Задача №18201

Основанием треугольной пирамиды $SABC$ служит треугольник со сторонами $AB=BC=15$ и $AC=18\text{.}$ Двугранные углы при рёбрах $AB$ и $BC$ равны по $\mathrm{arctg}\frac{1}{7}\text{,}$ а при ребре $AC$ — $\frac{\pi }{4}\text{.}$ Сфера, центр которой лежит в плоскости $ABC\text{,}$ касается боковых граней в точках $K\text{,}$ $L$ и $M\text{.}$ Найти радиус сферы, описанной около пирамиды $SKLM\text{.}$

Введём систему координат в плоскости основания $ABC\text{.}$ Так как треугольник $ABC$ равнобедренный ($AB=BC=15\text{,}$ $AC=18$), поместим $AC$ на ось $Ox$ симметрично относительно оси $Oy\text{:}$

Из $AB=15$ получаем $h^2+9^2=15^2\text{,}$ то есть $h^2=144\text{,}$ $h=12\text{.}$ Итак, $B=(0,12,0)\text{.}$ Ось $Oz$ направим вверх.

Положение вершины $S\text{.}$ Пусть $P=(x_0,y_0,0)$ — проекция вершины $S=(x_0,y_0,z)$ на плоскость основания, $z>0\text{.}$ Двугранный угол при боковом ребре, лежащем на прямой $\ell$ основания, есть угол между боковой гранью и плоскостью основания; его тангенс равен $\frac{z}{\rho (P,\ell )}\text{,}$ где $\rho (P,\ell )$ — расстояние от $P$ до прямой $\ell$ (это верно, когда $P$ лежит внутри основания). Условия задачи дают

откуда

Из равенства $\rho (P,AB)=\rho (P,BC)$ и симметрии задачи относительно оси $Oy$ следует $x_0=0\text{,}$ то есть $P=(0,y_0,0)\text{.}$ Прямая $AC$ — это ось $Ox\text{,}$ поэтому $\rho (P,AC)=y_0=z\text{.}$ Прямая $AB$ проходит через $(-9,0)$ и $(0,12)\text{;}$ её уравнение $12x-9y+108=0$ (нормирующий множитель $\sqrt{12^2+9^2}=15$). Для внутренней точки

Уравнение $\rho (P,AB)=7z$ даёт $108-9z=105z\text{,}$ то есть $z=\frac{108}{114}=\frac{18}{19}\text{.}$ Значит,

Точка $P$ лежит внутри треугольника $ABC\text{,}$ все три двугранных угла при этом получаются именно требуемыми (прямая проверка тангенсов даёт $1\text{,}$ $\frac{1}{7}\text{,}$ $\frac{1}{7}$).

Сфера, касающаяся боковых граней. Центр сферы $O$ лежит в плоскости $ABC\text{,}$ то есть $O=(o_x,o_y,0)\text{,}$ и сфера касается трёх боковых граней $SAB\text{,}$ $SBC\text{,}$ $SAC\text{;}$ значит, расстояния от $O$ до плоскостей этих граней равны радиусу $r\text{.}$ По симметрии $o_x=0\text{,}$ тогда расстояния до $SAB$ и $SBC$ автоматически совпадают. Найдём уравнения граней через нормали $\mathbf{n}=\overrightarrow{P_1{P}_2}\times \overrightarrow{P_1{P}_3}\text{.}$

Для грани $SAC$ расстояние от $O=(0,o_y,0)$ оказывается равным $\frac{\sqrt{2}}{2}|o_y|\text{,}$ а для грани $SAB$ — равным $\frac{3\sqrt{2}}{50}|12-o_y|\text{.}$ Приравнивая знаковые расстояния (с учётом того, что искомая сфера касается граней с внутренней стороны пирамиды), получаем уравнение

(Второй корень другого знакового варианта, $o_y=-\frac{18}{11}\text{,}$ даёт сферу, точки касания которой выходят за пределы боковых граней, и отбрасывается.) Итак,

Точки касания. Точка касания сферы с гранью — это основание перпендикуляра из $O$ на плоскость грани. Опуская перпендикуляры из $O$ на плоскости $SAB\text{,}$ $SBC\text{,}$ $SAC\text{,}$ получаем

Все они лежат строго внутри соответствующих боковых граней (их барицентрические координаты положительны), что подтверждает правильность выбора центра.

Радиус описанной сферы пирамиды $SKLM\text{.}$ Центр описанной сферы $Q=(q_x,q_y,q_z)$ равноудалён от вершин $S,K,L,M\text{.}$ По симметрии $q_x=0\text{.}$ Из системы условий равенства квадратов расстояний

находится единственная точка $Q\text{,}$ и радиус

Прямой подсчёт даёт расстояния от $Q$ до всех четырёх вершин, равные одному и тому же значению, что и подтверждает результат.

Ответ: $R=\frac{9}{266}\sqrt{221}\text{.}$