58:I[522016,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],""] 59:I[505014,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"default"] 5a:I[830789,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"CollectionDetailClient",1] 5b:Tb4a,Область определения задаётся подкоренным выражением: $3x+18\geqslant 0$, то есть $x\geqslant -6$. Заметим, что обе части уравнения построены по одному и тому же закону. Введём функцию \[f(t)=3t-2|t-2|.\] Тогда левая часть есть $f(x)$, а правая часть есть $f\bigl(\sqrt{3x+18}\bigr)$, потому что в правой части роль аргумента $t$ играет $\sqrt{3x+18}$. Итак, уравнение равносильно равенству \[f(x)=f\bigl(\sqrt{3x+18}\bigr).\] Исследуем функцию $f$, раскрыв модуль. При $t\geqslant 2$ имеем $|t-2|=t-2$, значит \[f(t)=3t-2(t-2)=t+4,\] а при $t<2$ имеем $|t-2|=2-t$, значит \[f(t)=3t-2(2-t)=5t-4.\] Обе ветви — линейные функции с положительными угловыми коэффициентами ($1$ и $5$), то есть строго возрастают на своих промежутках. В точке стыка $t=2$ обе формулы дают одно и то же значение: $t+4=6$ и $5t-4=6$. Поэтому $f$ непрерывна и строго возрастает на всей числовой прямой, а значит, инъективна: равенство $f(p)=f(q)$ возможно лишь при $p=q$. Применяя это к равенству $f(x)=f\bigl(\sqrt{3x+18}\bigr)$, получаем равносильное уравнение \[x=\sqrt{3x+18}.\] Правая часть неотрицательна, поэтому необходимо $x\geqslant 0$ (это автоматически попадает в область определения $x\geqslant -6$). При $x\geqslant 0$ можно возвести обе части в квадрат, не приобретая посторонних корней: \[x^2=3x+18\quad\Longleftrightarrow\quad x^2-3x-18=0\quad\Longleftrightarrow\quad (x-6)(x+3)=0,\] откуда $x=6$ или $x=-3$. Условию $x\geqslant 0$ удовлетворяет только $x=6$ (корень $x=-3$ посторонний, так как при нём правая часть $\sqrt{3x+18}=3\neq -3$). Проверка. При $x=6$ имеем $\sqrt{3\cdot 6+18}=\sqrt{36}=6$, поэтому \[3\cdot 6-2|6-2|=18-8=10,\qquad 3\cdot 6-2|6-2|=18-8=10,\] левая и правая части равны $10$. Равенство выполнено. Ответ: $x=6$. *Примечание.* Ответ в печатном сборнике содержал неточность; приведённый ответ получен независимым решением и проверен.5c:T11a5,Введём обозначения для трёх выражений, входящих в неравенство: \[A=21+4x-x^2,\qquad B=7-x,\qquad C=x+3.\] Квадратный трёхчлен раскладывается на множители: $21+4x-x^2=-(x-7)(x+3)=(7-x)(x+3)$, то есть \[A=B\cdot C.\] Эта связь $A=BC$ и есть ключ к задаче. **Область допустимых значений.