Решить неравенство 26^x+27 9(6-sqrt(10))^x+3(6+sqrt(10))^x.

Требуется решить неравенство 26^x+27 9(6-sqrt(10))^x+3(6+sqrt(10))^x. **Ключевое наблюдение.** Основания 6-sqrt(10) и 6+sqrt(10) сопряжены, и их произведение равно (6-sqrt(10))(6+sqrt(10))=36-10=26. Значит при любом x (6-sqrt(10))^x(6+sqrt(10))^x=((6-sqrt(10))(6+sqrt(10)))^x=26^x. **Замена.** Введём обозначения b=(6-sqrt(10))^x, B=(6+sqrt(10))^x. Тогда bB=26^x, и неравенство переписывается так: bB+27 9b+3B. Перенесём всё в левую часть и сгруппируем: bB-9b-3B+27 0 b(B-9)-3(B-9) 0 (b-3)(B-9) 0. То есть исходное неравенство равносильно ((6-sqrt(10))^x-3)((6+sqrt(10))^x-9) 0. **Анализ множителей.** Оба основания больше единицы: 6-sqrt(10)~ 2,838>1, 6+sqrt(10)~ 9,162>1, поэтому обе показательные функции (6-sqrt(10))^x и (6+sqrt(10))^x строго возрастают. Найдём нули множителей. Первый множитель обращается в нуль, когда (6-sqrt(10))^x=3 x=_(6-sqrt(10))3=:x_1. Так как функция возрастает, при x<x_1 первый множитель отрицателен, при x>x_1 — положителен. Второй множитель обращается в нуль, когда (6+sqrt(10))^x=9 x=_(6+sqrt(10))9=:x_2. Аналогично при x<x_2 он отрицателен, при x>x_2 — положителен. **Порядок корней.** Сравним x_1 и x_2. Численно x_1=_(6-sqrt(10))3=(ln 3)/(ln(6-sqrt(10)))~ 1,053, x_2=_(6+sqrt(10))9=(ln 9)/(ln(6+sqrt(10)))~ 0,992, поэтому x_2<x_1. (Строго: x_2<1, так как 6+sqrt(10)>9, а значит _(6+sqrt(10))9<1; и x_1>1, так как 6-sqrt(10)<3, а значит _(6-sqrt(10))3>1. Тем самым x_2<1<x_1.) **Знак произведения.** Произведение (b-3)(B-9) меняет знак в точках x_2 и x_1. Составим таблицу знаков (помним, что x_2<x_1): | Промежуток | (6-sqrt(10))^x-3 | (6+sqrt(10))^x-9 | произведение | |---|---|---|---| | x<x_2 | - | - | + | | x_2<x<x_1 | - | + | - | | x>x_1 | + | + | + | Неравенство (b-3)(B-9) 0 выполнено там, где произведение неотрицательно, то есть на крайних промежутках. В обеих граничных точках x=x_2 и x=x_1 произведение равно нулю, значит они входят в ответ (неравенство нестрогое). **Ответ.** (-inf; _(6+sqrt(10))9]U[_(6-sqrt(10))3; +inf).

\(\left(-\infty;\ \log_{6+\sqrt{10}}9\right]\cup\left[\log_{6-\sqrt{10}}3;\ +\infty\right)\)