Две окружности с центрами O и Q, пересекающиеся друг с другом в точках A и B, пересекают биссектрису угла OAQ в точках C и D соответственно. Отрезки OQ и AD пересекаются в точке E, причём площади...

Задача №18199: Планиметрия

Обозначим радиусы окружностей $R = O A = O C$ (окружность с центром $O$ ) и $r = Q A = Q D$ (окружность с центром $Q$ ). Пусть $∠ O A Q = 2 α;$ биссектриса $A D$ этого угла делит его на два угла по $α,$ причём луч $A D$ содержит точки $C$ и $D$ (обе лежат на биссектрисе), значит точки $A,$ $C,$ $D$ лежат на одном луче.

Длины хорд на биссектрисе. В треугольнике $O A C$ стороны $O A = O C = R,$ то есть он равнобедренный, и $A C$ — основание. Угол при вершине $A$ равен $∠ O A C = α$ (это половина угла $O A Q$ ), поэтому равный ему угол при основании $∠ O C A = α,$ а основание

A C = 2 \cdot O A \cdot cos α = 2 R cos α .

Аналогично треугольник $Q A D$ равнобедренный ( $Q A = Q D = r,$ $∠ Q A D = α$ ), откуда

A D = 2 r cos α, ∠ A Q D = π - 2 α .

Точка $E$ и отношение на отрезке $O Q .$ Введём систему координат: точку $A$ поместим в начало, а биссектрису $A D$ направим по положительной полуоси $O x .$ Тогда

O = (R cos α, R sin α), Q = (r cos α, - r sin α),

C = (2 R cos α, 0), D = (2 r cos α, 0)

(точки $C,$ $D$ получаются вторым пересечением соответствующей окружности с осью $O x :$ из уравнения $x^{2} - 2 R cos α x = 0$ получаем $x = 2 R cos α,$ и аналогично для $D$ ).

Точка $E$ — пересечение прямой $O Q$ с осью $O x$ (на которой лежит $A D$ ). Точки $O$ и $Q$ находятся по разные стороны от оси $O x$ на расстояниях $R sin α$ и $r sin α$ соответственно. Поэтому ось делит отрезок $O Q$ в отношении этих расстояний:

\frac{O E}{E Q} = \frac{R sin α}{r sin α} = \frac{R}{r} .

С другой стороны, треугольники $O A E$ и $Q A E$ имеют общую вершину $A,$ а их основания $O E$ и $E Q$ лежат на одной прямой $O Q,$ значит высоты, опущенные из $A$ на эту прямую, у них одна и та же. Поэтому

\frac{S _{O A E}}{S _{Q A E}} = \frac{O E}{E Q} .

По условию $S_{O A E} = 18,$ $S_{Q A E} = 42,$ следовательно

\frac{R}{r} = \frac{18}{42} = \frac{3}{7} .

Площадь четырёхугольника $O A Q D .$ Цевиана $A E$ делит треугольник $O A Q$ на треугольники $O A E$ и $Q A E,$ поэтому

S_{O A Q} = S_{O A E} + S_{Q A E} = 18 + 42 = 60.

При этом

S_{O A Q} = \frac{1}{2} O A \cdot Q A \cdot sin ∠ O A Q = \frac{1}{2} R r sin 2 α .

Диагональ $A Q$ разбивает четырёхугольник $O A Q D$ (вершины в порядке $O, A, Q, D$ ) на треугольники $O A Q$ и $A Q D .$ Площадь второго:

S_{A Q D} = \frac{1}{2} Q A \cdot Q D \cdot sin ∠ A Q D = \frac{1}{2} r^{2} sin (π - 2 α) = \frac{1}{2} r^{2} sin 2 α .

Отсюда

\frac{S _{A Q D}}{S _{O A Q}} = \frac{\frac{1}{2} r ^{2} sin 2 α}{\frac{1}{2} R r sin 2 α} = \frac{r}{R} = \frac{7}{3},

поэтому

S_{A Q D} = 60 \cdot \frac{7}{3} = 140, S_{O A Q D} = S_{O A Q} + S_{A Q D} = 60 + 140 = 200.

Отношение $B C : B D .$ Точка $B$ — второе пересечение окружностей; так как линия центров $O Q$ является серединным перпендикуляром общей хорды $A B,$ точка $B$ симметрична $A$ относительно прямой $O Q,$ и при этом $B$ лежит на обеих окружностях. Рассмотрим хорду $B C$ окружности с центром $O :$ точка $A$ тоже лежит на этой окружности, поэтому хорда $B C$ видна из $A$ под вписанным углом $∠ B A C,$ и по теореме о вписанном угле (хорда равна диаметру, умноженному на синус вписанного угла)

B C = 2 R sin ∠ B A C .

Аналогично хорда $B D$ окружности с центром $Q,$ стягиваемая вписанным углом $∠ B A D$ (точка $A$ на этой окружности), равна

B D = 2 r sin ∠ B A D .

Но точки $A,$ $C,$ $D$ лежат на одном луче (биссектрисе), значит лучи $A C$ и $A D$ совпадают, и потому $∠ B A C = ∠ B A D .$ Следовательно

\frac{B C}{B D} = \frac{2 R sin ∠ B A C}{2 r sin ∠ B A D} = \frac{R}{r} = \frac{3}{7} .

Ответ: $S_{O A Q D} = 200,$ $B C : B D = 3 : 7 .$

Задача №18199

Задача #18199

Решай похожие задачи

Информация

Задача #18199

Условие

Решение

Ответ

Решай похожие задачи

Информация