $\left(6-\sqrt{10}\right)^x$ и $\left(6+\sqrt{10}\right)^x$ строго возрастают. Найдём нули множителей. Первый множитель обращается в нуль, когда \[\left(6-\sqrt{10}\right)^x=3\quad\Longleftrightarrow\quad x=\log_{6-\sqrt{10}}3=:x_1.\] Так как функция возрастает, при $xx_1$ — положителен. Второй множитель обращается в нуль, когда \[\left(6+\sqrt{10}\right)^x=9\quad\Longleftrightarrow\quad x=\log_{6+\sqrt{10}}9=:x_2.\] Аналогично при $xx_2$ — положителен. **Порядок корней.** Сравним $x_1$ и $x_2$. Численно \[x_1=\log_{6-\sqrt{10}}3=\frac{\ln 3}{\ln\left(6-\sqrt{10}\right)}\approx 1{,}053,\qquad x_2=\log_{6+\sqrt{10}}9=\frac{\ln 9}{\ln\left(6+\sqrt{10}\right)}\approx 0{,}992,\] поэтому $x_29$, а значит $\log_{6+\sqrt{10}}9<1$; и $x_1>1$, так как $6-\sqrt{10}<3$, а значит $\log_{6-\sqrt{10}}3>1$. Тем самым $x_2<1x_1$ | $+$ | $+$ | $+$ | Неравенство $(b-3)(B-9)\geqslant 0$ выполнено там, где произведение неотрицательно, то есть на крайних промежутках. В обеих граничных точках $x=x_2$ и $x=x_1$ произведение равно нулю, значит они входят в ответ (неравенство нестрогое). **Ответ.** \[\boxed{\left(-\infty;\ \log_{6+\sqrt{10}}9\right]\cup\left[\log_{6-\sqrt{10}}3;\ +\infty\right)}.\]5c:T13b6,Обозначим аргументы логарифмов и сами длины сторон: \[ A=2x^2+4x,\qquad B=8-x^2-19x,\qquad C=x^2-15x+7\tfrac12=x^2-15x+\tfrac{15}{2}, \] \[ p=\log_2 A,\qquad q=\log_2 B,\qquad r=\log_2 C. \] **Условия задачи.** Числа $p,q,r$ должны быть длинами сторон некоторого равнобедренного треугольника. Отсюда сразу три группы требований. 1) Логарифмы должны существовать, то есть все аргументы положительны: \[ A>0,\qquad B>0,\qquad C>0. \] 2) Длины сторон треугольника **строго положительны**, поэтому каждый логарифм положителен: \[ \log_2 A>0,\quad \log_2 B>0,\quad \log_2 C>0\ \Longleftrightarrow\ A>1,\ B>1,\ C>1. \] Это условие сильнее, чем просто положительность аргументов, и именно оно отсекает «фиктивные» решения, в которых один из аргументов равен, например, $\tfrac12$ (логарифм был бы отрицателен). 3) Треугольник равнобедренный, значит две из трёх сторон равны, и при этом выполнено строгое неравенство треугольника. **Равенство двух сторон.** Так как логарифм по основанию $2$ строго возрастает, равенство длин равносильно равенству аргументов. Разберём три возможных случая. *Случай $p=q$:* $A=B$, то есть \[ 2x^2+4x=8-x^2-19x\ \Longleftrightarrow\ 3x^2+23x-8=0\ \Longleftrightarrow\ (x+8)(3x-1)=0, \] откуда $x=-8$ или $x=\tfrac13$. *Случай $p=r$:* $A=C$, то есть \[ 2x^2+4x=x^2-15x+\tfrac{15}{2}\ \Longleftrightarrow\ x^2+19x-\tfrac{15}{2}=0, \] корни $x=\dfrac{-19\pm\sqrt{391}}{2}$. Для обоих корней прямой подстановкой получаем $B=8-x^2-19x$. Из уравнения $x^2+19x=\tfrac{15}{2}$ следует $B=8-\tfrac{15}{2}=\tfrac12$, значит $\log_2 B=-1<0$ — сторона отрицательна. Эти корни не годятся (нарушено условие 2). *Случай $q=r$:* $B=C$, то есть \[ 8-x^2-19x=x^2-15x+\tfrac{15}{2}\ \Longleftrightarrow\ 2x^2+4x-\tfrac12=0\ \Longleftrightarrow\ 4x^2+8x-1=0, \] корни $x=\dfrac{-2\pm\sqrt{5}}{2}$. Здесь из уравнения следует $2x^2+4x=\tfrac12$, то есть $A=\tfrac12$ и $\log_2 A=-1<0$ — снова отрицательная сторона. Эти корни не годятся. Итак, кандидатами остаются только $x=-8$ и $x=\tfrac13$ из первого случая. **Проверка кандидатов.** Для $x=-8$: \[ A=2\cdot 64-32=96,\quad B=8-64+152=96,\quad C=64+120+\tfrac{15}{2}=\tfrac{383}{2}=191{,}5. \] Все аргументы больше $1$, значит все стороны положительны. Равные стороны: $p=q=\log_2 96$; третья сторона $r=\log_2\tfrac{383}{2}$. Неравенство треугольника для равнобедренного случая достаточно проверить в виде $p+q>r$ (два других неравенства $p+r>q$ и $q+r>p$ выполнены автоматически, так как $p=q$ и $r>0$): \[ 2\log_2 96>\log_2\tfrac{383}{2}\ \Longleftrightarrow\ 96^2>\tfrac{383}{2}\ \Longleftrightarrow\ 9216>191{,}5, \] что верно. Значит при $x=-8$ числа $\log_2 96,\ \log_2 96,\ \log_2\tfrac{383}{2}$ образуют невырожденный равнобедренный треугольник. Для $x=\tfrac13$: \[ A=2\cdot\tfrac19+\tfrac43=\tfrac{14}{9},\quad B=8-\tfrac19-\tfrac{19}{3}=\tfrac{14}{9},\quad C=\tfrac19-5+\tfrac{15}{2}=\tfrac{47}{18}. \] Аргументы больше $1$, стороны положительны, но неравенство треугольника нарушено: \[ p+q>r\ \Longleftrightarrow\ 2\log_2\tfrac{14}{9}>\log_2\tfrac{47}{18}\ \Longleftrightarrow\ \left(\tfrac{14}{9}\right)^2>\tfrac{47}{18}\ \Longleftrightarrow\ \tfrac{196}{81}>\tfrac{47}{18}. \] Но $\tfrac{196}{81}=2{,}42\ldots<2{,}61\ldots=\tfrac{47}{18}$. Неравенство ложно, две равные стороны слишком коротки, треугольник не существует. Значит $x=\tfrac13$ не подходит. **Вывод.