Две окружности с центрами O и Q, пересекающиеся друг с другом в точках A и B, пересекают биссектрису угла OAQ в точках C и D соответственно. Отрезки OQ и AD пересекаются в точке E, причём площади треугольников OAE и QAE равны 18 и 42 соответственно. Найти площади четырёхугольника OAQD и отношение BC:BD.

Обозначим радиусы окружностей R=OA=OC (окружность с центром O) и r=QA=QD (окружность с центром Q). Пусть OAQ=2alpha; биссектриса AD этого угла делит его на два угла по alpha, причём луч AD содержит точки C и D (обе лежат на биссектрисе), значит точки A, C, D лежат на одном луче. **Длины хорд на биссектрисе.** В треугольнике OAC стороны OA=OC=R, то есть он равнобедренный, и AC — основание. Угол при вершине A равен OAC=alpha (это половина угла OAQ), поэтому равный ему угол при основании OCA=alpha, а основание AC=2* OA*=2R. Аналогично треугольник QAD равнобедренный (QA=QD=r, QAD=alpha), откуда AD=2r, AQD=pi-2alpha. **Точка E и отношение на отрезке OQ.** Введём систему координат: точку A поместим в начало, а биссектрису AD направим по положительной полуоси Ox. Тогда O=(R,R), Q=(r,-r), C=(2R,0), D=(2r,0) (точки C, D получаются вторым пересечением соответствующей окружности с осью Ox: из уравнения x^2-2Rcos=0 получаем x=2R, и аналогично для D). Точка E — пересечение прямой OQ с осью Ox (на которой лежит AD). Точки O и Q находятся по разные стороны от оси Ox на расстояниях R и r соответственно. Поэтому ось делит отрезок OQ в отношении этих расстояний: (OE)/(EQ)=(R)/(r)=(R)/(r). С другой стороны, треугольники OAE и QAE имеют общую вершину A, а их основания OE и EQ лежат на одной прямой OQ, значит высоты, опущенные из A на эту прямую, у них одна и та же. Поэтому (S_(OAE))/(S_(QAE))=(OE)/(EQ). По условию S_(OAE)=18, S_(QAE)=42, следовательно (R)/(r)=(18)/(42)=(3)/(7). **Площадь четырёхугольника OAQD.** Цевиана AE делит треугольник OAQ на треугольники OAE и QAE, поэтому S_(OAQ)=S_(OAE)+S_(QAE)=18+42=60. При этом S_(OAQ)=12OA* QA*sin OAQ=12 Rrsin 2alpha. Диагональ AQ разбивает четырёхугольник OAQD (вершины в порядке O,A,Q,D) на треугольники OAQ и AQD. Площадь второго: S_(AQD)=12QA* QD*sin AQD=12 r^2sin(pi-2alpha)=12 r^2sin 2alpha. Отсюда (S_(AQD))/(S_(OAQ))=(12 r^2sin 2alpha)/(12 Rrsin 2alpha)=(r)/(R)=(7)/(3), поэтому S_(AQD)=60*(7)/(3)=140, S_(OAQD)=S_(OAQ)+S_(AQD)=60+140=200. **Отношение BC:BD.** Точка B — второе пересечение окружностей; так как линия центров OQ является серединным перпендикуляром общей хорды AB, точка B симметрична A относительно прямой OQ, и при этом B лежит на обеих окружностях. Рассмотрим хорду BC окружности с центром O: точка A тоже лежит на этой окружности, поэтому хорда BC видна из A под вписанным углом BAC, и по теореме о вписанном угле (хорда равна диаметру, умноженному на синус вписанного угла) BC=2Rsin BAC. Аналогично хорда BD окружности с центром Q, стягиваемая вписанным углом BAD (точка A на этой окружности), равна BD=2rsin BAD. Но точки A, C, D лежат на одном луче (биссектрисе), значит лучи AC и AD совпадают, и потому BAC= BAD. Следовательно (BC)/(BD)=(2Rsin BAC)/(2rsin BAD)=(R)/(r)=(3)/(7). **Ответ:** S_(OAQD)=200, BC:BD=3:7.

\(S_{OAQD}=200,\quad BC:BD=3:7\)