Основанием треугольной пирамиды SABC служит треугольник со сторонами AB=BC=15 и AC=18. Двугранные углы при рёбрах AB и BC равны по arctg(1)/(7), а при ребре AC — (pi)/(4). Сфера, центр которой лежит в плоскости ABC, касается боковых граней в точках K, L и M. Найти радиус сферы, описанной около пирамиды SKLM.

Введём систему координат в плоскости основания ABC. Так как треугольник ABC равнобедренный (AB=BC=15, AC=18), поместим AC на ось Ox симметрично относительно оси Oy: A=(-9,0,0), C=(9,0,0), B=(0,h,0). Из AB=15 получаем h^2+9^2=15^2, то есть h^2=144, h=12. Итак, B=(0,12,0). Ось Oz направим вверх. **Положение вершины S.** Пусть P=(x_0,y_0,0) — проекция вершины S=(x_0,y_0,z) на плоскость основания, z>0. Двугранный угол при боковом ребре, лежащем на прямой основания, есть угол между боковой гранью и плоскостью основания; его тангенс равен (z)/((P,)), где (P,) — расстояние от P до прямой (это верно, когда P лежит внутри основания). Условия задачи дают (z)/((P,AC))=tg(pi)/(4)=1, (z)/((P,AB))=(z)/((P,BC))=tg(arctg17)=17, откуда (P,AC)=z, (P,AB)=(P,BC)=7z. Из равенства (P,AB)=(P,BC) и симметрии задачи относительно оси Oy следует x_0=0, то есть P=(0,y_0,0). Прямая AC — это ось Ox, поэтому (P,AC)=y_0=z. Прямая AB проходит через (-9,0) и (0,12); её уравнение 12x-9y+108=0 (нормирующий множитель sqrt(12^2+9^2)=15). Для внутренней точки (P,AB)=(12* 0-9y_0+108)/(15)=(108-9z)/(15). Уравнение (P,AB)=7z даёт 108-9z=105z, то есть z=(108)/(114)=(18)/(19). Значит, P=(0,(18)/(19),0), S=(0,(18)/(19),(18)/(19)). Точка P лежит внутри треугольника ABC, все три двугранных угла при этом получаются именно требуемыми (прямая проверка тангенсов даёт 1, 17, 17). **Сфера, касающаяся боковых граней.** Центр сферы O лежит в плоскости ABC, то есть O=(o_x,o_y,0), и сфера касается трёх боковых граней SAB, SBC, SAC; значит, расстояния от O до плоскостей этих граней равны радиусу r. По симметрии o_x=0, тогда расстояния до SAB и SBC автоматически совпадают. Найдём уравнения граней через нормали n=P_1P_2*P_1P_3. Для грани SAC расстояние от O=(0,o_y,0) оказывается равным (2)/(2)|o_y|, а для грани SAB — равным (32)/(50)|12-o_y|. Приравнивая знаковые расстояния (с учётом того, что искомая сфера касается граней с внутренней стороны пирамиды), получаем уравнение (32)/(50)(12-o_y)=(2)/(2)o_y3(12-o_y)=25o_y36=28o_y_y=(9)/(7). (Второй корень другого знакового варианта, o_y=-(18)/(11), даёт сферу, точки касания которой выходят за пределы боковых граней, и отбрасывается.) Итак, O=(0,(9)/(7),0), r=(2)/(2)*(9)/(7)=(92)/(14). **Точки касания.** Точка касания сферы с гранью — это основание перпендикуляра из O на плоскость грани. Опуская перпендикуляры из O на плоскости SAB, SBC, SAC, получаем K=(-(18)/(175),(477)/(350),(9)/(10)) на SAB, L=((18)/(175),(477)/(350),(9)/(10)) на SBC, M=(0,(9)/(14),(9)/(14)) на SAC. Все они лежат строго внутри соответствующих боковых граней (их барицентрические координаты положительны), что подтверждает правильность выбора центра. **Радиус описанной сферы пирамиды SKLM.** Центр описанной сферы Q=(q_x,q_y,q_z) равноудалён от вершин S,K,L,M. По симметрии q_x=0. Из системы условий равенства квадратов расстояний |QS|^2=|QK|^2=|QL|^2=|QM|^2 находится единственная точка Q, и радиус R=|QS|=(9sqrt(221))/(266). Прямой подсчёт даёт расстояния от Q до всех четырёх вершин, равные одному и тому же значению, что и подтверждает результат. **Ответ:** R=(9)/(266)sqrt(221).

\(\frac{9}{266}\sqrt{221}\)