** Единственное значение, при котором три данных логарифма являются длинами сторон равнобедренного треугольника, — \[ \boxed{x=-8}. \]5d:T1467,Обозначим радиусы окружностей $R=OA=OC$ (окружность с центром $O$) и $r=QA=QD$ (окружность с центром $Q$). Пусть $\angle OAQ=2\alpha$; биссектриса $AD$ этого угла делит его на два угла по $\alpha$, причём луч $AD$ содержит точки $C$ и $D$ (обе лежат на биссектрисе), значит точки $A$, $C$, $D$ лежат на одном луче. **Длины хорд на биссектрисе.** В треугольнике $OAC$ стороны $OA=OC=R$, то есть он равнобедренный, и $AC$ — основание. Угол при вершине $A$ равен $\angle OAC=\alpha$ (это половина угла $OAQ$), поэтому равный ему угол при основании $\angle OCA=\alpha$, а основание \[AC=2\cdot OA\cdot\cos\alpha=2R\cos\alpha.\] Аналогично треугольник $QAD$ равнобедренный ($QA=QD=r$, $\angle QAD=\alpha$), откуда \[AD=2r\cos\alpha,\qquad \angle AQD=\pi-2\alpha.\] **Точка $E$ и отношение на отрезке $OQ$.** Введём систему координат: точку $A$ поместим в начало, а биссектрису $AD$ направим по положительной полуоси $Ox$. Тогда \[O=(R\cos\alpha,\;R\sin\alpha),\qquad Q=(r\cos\alpha,\;-r\sin\alpha),\] \[C=(2R\cos\alpha,\;0),\qquad D=(2r\cos\alpha,\;0)\] (точки $C$, $D$ получаются вторым пересечением соответствующей окружности с осью $Ox$: из уравнения $x^2-2R\cos\alpha\,x=0$ получаем $x=2R\cos\alpha$, и аналогично для $D$). Точка $E$ — пересечение прямой $OQ$ с осью $Ox$ (на которой лежит $AD$). Точки $O$ и $Q$ находятся по разные стороны от оси $Ox$ на расстояниях $R\sin\alpha$ и $r\sin\alpha$ соответственно. Поэтому ось делит отрезок $OQ$ в отношении этих расстояний: \[\frac{OE}{EQ}=\frac{R\sin\alpha}{r\sin\alpha}=\frac{R}{r}.\] С другой стороны, треугольники $OAE$ и $QAE$ имеют общую вершину $A$, а их основания $OE$ и $EQ$ лежат на одной прямой $OQ$, значит высоты, опущенные из $A$ на эту прямую, у них одна и та же. Поэтому \[\frac{S_{OAE}}{S_{QAE}}=\frac{OE}{EQ}.\] По условию $S_{OAE}=18$, $S_{QAE}=42$, следовательно \[\frac{R}{r}=\frac{18}{42}=\frac{3}{7}.\] **Площадь четырёхугольника $OAQD$.** Цевиана $AE$ делит треугольник $OAQ$ на треугольники $OAE$ и $QAE$, поэтому \[S_{OAQ}=S_{OAE}+S_{QAE}=18+42=60.\] При этом \[S_{OAQ}=\tfrac12\,OA\cdot QA\cdot\sin\angle OAQ=\tfrac12 Rr\sin 2\alpha.\] Диагональ $AQ$ разбивает четырёхугольник $OAQD$ (вершины в порядке $O,A,Q,D$) на треугольники $OAQ$ и $AQD$. Площадь второго: \[S_{AQD}=\tfrac12\,QA\cdot QD\cdot\sin\angle AQD=\tfrac12 r^2\sin(\pi-2\alpha)=\tfrac12 r^2\sin 2\alpha.\] Отсюда \[\frac{S_{AQD}}{S_{OAQ}}=\frac{\tfrac12 r^2\sin 2\alpha}{\tfrac12 Rr\sin 2\alpha}=\frac{r}{R}=\frac{7}{3},\] поэтому \[S_{AQD}=60\cdot\frac{7}{3}=140,\qquad S_{OAQD}=S_{OAQ}+S_{AQD}=60+140=200.\] **Отношение $BC:BD$.** Точка $B$ — второе пересечение окружностей; так как линия центров $OQ$ является серединным перпендикуляром общей хорды $AB$, точка $B$ симметрична $A$ относительно прямой $OQ$, и при этом $B$ лежит на обеих окружностях. Рассмотрим хорду $BC$ окружности с центром $O$: точка $A$ тоже лежит на этой окружности, поэтому хорда $BC$ видна из $A$ под вписанным углом $\angle BAC$, и по теореме о вписанном угле (хорда равна диаметру, умноженному на синус вписанного угла) \[BC=2R\sin\angle BAC.\] Аналогично хорда $BD$ окружности с центром $Q$, стягиваемая вписанным углом $\angle BAD$ (точка $A$ на этой окружности), равна \[BD=2r\sin\angle BAD.\] Но точки $A$, $C$, $D$ лежат на одном луче (биссектрисе), значит лучи $AC$ и $AD$ совпадают, и потому $\angle BAC=\angle BAD$. Следовательно \[\frac{BC}{BD}=\frac{2R\sin\angle BAC}{2r\sin\angle BAD}=\frac{R}{r}=\frac{3}{7}.\] **Ответ:** $S_{OAQD}=200$, $\;BC:BD=3:7$.5e:Tf75,Решим уравнение \[|\cos 2x\sin 6x|+|\cos 6x\sin 2x|=\sin\frac{3\pi}{11}.\] **Шаг 1. Преобразование произведений в суммы.** По формуле $\cos\alpha\sin\beta=\tfrac12\bigl(\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)\bigr)$ получаем \[\cos 2x\sin 6x=\tfrac12(\sin 8x+\sin 4x),\qquad \cos 6x\sin 2x=\tfrac12(\sin 8x-\sin 4x).\] Обозначим $p=\sin 8x$, $q=\sin 4x$. Тогда левая часть равна \[\Bigl|\tfrac{p+q}{2}\Bigr|+\Bigl|\tfrac{p-q}{2}\Bigr|=\tfrac12\bigl(|p+q|+|p-q|\bigr).\] **Шаг 2. Тождество с модулями.** Для любых вещественных $p,q$ справедливо $|p+q|+|p-q|=2\max(|p|,|q|)$ (если $|p|\ge|q|$, то оба числа $p\pm q$ дают в сумме модулей $2|p|$; аналогично при $|q|\ge|p|$). Поэтому \[|\cos 2x\sin 6x|+|\cos 6x\sin 2x|=\max\bigl(|\sin 8x|,\,|\sin 4x|\bigr).