Задача №18200

Решить уравнение

$$|\cos 2x\sin 6x|+|\cos 6x\sin 2x|=\sin \frac{3\pi }{11}.$$

Решим уравнение

$$|\cos 2x\sin 6x|+|\cos 6x\sin 2x|=\sin \frac{3\pi }{11}.$$

Шаг 1. Преобразование произведений в суммы. По формуле $\cos \alpha \sin \beta =\frac{1}{2}(\sin (\alpha +\beta )-\sin (\alpha -\beta ))$ получаем

$$\cos 2x\sin 6x=\frac{1}{2}(\sin 8x+\sin 4x),\cos 6x\sin 2x=\frac{1}{2}(\sin 8x-\sin 4x).$$

Обозначим $p=\sin 8x\text{,}$ $q=\sin 4x\text{.}$ Тогда левая часть равна

$$\left|\frac{p+q}{2}\right|+\left|\frac{p-q}{2}\right|=\frac{1}{2}(|p+q|+|p-q|).$$

Шаг 2. Тождество с модулями. Для любых вещественных $p,q$ справедливо $|p+q|+|p-q|=2\max (|p|,|q|)$ (если $|p|\ge |q|\text{,}$ то оба числа $p\pm q$ дают в сумме модулей $2|p|\text{;}$ аналогично при $|q|\ge |p|$). Поэтому

$$|\cos 2x\sin 6x|+|\cos 6x\sin 2x|=\max (|\sin 8x|,|\sin 4x|).$$

Обозначим $c=\sin \frac{3\pi }{11}\text{.}$ Так как $0<\frac{3\pi }{11}<\frac{\pi }{2}\text{,}$ число $c\in (0,1)$ (численно $c\approx 0,7557$). Уравнение принимает вид

$$\max (|\sin 8x|,|\sin 4x|)=c.$$

Шаг 3. Разбор максимума. Равенство $\max (|\sin 8x|,|\sin 4x|)=c$ равносильно тому, что одна из величин равна $c\text{,}$ а другая не превосходит $c\text{.}$

Случай A: $|\sin 4x|=c\text{.}$ Тогда $|\cos 4x|=\sqrt{1-c^2}\text{,}$ и

$$|\sin 8x|=2|\sin 4x\cos 4x|=2c\sqrt{1-c^2}.$$

Подставив $c\approx 0,7557\text{,}$ получаем $|\sin 8x|\approx 0,990>c\text{.}$ Значит здесь больший из модулей — это $|\sin 8x|>c\text{,}$ условие $\max =c$ нарушается. Случай A решений не даёт.

Строго: $2c\sqrt{1-c^2}\le c⟺4(1-c^2)\le 1⟺c^2\ge \frac{3}{4}⟺c\ge \frac{\sqrt{3}}{2}\text{.}$ Но $c=\sin \frac{3\pi }{11}<\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ (поскольку $\frac{3\pi }{11}<\frac{\pi }{3}$), так что неравенство ложно и случай A пуст.

Случай B: $|\sin 8x|=c$ при дополнительном условии $|\sin 4x|\le c\text{.}$ Это и есть основной случай.

Шаг 4. Решаем $|\sin 8x|=c\text{.}$ Равенство $|\sin \theta |=\sin \alpha$ при $\alpha \in (0,\frac{\pi }{2})$ равносильно $\theta =\pm \alpha +\pi k,k\in \mathbb{Z}\text{.}$ Здесь $\theta =8x\text{,}$ $\alpha =\frac{3\pi }{11}\text{:}$

$$8x=\pm \frac{3\pi }{11}+\pi k⟹x=\pm \frac{3\pi }{88}+\frac{\pi k}{8},k\in \mathbb{Z}.$$

Шаг 5. Отбор по условию $|\sin 4x|\le c\text{.}$ Для найденных $x$ имеем $4x=\pm \frac{3\pi }{22}+\frac{\pi k}{2}\text{,}$ поэтому

$$|\sin 4x|=\left|\sin \right(\pm \frac{3\pi }{22}+\frac{\pi k}{2}\left)\right|.$$

• При чётном $k=2n\text{:}$ $\frac{\pi k}{2}=\pi n\text{,}$ и $|\sin 4x|=\left|\sin \frac{3\pi }{22}\right|\approx 0,415\le c$ — условие выполнено.
• При нечётном $k=2n+1\text{:}$ $\frac{\pi k}{2}=\frac{\pi }{2}+\pi n\text{,}$ и $|\sin 4x|=\left|\cos \frac{3\pi }{22}\right|\approx 0,910>c$ — условие нарушено, такие $x$ посторонние.

Сравнение: $\sin \frac{3\pi }{22}\le c=\sin \frac{3\pi }{11}$ верно, так как $\frac{3\pi }{22}<\frac{3\pi }{11}<\frac{\pi }{2}\text{;}$ а $\cos \frac{3\pi }{22}=\sin \frac{8\pi }{22}=\sin \frac{4\pi }{11}>\sin \frac{3\pi }{11}=c\text{,}$ так как $\frac{3\pi }{11}<\frac{4\pi }{11}<\frac{\pi }{2}\text{.}$ Поэтому остаются ровно чётные $k=2n\text{.}$

Шаг 6. Ответ. Полагая $k=2n\text{:}$

$$x=\pm \frac{3\pi }{88}+\frac{\pi (2n)}{8}=\pm \frac{3\pi }{88}+\frac{\pi n}{4},n\in \mathbb{Z}.$$

Ответ: $x=\pm \frac{3\pi }{88}+\frac{\pi n}{4},n\in \mathbb{Z}.$