Задача №18197

Решить неравенство

$$26^x+27⩾9{\left(6-\sqrt{10}\right)}^x+3{\left(6+\sqrt{10}\right)}^x.$$

Требуется решить неравенство

$$26^x+27⩾9{\left(6-\sqrt{10}\right)}^x+3{\left(6+\sqrt{10}\right)}^x.$$

Ключевое наблюдение. Основания $6-\sqrt{10}$ и $6+\sqrt{10}$ сопряжены, и их произведение равно

$$\left(6-\sqrt{10}\right)\left(6+\sqrt{10}\right)=36-10=26.$$

Значит при любом $x$

$${\left(6-\sqrt{10}\right)}^x{\left(6+\sqrt{10}\right)}^x=(\left(6-\sqrt{10}\right)\left(6+\sqrt{10}\right){)}^x=26^x.$$

Замена. Введём обозначения

$$b={\left(6-\sqrt{10}\right)}^x,B={\left(6+\sqrt{10}\right)}^x.$$

Тогда $bB=26^x\text{,}$ и неравенство переписывается так:

$$bB+27⩾9b+3B.$$

Перенесём всё в левую часть и сгруппируем:

$$bB-9b-3B+27⩾0⟺b(B-9)-3(B-9)⩾0⟺(b-3)(B-9)⩾0.$$

То есть исходное неравенство равносильно

$$\left({\left(6-\sqrt{10}\right)}^x-3\right)\left({\left(6+\sqrt{10}\right)}^x-9\right)⩾0.$$

Анализ множителей. Оба основания больше единицы:

$$6-\sqrt{10}\approx 2,838>1,6+\sqrt{10}\approx 9,162>1,$$

поэтому обе показательные функции ${\left(6-\sqrt{10}\right)}^x$ и ${\left(6+\sqrt{10}\right)}^x$ строго возрастают. Найдём нули множителей.

Первый множитель обращается в нуль, когда

$${\left(6-\sqrt{10}\right)}^x=3⟺x={\log }_{6-\sqrt{10}}3=:x_1.$$

Так как функция возрастает, при $x<x_1$ первый множитель отрицателен, при $x>x_1$ — положителен.

Второй множитель обращается в нуль, когда

$${\left(6+\sqrt{10}\right)}^x=9⟺x={\log }_{6+\sqrt{10}}9=:x_2.$$

Аналогично при $x<x_2$ он отрицателен, при $x>x_2$ — положителен.

Порядок корней. Сравним $x_1$ и $x_2\text{.}$ Численно

$$x_1={\log }_{6-\sqrt{10}}3=\frac{\ln 3}{\ln \left(6-\sqrt{10}\right)}\approx 1,053,x_2={\log }_{6+\sqrt{10}}9=\frac{\ln 9}{\ln \left(6+\sqrt{10}\right)}\approx 0,992,$$

поэтому $x_2<x_1\text{.}$ (Строго: $x_2<1\text{,}$ так как $6+\sqrt{10}>9\text{,}$ а значит ${\log }_{6+\sqrt{10}}9<1\text{;}$ и $x_1>1\text{,}$ так как $6-\sqrt{10}<3\text{,}$ а значит ${\log }_{6-\sqrt{10}}3>1\text{.}$ Тем самым $x_2<1<x_1\text{.}$)

Знак произведения. Произведение $(b-3)(B-9)$ меняет знак в точках $x_2$ и $x_1\text{.}$ Составим таблицу знаков (помним, что $x_2<x_1$):

Неравенство $(b-3)(B-9)⩾0$ выполнено там, где произведение неотрицательно, то есть на крайних промежутках. В обеих граничных точках $x=x_2$ и $x=x_1$ произведение равно нулю, значит они входят в ответ (неравенство нестрогое).

Ответ.

$$\boxed{\left(-\infty ;{\log }_{6+\sqrt{10}}9\right]\cup \left[{\log }_{6-\sqrt{10}}3;+\infty \right)}.$$