\] Обозначим $c=\sin\dfrac{3\pi}{11}$. Так как $0<\dfrac{3\pi}{11}<\dfrac{\pi}{2}$, число $c\in(0,1)$ (численно $c\approx 0{,}7557$). Уравнение принимает вид \[\max\bigl(|\sin 8x|,\,|\sin 4x|\bigr)=c.\] **Шаг 3. Разбор максимума.** Равенство $\max(|\sin 8x|,|\sin 4x|)=c$ равносильно тому, что **одна** из величин равна $c$, а **другая** не превосходит $c$. **Случай A: $|\sin 4x|=c$.** Тогда $|\cos 4x|=\sqrt{1-c^2}$, и \[|\sin 8x|=2|\sin 4x\cos 4x|=2c\sqrt{1-c^2}.\] Подставив $c\approx 0{,}7557$, получаем $|\sin 8x|\approx 0{,}990>c$. Значит здесь больший из модулей — это $|\sin 8x|>c$, условие $\max=c$ нарушается. **Случай A решений не даёт.** Строго: $2c\sqrt{1-c^2}\le c\iff 4(1-c^2)\le 1\iff c^2\ge\tfrac34\iff c\ge\tfrac{\sqrt3}{2}$. Но $c=\sin\frac{3\pi}{11}<\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}$ (поскольку $\frac{3\pi}{11}<\frac{\pi}{3}$), так что неравенство ложно и случай A пуст. **Случай B: $|\sin 8x|=c$** при дополнительном условии $|\sin 4x|\le c$. Это и есть основной случай. **Шаг 4. Решаем $|\sin 8x|=c$.** Равенство $|\sin\theta|=\sin\alpha$ при $\alpha\in(0,\tfrac{\pi}{2})$ равносильно $\theta=\pm\alpha+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$. Здесь $\theta=8x$, $\alpha=\dfrac{3\pi}{11}$: \[8x=\pm\frac{3\pi}{11}+\pi k\quad\Longrightarrow\quad x=\pm\frac{3\pi}{88}+\frac{\pi k}{8},\ k\in\mathbb{Z}.\] **Шаг 5. Отбор по условию $|\sin 4x|\le c$.** Для найденных $x$ имеем $4x=\pm\dfrac{3\pi}{22}+\dfrac{\pi k}{2}$, поэтому \[|\sin 4x|=\Bigl|\sin\!\Bigl(\pm\tfrac{3\pi}{22}+\tfrac{\pi k}{2}\Bigr)\Bigr|.\] - При **чётном** $k=2n$: $\ \dfrac{\pi k}{2}=\pi n$, и $|\sin 4x|=\bigl|\sin\tfrac{3\pi}{22}\bigr|\approx 0{,}415\le c$ — условие выполнено. - При **нечётном** $k=2n+1$: $\ \dfrac{\pi k}{2}=\tfrac{\pi}{2}+\pi n$, и $|\sin 4x|=\bigl|\cos\tfrac{3\pi}{22}\bigr|\approx 0{,}910>c$ — условие нарушено, такие $x$ посторонние. Сравнение: $\sin\frac{3\pi}{22}\le c=\sin\frac{3\pi}{11}$ верно, так как $\frac{3\pi}{22}<\frac{3\pi}{11}<\frac{\pi}{2}$; а $\cos\frac{3\pi}{22}=\sin\frac{8\pi}{22}=\sin\frac{4\pi}{11}>\sin\frac{3\pi}{11}=c$, так как $\frac{3\pi}{11}<\frac{4\pi}{11}<\frac{\pi}{2}$. Поэтому остаются ровно чётные $k=2n$. **Шаг 6. Ответ.** Полагая $k=2n$: \[x=\pm\frac{3\pi}{88}+\frac{\pi(2n)}{8}=\pm\frac{3\pi}{88}+\frac{\pi n}{4},\ n\in\mathbb{Z}.\] **Ответ:** $\ x=\pm\dfrac{3\pi}{88}+\dfrac{\pi n}{4},\ n\in\mathbb{Z}.$5f:T1654,Введём систему координат в плоскости основания $ABC$. Так как треугольник $ABC$ равнобедренный ($AB=BC=15$, $AC=18$), поместим $AC$ на ось $Ox$ симметрично относительно оси $Oy$: \[A=(-9,0,0),\qquad C=(9,0,0),\qquad B=(0,h,0).\] Из $AB=15$ получаем $h^2+9^2=15^2$, то есть $h^2=144$, $h=12$. Итак, $B=(0,12,0)$. Ось $Oz$ направим вверх. **Положение вершины $S$.** Пусть $P=(x_0,y_0,0)$ — проекция вершины $S=(x_0,y_0,z)$ на плоскость основания, $z>0$. Двугранный угол при боковом ребре, лежащем на прямой $\ell$ основания, есть угол между боковой гранью и плоскостью основания; его тангенс равен $\dfrac{z}{\rho(P,\ell)}$, где $\rho(P,\ell)$ — расстояние от $P$ до прямой $\ell$ (это верно, когда $P$ лежит внутри основания). Условия задачи дают \[\frac{z}{\rho(P,AC)}=\operatorname{tg}\frac{\pi}{4}=1,\qquad \frac{z}{\rho(P,AB)}=\frac{z}{\rho(P,BC)}=\operatorname{tg}\Big(\operatorname{arctg}\tfrac17\Big)=\frac17,\] откуда \[\rho(P,AC)=z,\qquad \rho(P,AB)=\rho(P,BC)=7z.\] Из равенства $\rho(P,AB)=\rho(P,BC)$ и симметрии задачи относительно оси $Oy$ следует $x_0=0$, то есть $P=(0,y_0,0)$. Прямая $AC$ — это ось $Ox$, поэтому $\rho(P,AC)=y_0=z$. Прямая $AB$ проходит через $(-9,0)$ и $(0,12)$; её уравнение $12x-9y+108=0$ (нормирующий множитель $\sqrt{12^2+9^2}=15$). Для внутренней точки \[\rho(P,AB)=\frac{12\cdot 0-9y_0+108}{15}=\frac{108-9z}{15}.\] Уравнение $\rho(P,AB)=7z$ даёт $108-9z=105z$, то есть $z=\dfrac{108}{114}=\dfrac{18}{19}$. Значит, \[P=\Big(0,\tfrac{18}{19},0\Big),\qquad S=\Big(0,\tfrac{18}{19},\tfrac{18}{19}\Big).\] Точка $P$ лежит внутри треугольника $ABC$, все три двугранных угла при этом получаются именно требуемыми (прямая проверка тангенсов даёт $1$, $\tfrac17$, $\tfrac17$). **Сфера, касающаяся боковых граней.