Задача №18202

Найти все значения параметра $a\text{,}$ при каждом из которых графики функций

$$y=\frac{3x+1}{x}\text{и}y=\frac{4x+3a-7}{ax-1}$$

разбивают координатную плоскость ровно на пять частей.

Преобразуем обе функции к виду «сдвинутая гипербола».

Для первой функции

$$y=\frac{3x+1}{x}=3+\frac{1}{x},x\ne 0.$$

Это равнобочная гипербола с вертикальной асимптотой $x=0$ и горизонтальной асимптотой $y=3\text{.}$ Её ветвь при $x>0$ лежит в полуплоскости $y>3$ (верхняя справа), ветвь при $x<0$ — в полуплоскости $y<3$ (нижняя слева). Одна гипербола (две ветви) разбивает плоскость на три части.

Для второй функции при $a\ne 0$ выделим целую часть:

$$y=\frac{4x+3a-7}{ax-1}=\frac{4}{a}+\frac{(a-1)(3a-4)}{a(ax-1)},x\ne \frac{1}{a}.$$

Видно, что характер графика зависит от $a\text{.}$ Отдельно разберём вырождения.

Тип второго графика.

• $a=0\text{:}$ $y=\frac{4x-7}{-1}=7-4x$ — прямая.
• $a=1\text{:}$ числитель $(a-1)(3a-4)=0\text{,}$ поэтому $y=\frac{4x-4}{x-1}=4$ при $x\ne 1$ — горизонтальная прямая $y=4$ с «проколом» в точке $(1;4)\text{.}$
• $a=\frac{4}{3}\text{:}$ аналогично $(a-1)(3a-4)=0\text{,}$ и $y=\frac{4x-3}{\frac{4}{3}x-1}=3$ при $x\ne \frac{3}{4}$ — прямая $y=3$ с проколом в $\left(\frac{3}{4};3\right)\text{.}$
• при остальных $a$ (то есть $a\ne 0,1,\frac{4}{3}$) второй график — гипербола с асимптотами $x=\frac{1}{a}$ и $y=\frac{4}{a}\text{.}$

Точки пересечения графиков. Приравнивая $\frac{3x+1}{x}=\frac{4x+3a-7}{ax-1}$ и умножая накрест (точки $x=0$ и $x=\frac{1}{a}$ исключены из ОДЗ), получаем

$$(3a-4)x^2+(4-2a)x-1=0.$$

Подстановка $x=0$ даёт $-1\ne 0\text{,}$ так что корень $x=0$ невозможен; корень $x=\frac{1}{a}$ появляется лишь при $a=1$ и $a=\frac{4}{3}$ (именно в точках прокола). Дискриминант

$$D=(4-2a{)}^2+4(3a-4)=4a(a-1).$$

Отсюда:

$$D<0\text{при}0<a<1(\text{нет пересечений}),D=0\text{при}a=0\text{или}a=1,D>0\text{при}a<0\text{или}a>1.$$

Подсчёт числа частей. Воспользуемся формулой Эйлера для разбиения сферы (одноточечной компактификации плоскости): $V-E+F=2\text{,}$ где $F$ — число граней, равное числу частей плоскости (точка «бесконечность» $N$ лежит на всех неограниченных кривых, поэтому не попадает внутрь ни одной части, и биекция «части плоскости $\leftrightarrow$ грани сферы» верна). Все неограниченные дуги сходятся в единственной точке $N\text{;}$ граф связен, и формула применима независимо от направлений асимптот. Каждая ветвь гиперболы — петля при $N\text{;}$ добавление конечной вершины пересечения делит проходящие через неё дуги.

Случай двух гипербол с $T$ конечными точками пересечения: $V=1+T\text{,}$ $E=(T+2)+(T+2)=2T+4\text{,}$ откуда

$$F=2-V+E=5+T.$$

1) $0<a<1\text{:}$ второй график — гипербола, $T=0\text{.}$ Получаем $F=5\text{.}$ Пять частей.

2) $a<0$ или $a>1$ (и $a\ne \frac{4}{3}$): гипербола, $T=2\text{.}$ Тогда $F=7\text{.}$ Не подходит.

3) $a=0\text{:}$ прямая $y=7-4x\text{.}$ Уравнение пересечения даёт $-(2x-1{)}^2=0\text{,}$ то есть единственную точку $x=\frac{1}{2}\text{:}$ прямая касается гиперболы в точке $\left(\frac{1}{2};5\right)$ (в ней и значения, и угловые коэффициенты совпадают: $f_1^{\prime }(\frac{1}{2})=-4\text{,}$ наклон прямой $-4$), других общих точек нет. Это одна вершина степени $4\text{.}$ Для прямой (одна дуга) и гиперболы (две дуги):

$$V=1+1=2,E=(1+1)+(1+2)=5,F=2-2+5=5.$$

Пять частей.

4) $a=1\text{:}$ прямая $y=4$ с проколом в $(1;4)\text{.}$ Прямая $y=4$ пересекала бы гиперболу там, где $3+\frac{1}{x}=4\text{,}$ то есть при $x=1$ — но это и есть выколотая точка, лежащая на гиперболе ($f_1(1)=4$). Значит, общих точек у графиков нет, а две «полупрямые» $x<1$ и $x>1$ подходят к точке $(1;4)\text{,}$ лежащей на гиперболе. Берём вершины $N$ и $(1;4)$ (ветвь $x>0$ проходит через неё, деля её на две дуги):

$$V=2,E=\underset{\text{гипербола}}{\underbrace{(2+1)}}+\underset{\text{две полупрямые}}{\underbrace{2}}=5,F=2-2+5=5.$$

Пять частей.

5) $a=\frac{4}{3}\text{:}$ прямая $y=3$ с проколом в $\left(\frac{3}{4};3\right)\text{.}$ Прямая $y=3$ — это горизонтальная асимптота гиперболы, она с гиперболой не пересекается. Без прокола прямая и гипербола давали бы $4$ части (верхняя полуплоскость делится ветвью $x>0$ на две части, нижняя — ветвью $x<0$ на две). Точка прокола $\left(\frac{3}{4};3\right)$ не лежит на гиперболе ($f_1(\frac{3}{4})=\frac{13}{3}\ne 3$); через этот «прокол» соединяются область чуть выше прямой (карман между прямой и верхней ветвью) и область чуть ниже прямой — две разные части сливаются в одну. Поэтому частей $4-1=3\text{.}$ Не подходит.

Итог. Ровно пять частей получается тогда и только тогда, когда

$$\boxed{a\in [0;1]}.$$