Найти все значения параметра a, при каждом из которых графики функций y=(3x+1)/(x) и y=(4x+3a-7)/(ax-1) разбивают координатную плоскость ровно на пять частей.

Преобразуем обе функции к виду «сдвинутая гипербола». Для первой функции y=(3x+1)/(x)=3+(1)/(x), x!= 0. Это равнобочная гипербола с вертикальной асимптотой x=0 и горизонтальной асимптотой y=3. Её ветвь при x>0 лежит в полуплоскости y>3 (верхняя справа), ветвь при x<0 — в полуплоскости y<3 (нижняя слева). Одна гипербола (две ветви) разбивает плоскость на **три** части. Для второй функции при a!= 0 выделим целую часть: y=(4x+3a-7)/(ax-1)=(4)/(a)+((a-1)(3a-4))/(a(ax-1)), x!=1a. Видно, что характер графика зависит от a. Отдельно разберём вырождения. **Тип второго графика.** - a=0: y=(4x-7)/(-1)=7-4x — прямая. - a=1: числитель (a-1)(3a-4)=0, поэтому y=(4x-4)/(x-1)=4 при x!= 1 — горизонтальная прямая y=4 с «проколом» в точке (1;4). - a=43: аналогично (a-1)(3a-4)=0, и y=(4x-3)/(43x-1)=3 при x!=34 — прямая y=3 с проколом в (34;3). - при остальных a (то есть a0,1,43) второй график — гипербола с асимптотами x=1a и y=4a. **Точки пересечения графиков.** Приравнивая (3x+1)/(x)=(4x+3a-7)/(ax-1) и умножая накрест (точки x=0 и x=1a исключены из ОДЗ), получаем (3a-4)x^(2)+(4-2a)x-1=0. Подстановка x=0 даёт -10, так что корень x=0 невозможен; корень x=1a появляется лишь при a=1 и a=43 (именно в точках прокола). Дискриминант D=(4-2a)^2+4(3a-4)=4a(a-1). Отсюда: D<0 при 0<a<1 (нет пересечений), D=0 при a=0 или a=1, D>0 при a<0 или a>1. **Подсчёт числа частей.** Воспользуемся формулой Эйлера для разбиения сферы (одноточечной компактификации плоскости): V-E+F=2, где F — число граней, равное числу частей плоскости (точка «бесконечность» N лежит на всех неограниченных кривых, поэтому не попадает внутрь ни одной части, и биекция «части плоскости грани сферы» верна). Все неограниченные дуги сходятся в единственной точке N; граф связен, и формула применима независимо от направлений асимптот. Каждая ветвь гиперболы — петля при N; добавление конечной вершины пересечения делит проходящие через неё дуги. Случай **двух гипербол** с T конечными точками пересечения: V=1+T, E=(T+2)+(T+2)=2T+4, откуда F=2-V+E=5+T. 1) 0<a<1: второй график — гипербола, T=0. Получаем F=5. **Пять частей.** 2) a<0 или a>1 (и a!=43): гипербола, T=2. Тогда F=7. Не подходит. 3) a=0: прямая y=7-4x. Уравнение пересечения даёт -(2x-1)^2=0, то есть единственную точку x=12: прямая касается гиперболы в точке (12;5) (в ней и значения, и угловые коэффициенты совпадают: f_1'(12)=-4, наклон прямой -4), других общих точек нет. Это одна вершина степени 4. Для прямой (одна дуга) и гиперболы (две дуги): V=1+1=2, E=(1+1)+(1+2)=5, F=2-2+5=5. **Пять частей.** 4) a=1: прямая y=4 с проколом в (1;4). Прямая y=4 пересекала бы гиперболу там, где 3+1x=4, то есть при x=1 — но это и есть выколотая точка, лежащая на гиперболе (f_1(1)=4). Значит, общих точек у графиков нет, а две «полупрямые» x<1 и x>1 подходят к точке (1;4), лежащей на гиперболе. Берём вершины N и (1;4) (ветвь x>0 проходит через неё, деля её на две дуги): V=2, E=(2+1)_(гипербола)+2_(две полупрямые)=5, F=2-2+5=5. **Пять частей.** 5) a=43: прямая y=3 с проколом в (34;3). Прямая y=3 — это горизонтальная асимптота гиперболы, она с гиперболой не пересекается. Без прокола прямая и гипербола давали бы 4 части (верхняя полуплоскость делится ветвью x>0 на две части, нижняя — ветвью x<0 на две). Точка прокола (34;3) не лежит на гиперболе (f_1(34)=(13)/(3)3); через этот «прокол» соединяются область чуть выше прямой (карман между прямой и верхней ветвью) и область чуть ниже прямой — две разные части сливаются в одну. Поэтому частей 4-1=3. Не подходит. **Итог.** Ровно пять частей получается тогда и только тогда, когда ain[0;1].

\([0;1]\)