** Центр сферы $O$ лежит в плоскости $ABC$, то есть $O=(o_x,o_y,0)$, и сфера касается трёх боковых граней $SAB$, $SBC$, $SAC$; значит, расстояния от $O$ до плоскостей этих граней равны радиусу $r$. По симметрии $o_x=0$, тогда расстояния до $SAB$ и $SBC$ автоматически совпадают. Найдём уравнения граней через нормали $\mathbf n=\overrightarrow{P_1P_2}\times\overrightarrow{P_1P_3}$. Для грани $SAC$ расстояние от $O=(0,o_y,0)$ оказывается равным $\dfrac{\sqrt2}{2}\,|o_y|$, а для грани $SAB$ — равным $\dfrac{3\sqrt2}{50}\,|12-o_y|$. Приравнивая знаковые расстояния (с учётом того, что искомая сфера касается граней с внутренней стороны пирамиды), получаем уравнение \[\frac{3\sqrt2}{50}\,(12-o_y)=\frac{\sqrt2}{2}\,o_y\;\Longrightarrow\;3(12-o_y)=25\,o_y\;\Longrightarrow\;36=28\,o_y\;\Longrightarrow\;o_y=\frac{9}{7}.\] (Второй корень другого знакового варианта, $o_y=-\tfrac{18}{11}$, даёт сферу, точки касания которой выходят за пределы боковых граней, и отбрасывается.) Итак, \[O=\Big(0,\tfrac{9}{7},0\Big),\qquad r=\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{9}{7}=\frac{9\sqrt2}{14}.\] **Точки касания.** Точка касания сферы с гранью — это основание перпендикуляра из $O$ на плоскость грани. Опуская перпендикуляры из $O$ на плоскости $SAB$, $SBC$, $SAC$, получаем \[K=\Big(-\tfrac{18}{175},\,\tfrac{477}{350},\,\tfrac{9}{10}\Big)\ \text{на }SAB,\quad L=\Big(\tfrac{18}{175},\,\tfrac{477}{350},\,\tfrac{9}{10}\Big)\ \text{на }SBC,\quad M=\Big(0,\,\tfrac{9}{14},\,\tfrac{9}{14}\Big)\ \text{на }SAC.\] Все они лежат строго внутри соответствующих боковых граней (их барицентрические координаты положительны), что подтверждает правильность выбора центра. **Радиус описанной сферы пирамиды $SKLM$.** Центр описанной сферы $Q=(q_x,q_y,q_z)$ равноудалён от вершин $S,K,L,M$. По симметрии $q_x=0$. Из системы условий равенства квадратов расстояний \[|QS|^2=|QK|^2=|QL|^2=|QM|^2\] находится единственная точка $Q$, и радиус \[R=|QS|=\frac{9\sqrt{221}}{266}.\] Прямой подсчёт даёт расстояния от $Q$ до всех четырёх вершин, равные одному и тому же значению, что и подтверждает результат. **Ответ:** $\displaystyle R=\frac{9}{266}\sqrt{221}$.60:T19a4,Преобразуем обе функции к виду «сдвинутая гипербола». Для первой функции \[ y=\frac{3x+1}{x}=3+\frac{1}{x},\qquad x\neq 0. \] Это равнобочная гипербола с вертикальной асимптотой $x=0$ и горизонтальной асимптотой $y=3$. Её ветвь при $x>0$ лежит в полуплоскости $y>3$ (верхняя справа), ветвь при $x<0$ — в полуплоскости $y<3$ (нижняя слева). Одна гипербола (две ветви) разбивает плоскость на **три** части. Для второй функции при $a\neq 0$ выделим целую часть: \[ y=\frac{4x+3a-7}{ax-1}=\frac{4}{a}+\frac{(a-1)(3a-4)}{a\,(ax-1)},\qquad x\neq\frac1a. \] Видно, что характер графика зависит от $a$. Отдельно разберём вырождения. **Тип второго графика.** - $a=0$: $y=\dfrac{4x-7}{-1}=7-4x$ — прямая. - $a=1$: числитель $(a-1)(3a-4)=0$, поэтому $y=\dfrac{4x-4}{x-1}=4$ при $x\neq 1$ — горизонтальная прямая $y=4$ с «проколом» в точке $(1;4)$. - $a=\dfrac43$: аналогично $(a-1)(3a-4)=0$, и $y=\dfrac{4x-3}{\frac43x-1}=3$ при $x\neq\frac34$ — прямая $y=3$ с проколом в $\left(\frac34;3\right)$. - при остальных $a$ (то есть $a\neq0,\,1,\,\frac43$) второй график — гипербола с асимптотами $x=\dfrac1a$ и $y=\dfrac4a$. **Точки пересечения графиков.** Приравнивая $\dfrac{3x+1}{x}=\dfrac{4x+3a-7}{ax-1}$ и умножая накрест (точки $x=0$ и $x=\frac1a$ исключены из ОДЗ), получаем \[ (3a-4)x^{2}+(4-2a)x-1=0. \] Подстановка $x=0$ даёт $-1\neq0$, так что корень $x=0$ невозможен; корень $x=\frac1a$ появляется лишь при $a=1$ и $a=\frac43$ (именно в точках прокола). Дискриминант \[ D=(4-2a)^2+4(3a-4)=4a(a-1). \] Отсюда: \[ D<0\ \text{при}\ 00\ \text{при}\ a<0\ \text{или}\ a>1. \] **Подсчёт числа частей.** Воспользуемся формулой Эйлера для разбиения сферы (одноточечной компактификации плоскости): $V-E+F=2$, где $F$ — число граней, равное числу частей плоскости (точка «бесконечность» $N$ лежит на всех неограниченных кривых, поэтому не попадает внутрь ни одной части, и биекция «части плоскости $\leftrightarrow$ грани сферы» верна). Все неограниченные дуги сходятся в единственной точке $N$; граф связен, и формула применима независимо от направлений асимптот. Каждая ветвь гиперболы — петля при $N$; добавление конечной вершины пересечения делит проходящие через неё дуги. Случай **двух гипербол** с $T$ конечными точками пересечения: $V=1+T$, $E=(T+2)+(T+2)=2T+4$, откуда \[ F=2-V+E=5+T. \] 1) $01$ (и $a\neq\frac43$): гипербола, $T=2$. Тогда $F=7$. Не подходит. 