Задача №18198

При каких значениях $x$ числа

$${\log }_2\left(2x^2+4x\right),{\log }_2\left(8-x^2-19x\right),{\log }_2\left(x^2-15x+7\frac{1}{2}\right)$$

являются длинами сторон некоторого равнобедренного треугольника?

Обозначим аргументы логарифмов и сами длины сторон:

$$A=2x^2+4x,B=8-x^2-19x,C=x^2-15x+7\frac{1}{2}=x^2-15x+\frac{15}{2},$$ $$p={\log }_{2}A,q={\log }_{2}B,r={\log }_{2}C.$$

Условия задачи. Числа $p,q,r$ должны быть длинами сторон некоторого равнобедренного треугольника. Отсюда сразу три группы требований.

1) Логарифмы должны существовать, то есть все аргументы положительны:

$$A>0,B>0,C>0.$$

2) Длины сторон треугольника строго положительны, поэтому каждый логарифм положителен:

$${\log }_{2}A>0,{\log }_{2}B>0,{\log }_{2}C>0⟺A>1,B>1,C>1.$$

Это условие сильнее, чем просто положительность аргументов, и именно оно отсекает «фиктивные» решения, в которых один из аргументов равен, например, $\frac{1}{2}$ (логарифм был бы отрицателен).

3) Треугольник равнобедренный, значит две из трёх сторон равны, и при этом выполнено строгое неравенство треугольника.

Равенство двух сторон. Так как логарифм по основанию $2$ строго возрастает, равенство длин равносильно равенству аргументов. Разберём три возможных случая.

Случай $p=q\text{:}$ $A=B\text{,}$ то есть

$$2x^2+4x=8-x^2-19x⟺3x^2+23x-8=0⟺(x+8)(3x-1)=0,$$

откуда $x=-8$ или $x=\frac{1}{3}\text{.}$

Случай $p=r\text{:}$ $A=C\text{,}$ то есть

$$2x^2+4x=x^2-15x+\frac{15}{2}⟺x^2+19x-\frac{15}{2}=0,$$

корни $x=\frac{-19\pm \sqrt{391}}{2}\text{.}$ Для обоих корней прямой подстановкой получаем $B=8-x^2-19x\text{.}$ Из уравнения $x^2+19x=\frac{15}{2}$ следует $B=8-\frac{15}{2}=\frac{1}{2}\text{,}$ значит ${\log }_{2}B=-1<0$ — сторона отрицательна. Эти корни не годятся (нарушено условие 2).

Случай $q=r\text{:}$ $B=C\text{,}$ то есть

$$8-x^2-19x=x^2-15x+\frac{15}{2}⟺2x^2+4x-\frac{1}{2}=0⟺4x^2+8x-1=0,$$

корни $x=\frac{-2\pm \sqrt{5}}{2}\text{.}$ Здесь из уравнения следует $2x^2+4x=\frac{1}{2}\text{,}$ то есть $A=\frac{1}{2}$ и ${\log }_{2}A=-1<0$ — снова отрицательная сторона. Эти корни не годятся.

Итак, кандидатами остаются только $x=-8$ и $x=\frac{1}{3}$ из первого случая.

Проверка кандидатов.

Для $x=-8\text{:}$

$$A=2\cdot 64-32=96,B=8-64+152=96,C=64+120+\frac{15}{2}=\frac{383}{2}=191,5.$$

Все аргументы больше $1\text{,}$ значит все стороны положительны. Равные стороны: $p=q={\log }_{2}96\text{;}$ третья сторона $r={\log }_2\frac{383}{2}\text{.}$ Неравенство треугольника для равнобедренного случая достаточно проверить в виде $p+q>r$ (два других неравенства $p+r>q$ и $q+r>p$ выполнены автоматически, так как $p=q$ и $r>0$):

$$2{\log }_{2}96>{\log }_2\frac{383}{2}⟺96^2>\frac{383}{2}⟺9216>191,5,$$

что верно. Значит при $x=-8$ числа ${\log }_{2}96,{\log }_{2}96,{\log }_2\frac{383}{2}$ образуют невырожденный равнобедренный треугольник.

Для $x=\frac{1}{3}\text{:}$

$$A=2\cdot \frac{1}{9}+\frac{4}{3}=\frac{14}{9},B=8-\frac{1}{9}-\frac{19}{3}=\frac{14}{9},C=\frac{1}{9}-5+\frac{15}{2}=\frac{47}{18}.$$

Аргументы больше $1\text{,}$ стороны положительны, но неравенство треугольника нарушено:

$$p+q>r⟺2{\log }_2\frac{14}{9}>{\log }_2\frac{47}{18}⟺{\left(\frac{14}{9}\right)}^2>\frac{47}{18}⟺\frac{196}{81}>\frac{47}{18}.$$

Но $\frac{196}{81}=2,42\dots <2,61\dots =\frac{47}{18}\text{.}$ Неравенство ложно, две равные стороны слишком коротки, треугольник не существует. Значит $x=\frac{1}{3}$ не подходит.

Вывод. Единственное значение, при котором три данных логарифма являются длинами сторон равнобедренного треугольника, —

$$\boxed{x=-8}.$$