Решить уравнение |cos 2xsin 6x|+|cos 6xsin 2x|=sin(3pi)/(11).

Решим уравнение |cos 2xsin 6x|+|cos 6xsin 2x|=sin(3pi)/(11). **Шаг 1. Преобразование произведений в суммы.** По формуле =12(sin(alpha+beta)-sin(alpha-beta)) получаем cos 2xsin 6x=12(sin 8x+sin 4x), cos 6xsin 2x=12(sin 8x-sin 4x). Обозначим p=sin 8x, q=sin 4x. Тогда левая часть равна |(p+q)/(2)|+|(p-q)/(2)|=12(|p+q|+|p-q|). **Шаг 2. Тождество с модулями.** Для любых вещественных p,q справедливо |p+q|+|p-q|=2(|p|,|q|) (если |p|>=|q|, то оба числа p+- q дают в сумме модулей 2|p|; аналогично при |q|>=|p|). Поэтому |cos 2xsin 6x|+|cos 6xsin 2x|=(|sin 8x|,|sin 4x|). Обозначим c=sin(3pi)/(11). Так как 0<(3pi)/(11)<(pi)/(2), число cin(0,1) (численно c~ 0,7557). Уравнение принимает вид (|sin 8x|,|sin 4x|)=c. **Шаг 3. Разбор максимума.** Равенство (|sin 8x|,|sin 4x|)=c равносильно тому, что **одна** из величин равна c, а **другая** не превосходит c. **Случай A: |sin 4x|=c.** Тогда |cos 4x|=sqrt(1-c^2), и |sin 8x|=2|sin 4xcos 4x|=2csqrt(1-c^2). Подставив c~ 0,7557, получаем |sin 8x|~ 0,990>c. Значит здесь больший из модулей — это |sin 8x|>c, условие =c нарушается. **Случай A решений не даёт.** Строго: 2csqrt(1-c^2)<= c 4(1-c^2)<= 1 c^2>=34 c>=(3)/(2). Но c=sin(3pi)/(11)<sin(pi)/(3)=(3)/(2) (поскольку (3pi)/(11)<(pi)/(3)), так что неравенство ложно и случай A пуст. **Случай B: |sin 8x|=c** при дополнительном условии |sin 4x|<= c. Это и есть основной случай. **Шаг 4. Решаем |sin 8x|=c.** Равенство |sin|= при alphain(0,(pi)/(2)) равносильно =+-alpha+pi k, kinZ. Здесь =8x, alpha=(3pi)/(11): 8x=+-(3pi)/(11)+pi k x=+-(3pi)/(88)+(pi k)/(8), kinZ. **Шаг 5. Отбор по условию |sin 4x|<= c.** Для найденных x имеем 4x=+-(3pi)/(22)+(pi k)/(2), поэтому |sin 4x|=|sin(+-(3pi)/(22)+(pi k)/(2))|. - При **чётном** k=2n: (pi k)/(2)=pi n, и |sin 4x|=|sin(3pi)/(22)|~ 0,415<= c — условие выполнено. - При **нечётном** k=2n+1: (pi k)/(2)=(pi)/(2)+pi n, и |sin 4x|=|cos(3pi)/(22)|~ 0,910>c — условие нарушено, такие x посторонние. Сравнение: sin(3pi)/(22)<= c=sin(3pi)/(11) верно, так как (3pi)/(22)<(3pi)/(11)<(pi)/(2); а cos(3pi)/(22)=sin(8pi)/(22)=sin(4pi)/(11)>sin(3pi)/(11)=c, так как (3pi)/(11)<(4pi)/(11)<(pi)/(2). Поэтому остаются ровно чётные k=2n. **Шаг 6. Ответ.** Полагая k=2n: x=+-(3pi)/(88)+(pi(2n))/(8)=+-(3pi)/(88)+(pi n)/(4), ninZ. **Ответ:** x=+-(3pi)/(88)+(pi n)/(4), ninZ.

\(\pm\frac{3\pi}{88}+\frac{\pi n}{4},\ n\in\mathbb{Z}\)