3) $a=0$: прямая $y=7-4x$. Уравнение пересечения даёт $-(2x-1)^2=0$, то есть единственную точку $x=\frac12$: прямая касается гиперболы в точке $\left(\frac12;5\right)$ (в ней и значения, и угловые коэффициенты совпадают: $f_1'(\tfrac12)=-4$, наклон прямой $-4$), других общих точек нет. Это одна вершина степени $4$. Для прямой (одна дуга) и гиперболы (две дуги): \[ V=1+1=2,\quad E=(1+1)+(1+2)=5,\quad F=2-2+5=5. \] **Пять частей.** 4) $a=1$: прямая $y=4$ с проколом в $(1;4)$. Прямая $y=4$ пересекала бы гиперболу там, где $3+\frac1x=4$, то есть при $x=1$ — но это и есть выколотая точка, лежащая на гиперболе ($f_1(1)=4$). Значит, общих точек у графиков нет, а две «полупрямые» $x<1$ и $x>1$ подходят к точке $(1;4)$, лежащей на гиперболе. Берём вершины $N$ и $(1;4)$ (ветвь $x>0$ проходит через неё, деля её на две дуги): \[ V=2,\quad E=\underbrace{(2+1)}_{\text{гипербола}}+\underbrace{2}_{\text{две полупрямые}}=5,\quad F=2-2+5=5. \] **Пять частей.** 5) $a=\dfrac43$: прямая $y=3$ с проколом в $\left(\frac34;3\right)$. Прямая $y=3$ — это горизонтальная асимптота гиперболы, она с гиперболой не пересекается. Без прокола прямая и гипербола давали бы $4$ части (верхняя полуплоскость делится ветвью $x>0$ на две части, нижняя — ветвью $x<0$ на две). Точка прокола $\left(\frac34;3\right)$ не лежит на гиперболе ($f_1(\tfrac34)=\frac{13}{3}\neq3$); через этот «прокол» соединяются область чуть выше прямой (карман между прямой и верхней ветвью) и область чуть ниже прямой — две разные части сливаются в одну. Поэтому частей $4-1=3$. Не подходит. **Итог.** Ровно пять частей получается тогда и только тогда, когда \[ \boxed{a\in[0;1]}. \]41:[["$","script",null,{"id":"collection-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"Course\",\"name\":\"Мехмат МГУ — май 2001\",\"description\":\"Коллекция \\\"Мехмат МГУ — май 2001\\\" для подготовки к экзамену. Содержит 6 задач. Готовьтесь к экзаменам онлайн.\",\"url\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections/mehmat-2001-05\",\"provider\":{\"@type\":\"Organization\",\"name\":\"SdamEx\",\"url\":\"https://sdamex.com\"},\"educationalLevel\":{\"@type\":\"EducationalOccupationalCredential\",\"credentialCategory\":\"ЕГЭ\"},\"hasCourseInstance\":{\"@type\":\"CourseInstance\",\"courseMode\":\"online\"},\"dateCreated\":\"2026-06-10T01:50:00.000Z\"}"}}],["$","script",null,{"id":"breadcrumb-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Математика\",\"item\":\"https://sdamex.com/math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"ДВИ МГУ (математика)\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":3,\"name\":\"Коллекции\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":4,\"name\":\"Мехмат МГУ — май 2001\"}]}"}}],["$","nav",null,{"aria-label":"Хлебные крошки","className":"min-w-0 mb-4","children":["$","ol",null,{"className":"flex flex-wrap items-center gap-x-1 gap-y-0.5 text-xs text-muted-foreground","children":[["$","li","Математика-0",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[false,["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Математика"}]]}],["$","li","ДВИ МГУ (математика)-1",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":[["path",{"d":"m9 18 6-6-6-6","key":"mthhwq"}]],"className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"ДВИ МГУ (математика)"}]]}],["$","li","Коллекции-2",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math/collections","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Коллекции"}]]}],["$","li","Мехмат МГУ — май 2001-3",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","span",null,{"className":"truncate text-foreground/80","aria-current":"page","children":"Мехмат МГУ — май 2001"}]]}]]}]}],["$","$L5a",null,{"subject":"math","examCode":"dvi-math","collectionId":"mehmat-2001-05","serverCollection":{"id":"802b5f5b-044b-4bcd-9f28-2c3812773e95","name":"Мехмат МГУ — май 2001","code":"mehmat-2001-05","collection_type":"system_variant","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","exam_code":"dvi-math","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","hidden_problem_count":0,"session":"05","session_label":"Олимпиада «Абитуриент-2001», май (механико-математический факультет МГУ)","solved_count":0,"source":"Мехмат МГУ (архив, mathus.ru)","source_url":"https://mathus.ru/olymp/mm2001-05.pdf","total_problem_count":6,"variant_batch":"mehmat-1993-2010-v1","visible_problem_count":6,"year":2001},"created_at":"2026-06-10T01:50:00Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem_count":6,"visible_count":6,"total_count":6,"pdf_unlocked":false},"serverCollectionProblems":{"items":[{"problem_id":"658bf038-c673-4fad-8e9c-4422e62b65ae","collection_id":"802b5f5b-044b-4bcd-9f28-2c3812773e95","display_order":1,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"658bf038-c673-4fad-8e9c-4422e62b65ae","short_id":18197,"task_number":16,"topic_id":"5bec8268-22ed-431c-af0b-14f090028c64","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":7,"content_text":"Решить неравенство\n\\[26^x+27\\geqslant 9\\left(6-\\sqrt{10}\\right)^x+3\\left(6+\\sqrt{10}\\right)^x.