При каких значениях x числа _2(2x^2+4x), _2(8-x^2-19x), _2(x^2-15x+7(1)/(2)) являются длинами сторон некоторого равнобедренного треугольника?

Обозначим аргументы логарифмов и сами длины сторон: A=2x^2+4x, B=8-x^2-19x, C=x^2-15x+712=x^2-15x+(15)/(2), p=_2 A, q=_2 B, r=_2 C. **Условия задачи.** Числа p,q,r должны быть длинами сторон некоторого равнобедренного треугольника. Отсюда сразу три группы требований. 1) Логарифмы должны существовать, то есть все аргументы положительны: A>0, B>0, C>0. 2) Длины сторон треугольника **строго положительны**, поэтому каждый логарифм положителен: _2 A>0, _2 B>0, _2 C>0 A>1, B>1, C>1. Это условие сильнее, чем просто положительность аргументов, и именно оно отсекает «фиктивные» решения, в которых один из аргументов равен, например, 12 (логарифм был бы отрицателен). 3) Треугольник равнобедренный, значит две из трёх сторон равны, и при этом выполнено строгое неравенство треугольника. **Равенство двух сторон.** Так как логарифм по основанию 2 строго возрастает, равенство длин равносильно равенству аргументов. Разберём три возможных случая. *Случай p=q:* A=B, то есть 2x^2+4x=8-x^2-19x 3x^2+23x-8=0 (x+8)(3x-1)=0, откуда x=-8 или x=13. *Случай p=r:* A=C, то есть 2x^2+4x=x^2-15x+(15)/(2) x^2+19x-(15)/(2)=0, корни x=(-19+-sqrt(391))/(2). Для обоих корней прямой подстановкой получаем B=8-x^2-19x. Из уравнения x^2+19x=(15)/(2) следует B=8-(15)/(2)=12, значит _2 B=-1<0 — сторона отрицательна. Эти корни не годятся (нарушено условие 2). *Случай q=r:* B=C, то есть 8-x^2-19x=x^2-15x+(15)/(2) 2x^2+4x-12=0 4x^2+8x-1=0, корни x=(-2+-sqrt(5))/(2). Здесь из уравнения следует 2x^2+4x=12, то есть A=12 и _2 A=-1<0 — снова отрицательная сторона. Эти корни не годятся. Итак, кандидатами остаются только x=-8 и x=13 из первого случая. **Проверка кандидатов.** Для x=-8: A=2* 64-32=96, B=8-64+152=96, C=64+120+(15)/(2)=(383)/(2)=191,5. Все аргументы больше 1, значит все стороны положительны. Равные стороны: p=q=_2 96; третья сторона r=_2(383)/(2). Неравенство треугольника для равнобедренного случая достаточно проверить в виде p+q>r (два других неравенства p+r>q и q+r>p выполнены автоматически, так как p=q и r>0): 2_2 96>_2(383)/(2) 96^2>(383)/(2) 9216>191,5, что верно. Значит при x=-8 числа _2 96, _2 96, _2(383)/(2) образуют невырожденный равнобедренный треугольник. Для x=13: A=2*19+43=(14)/(9), B=8-19-(19)/(3)=(14)/(9), C=19-5+(15)/(2)=(47)/(18). Аргументы больше 1, стороны положительны, но неравенство треугольника нарушено: p+q>r 2_2(14)/(9)>_2(47)/(18) ((14)/(9))^2>(47)/(18) (196)/(81)>(47)/(18). Но (196)/(81)=2,42<2,61=(47)/(18). Неравенство ложно, две равные стороны слишком коротки, треугольник не существует. Значит x=13 не подходит. **Вывод.** Единственное значение, при котором три данных логарифма являются длинами сторон равнобедренного треугольника, — x=-8.

\(-8\)