\\]","answer_text":"\$\\left(-\\infty;\\ \\log_{6+\\sqrt{10}}9\\right]\\cup\\left[\\log_{6-\\sqrt{10}}3;\\ +\\infty\\right)\$","answer":"\$\\left(-\\infty;\\ \\log_{6+\\sqrt{10}}9\\right]\\cup\\left[\\log_{6-\\sqrt{10}}3;\\ +\\infty\\right)\$","solution_text":"$5b","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":1,"session":"05","variant_key":"mm2001-05","year":2001},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"5bec8268-22ed-431c-af0b-14f090028c64","name":"Показательные неравенства","description":null},"tags":[{"id":"2c55495d-5b54-461b-8a9b-3567966b9d28","code":"tag-40","name":"Метод интервалов"},{"id":"71f19a1a-c6b7-4320-9e0b-3cb73213fa41","code":"tag-104","name":"Показательные неравенства"},{"id":"e32afd53-73a2-409e-80f1-08c7daeb1e7f","code":"tag-219","name":"Свойства степени с действительным показателем"},{"id":"f013b7ee-7ebe-4efa-ac38-3a5cbeb6aa9c","code":"tag-231","name":"Неравенства рациональные относительно показательной функции"}]}},{"problem_id":"a512aaa0-d2be-4f4e-aa31-4e8422b52c53","collection_id":"802b5f5b-044b-4bcd-9f28-2c3812773e95","display_order":2,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"a512aaa0-d2be-4f4e-aa31-4e8422b52c53","short_id":18198,"task_number":17,"topic_id":"ed59c219-7865-4cc3-a53c-7c8022853f23","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":8,"content_text":"При каких значениях \$x\$ числа\n\\[\\log_2\\left(2x^2+4x\\right),\\quad \\log_2\\left(8-x^2-19x\\right),\\quad \\log_2\\left(x^2-15x+7\\tfrac{1}{2}\\right)\\]\nявляются длинами сторон некоторого равнобедренного треугольника?","answer_text":"\$-8\$","answer":"\$-8\$","solution_text":"$5c","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":2,"session":"05","variant_key":"mm2001-05","year":2001},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"ed59c219-7865-4cc3-a53c-7c8022853f23","name":"Системы уравнений","description":null},"tags":[{"id":"4b7dfc01-ef7d-43d7-baec-c5f58da87aa6","code":"tag-75","name":"Системы уравнений"},{"id":"a42676d8-721d-416b-9509-d365704bb645","code":"tag-151","name":"Треугольник"},{"id":"c8cd9c24-fac7-48ab-b79b-6c5fbd73b985","code":"tag-189","name":"Логарифмические уравнения"},{"id":"f8cd1720-76a0-43e7-baaf-103633bab77b","code":"tag-238","name":"Логарифмические неравенства"}]}},{"problem_id":"90f611dc-ddb4-4de8-b3c9-0f38fbc12059","collection_id":"802b5f5b-044b-4bcd-9f28-2c3812773e95","display_order":3,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"90f611dc-ddb4-4de8-b3c9-0f38fbc12059","short_id":18199,"task_number":18,"topic_id":"1148d06d-7ecc-4ba9-b2d9-947ac91b9c9d","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":8,"content_text":"Две окружности с центрами \$O\$ и \$Q\$, пересекающиеся друг с другом в точках \$A\$ и \$B\$, пересекают биссектрису угла \$OAQ\$ в точках \$C\$ и \$D\$ соответственно. Отрезки \$OQ\$ и \$AD\$ пересекаются в точке \$E\$, причём площади треугольников \$OAE\$ и \$QAE\$ равны 18 и 42 соответственно. Найти площади четырёхугольника \$OAQD\$ и отношение \$BC:BD\$.","answer_text":"\$S_{OAQD}=200,\\quad BC:BD=3:7\$","answer":"\$S_{OAQD}=200,\\quad BC:BD=3:7\$","solution_text":"$5d","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":3,"session":"05","variant_key":"mm2001-05","year":2001},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"1148d06d-7ecc-4ba9-b2d9-947ac91b9c9d","name":"Окружность","description":null},"tags":[{"id":"7128c76c-3036-4af0-aacc-f06c948b2605","code":"tag-102","name":"Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора"},{"id":"9cea34fa-faa0-4a81-91ea-1e59dbb45b17","code":"tag-138","name":"Окружности"},{"id":"a7109bee-7556-446b-98b9-32d957694fec","code":"tag-155","name":"Подобие"},{"id":"f8c015b6-cb48-4711-a78c-7b5ceaaf5d71","code":"tag-237","name":"Окружности и системы окружностей"}]}},{"problem_id":"ec0d1899-4a25-4caa-b83d-047c13aee921","collection_id":"802b5f5b-044b-4bcd-9f28-2c3812773e95","display_order":4,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"ec0d1899-4a25-4caa-b83d-047c13aee921","short_id":18200,"task_number":17,"topic_id":"56ee582a-3c52-4fd3-85c9-966671ec7454","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":8,"content_text":"Решить уравнение\n\\[|\\cos 2x\\sin 6x|+|\\cos 6x\\sin 2x|=\\sin\\frac{3\\pi}{11}.\\]","answer_text":"\$\\pm\\frac{3\\pi}{88}+\\frac{\\pi n}{4},\\ n\\in\\mathbb{Z}\$","answer":"\$\\pm\\frac{3\\pi}{88}+\\frac{\\pi n}{4},\\ n\\in\\mathbb{Z}\$","solution_text":"$5e","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":4,"session":"05","variant_key":"mm2001-05","year":2001},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"56ee582a-3c52-4fd3-85c9-966671ec7454","name":"Тригонометрические уравнения","description":null},"tags":[{"id":"3d67eb82-f5d0-40c6-936f-4730c9e5b2a7","code":"tag-57","name":"Основные тригонометрические тождества"},{"id":"9564a83d-ccf3-4211-91ed-f6f568873b0e","code":"tag-131","name":"Тригонометрические уравнения"},{"id":"cbfcdc3f-7c60-42fd-8b0c-b0e16a570b75","code":"tag-195","name":"Уравнение с модулем"},{"id":"dcec6e03-173e-4ea7-9b6a-cb935a3bdda5","code":"tag-212","name":"Тригонометрические формулы суммы или разности аргументов"}]}},{"problem_id":"b76aa494-8354-459f-9faf-3533a763ab0b","collection_id":"802b5f5b-044b-4bcd-9f28-2c3812773e95","display_order":5,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"b76aa494-8354-459f-9faf-3533a763ab0b","short_id":18201,"task_number":20,"topic_id":"b37141ac-ec06-41ef-977b-401cb8faa903","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":9,"content_text":"Основанием треугольной пирамиды \$SABC\$ служит треугольник со сторонами \$AB=BC=15\$ и \$AC=18\$. Двугранные углы при рёбрах \$AB\$ и \$BC\$ равны по \$\\operatorname{arctg}\\frac{1}{7}\$, а при ребре \$AC\$ — \$\\frac{\\pi}{4}\$. Сфера, центр которой лежит в плоскости \$ABC\$, касается боковых граней в точках \$K\$, \$L\$ и \$M\$. Найти радиус сферы, описанной около пирамиды \$SKLM\$.","answer_text":"\$\\frac{9}{266}\\sqrt{221}\$","answer":"\$\\frac{9}{266}\\sqrt{221}\$","solution_text":"$5f","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":5,"session":"05","variant_key":"mm2001-05","year":2001},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"b37141ac-ec06-41ef-977b-401cb8faa903","name":"Сферы","description":null},"tags":[{"id":"c7a9f11c-aee5-4ebf-811d-3d1a226c0716","code":"tag-188","name":"Описанный шар"},{"id":"d72e5676-86a6-4521-aa99-b097dd7dde8d","code":"tag-203","name":"Двугранный угол, линейный угол двугранного угла"},{"id":"d910c52b-60cc-47a9-b58b-f21ab0d0fc24","code":"tag-205","name":"Треугольная пирамида"},{"id":"efe23998-8e8a-4d60-ace9-a559b7ded5cb","code":"tag-229","name":"Вписанный шар"}]}},{"problem_id":"f77b00d8-8b46-4737-9876-51ba0b0ab037","collection_id":"802b5f5b-044b-4bcd-9f28-2c3812773e95","display_order":6,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"f77b00d8-8b46-4737-9876-51ba0b0ab037","short_id":18202,"task_number":19,"topic_id":"7ee08b18-18e8-42f5-8ad4-c094688c771d","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":8,"content_text":"Найти все значения параметра \$a\$, при каждом из которых графики функций\n\\[y=\\frac{3x+1}{x}\\quad\\text{и}\\quad y=\\frac{4x+3a-7}{ax-1}\\]\nразбивают координатную плоскость ровно на пять частей.","answer_text":"\$[0;1]\$","answer":"\$[0;1]\$","solution_text":"$60","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":6,"session":"05","variant_key":"mm2001-05","year":2001},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"7ee08b18-18e8-42f5-8ad4-c094688c771d","name":"Задачи с параметрами","description":null},"tags":[{"id":"63383330-9060-4445-8f93-c53c52a03571","code":"tag-89","name":"Уравнения с параметром"},{"id":"79cb1123-1ddd-42a3-b424-5fcae957f034","code":"tag-114","name":"Функции, зависящие от параметра"},{"id":"ab3265df-d5a6-4866-b588-c54002df4a81","code":"tag-159","name":"Левая и правая части в качестве отдельных графиков"},{"id":"af18a2bb-c8ec-4cb9-b6c9-5892b88b57c3","code":"tag-164","name":"Функция, описывающая обратную пропорциональную зависимость, её график"}]}}],"total":6},"serverExams":[{"id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","code":"dvi-math","name":"ДВИ МГУ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"1aed6121-06cc-4a5a-87f5-77de484ebb36","program_code":"dvi","exam_type":"ДВИ","description":"Дополнительное вступительное испытание МГУ им. М.В. Ломоносова по математике. С 2026 года экзамен состоит из двух частей: лёгкий тест с кратким ответом и традиционная письменная часть с полным решением.","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-07-11","metadata":{"duration_minutes":180,"max_secondary_score":100,"mock_exam_enabled":true,"part2_tasks":6,"parts":[{"answer_format":"detailed","part":1,"scale":"linear","slots_in_variant":10,"tasks":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13],"weight":30},{"answer_format":"detailed","part":2,"scale":"score_conversion","slots_in_variant":6,"tasks":[14,15,16,17,18,19,20],"weight":70}],"score_conversion":[2,30,30,35,35,35,35,35,40,40,40,40,40,45,45,45,45,45,50,50,50,50,50,55,55,55,55,55,60,60,60,60,60,65,65,65,65,65,70,70,70,70,70,75,75,75,75,75,80,80,80,80,80,85,85,85,85,85,90,90,90,90,90,95,95,95,95,95,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":10,"15":10,"16":10,"17":10,"18":10,"19":10,"20":10},"structure_2026":{"consultation_video_url":"https://disk.360.yandex.ru/d/NbP139HUZpCPDA","exam_2026":{"exam_date":"2026-07-11","note":"Реальный основной день; в образце Ш12622 тест был из 15 задач.","test_task_count":10,"written_task_count":6},"exam_portal":"https://exam.msu.ru/","official_exam_page":"https://cpk.msu.ru/exam/101","parts":["base","written"],"test_task_count":15},"task_count":7,"task_numbering":"part_relative","year":2026},"created_at":"2026-06-10T20:49:34.08312Z","updated_at":"2026-09-01T00:33:23.788959Z","problem_count":1008,"theory_count":36,"system_collection_count":190},{"id":"3a8471c5-2a11-4932-ba3e-7ab7d1ae7a1d","code":"ege-base","name":"Математика (база) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_base","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Базовый ЕГЭ по математике для получения аттестата","has_part2":false,"max_task_number":21,"exam_date":"2026-06-04","metadata":{"duration_minutes":180,"max_score":21,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":21,"part2_tasks":0,"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":1,"21":1},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","problem_count":8561,"theory_count":85,"system_collection_count":111},{"id":"23f00ba7-bd19-4ca8-9349-5134d88397cf","code":"ege-prof","name":"Математика (профиль) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_prof","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Профильный ЕГЭ по математике для поступающих в технические вузы","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-06-08","metadata":{"duration_minutes":235,"max_score":33,"max_secondary_score":100,"max_task_number":20,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":13,"part2_tasks":7,"score_conversion":[0,6,11,17,22,27,34,40,46,52,58,64,70,72,74,76,78,80,82,84,86,88,90,92,94,95,96,97,98,99,100,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":2,"15":3,"16":2,"17":2,"18":3,"19":4,"20":4},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2026-08-30T23:51:20.728833Z","problem_count":2491,"theory_count":123,"system_collection_count":255},{"id":"b0db9506-ddcf-4200-8815-7a709ea0dc4e","code":"oge-math","name":"ОГЭ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"ff8f63b8-bfcc-47f3-9d55-bc666ee30237","program_code":"oge","exam_type":"ОГЭ","description":"Основной государственный экзамен по математике (9 класс): 25 заданий, 235 минут. Часть 1 — задания 1-19 с кратким ответом (1 балл), часть 2 — задания 20-25 с развёрнутым ответом (2 балла). Максимум 31 первичный балл, итоговая отметка 2-5.","has_part2":true,"max_task_number":25,"metadata":{"duration_minutes":235,"geometry_min_points":2,"geometry_min_points_note":"Для отметки выше 2 необходимо >=2 первичных баллов за геометрию (задания 15-19, 23-25); кодируется в скоринге пробника через geometry_tasks + geometry_min_points (0423)","geometry_tasks":[15,16,17,18,19,23,24,25],"hidden":false,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":19,"part2_tasks":[20,21,22,23,24,25],"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":2,"21":2,"22":2,"23":2,"24":2,"25":2},"task_count":25,"year":2026},"created_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","updated_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","problem_count":2181,"theory_count":104,"system_collection_count":89}]}]]

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