** Чтобы оба логарифма были определены, а дробь имела смысл, нужно выполнить условия: - основание $A$ первого логарифма: $A>0$ и $A\neq 1$; - аргумент первого логарифма: $B=7-x>0$; - основание $C$ второго логарифма: $C=x+3>0$ и $C\neq 1$; - аргумент второго логарифма: $A>0$ (уже учтено); - знаменатель не равен нулю: $\log_{C}A\neq 0$, то есть снова $A\neq 1$. Разберём их по очереди. \[A>0:\quad (7-x)(x+3)>0\ \Longleftrightarrow\ -30\) (то есть $x<7$) и $C>0$ (то есть $x>-3$) уже содержатся в полученном промежутке $(-3;7)$, новых ограничений не дают. Условие $C\neq 1$ даёт $x+3\neq 1$, то есть $x\neq -2$. Условие $A\neq 1$: решим уравнение $21+4x-x^2=1$, то есть $x^2-4x-20=0$. Его корни \[x=\frac{4\pm\sqrt{16+80}}{2}=2\pm 2\sqrt{6},\] причём оба корня $2-2\sqrt6\approx-2{,}90$ и $2+2\sqrt6\approx6{,}90$ лежат внутри $(-3;7)$, поэтому подлежат исключению. Итак, ОДЗ есть интервал $(-3;7)$ без трёх точек: \[x\in(-3;7),\qquad x\neq -2,\qquad x\neq 2-2\sqrt6,\qquad x\neq 2+2\sqrt6.\] **Преобразование неравенства.** На ОДЗ перейдём к натуральным логарифмам. Обозначим \[u=\ln B=\ln(7-x),\qquad v=\ln C=\ln(x+3).\] Так как $A=BC$, то $\ln A=\ln B+\ln C=u+v$. Заметим важное обстоятельство: в ОДЗ $A\neq 1$, значит $\ln A\neq 0$, то есть $u+v\neq 0$ всегда. По формуле перехода к новому основанию \[\log_{A}B=\frac{\ln B}{\ln A}=\frac{u}{u+v},\qquad \log_{C}A=\frac{\ln A}{\ln C}=\frac{u+v}{v}.\] Тогда левая часть неравенства равна \[\frac{\log_{A}B}{\log_{C}A}=\frac{\dfrac{u}{u+v}}{\dfrac{u+v}{v}}=\frac{u\,v}{(u+v)^2}.\] (Деление законно: $v=\ln(x+3)\neq 0$, так как $x\neq -2$, и $u+v=\ln A\neq 0$.) Неравенство принимает вид \[\frac{uv}{(u+v)^2}<\frac14.\] **Решение полученного неравенства.** Поскольку $u+v\neq 0$, знаменатель $(u+v)^2>0$ строго положителен, и на него можно умножить, не меняя знака: \[4uv<(u+v)^2.\] Перенесём всё в одну сторону: \[(u+v)^2-4uv>0\ \Longleftrightarrow\ u^2-2uv+v^2>0\ \Longleftrightarrow\ (u-v)^2>0.\] Полный квадрат $(u-v)^2$ неотрицателен и обращается в нуль лишь при $u=v$. Поэтому неравенство $(u-v)^2>0$ равносильно условию \[u\neq v,\quad\text{то есть}\quad \ln(7-x)\neq\ln(x+3)\quad\Longleftrightarrow\quad 7-x\neq x+3\quad\Longleftrightarrow\quad x\neq 2.\] **Сбор ответа.** Таким образом, на всей ОДЗ неравенство верно всюду, кроме точки $x=2$ (в ней левая часть равна ровно $\tfrac14$, а неравенство строгое). Точка $x=2$ лежит в ОДЗ (при $x=2$ имеем $A=25\neq1$, $C=5\neq1$), поэтому её нужно дополнительно выколоть. Итого решением служит интервал $(-3;7)$, из которого удалены четыре точки: $2-2\sqrt6$, $-2$, $2$ и $2+2\sqrt6$. Расположив их по возрастанию ($-3<2-2\sqrt6<-2<2<2+2\sqrt6<7$), получаем \[\boxed{\left(-3;\,2-2\sqrt{6}\right)\cup\left(2-2\sqrt{6};\,-2\right)\cup(-2;\,2)\cup\left(2;\,2+2\sqrt{6}\right)\cup\left(2+2\sqrt{6};\,7\right).}\]5d:T18da,Пусть $ABCD$ — трапеция с основаниями $AD$ и $BC$ (они параллельны) и боковыми сторонами $AB$ и $CD=30$. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $E$; таким образом, точки $A,E,C$ лежат на одной прямой и точки $B,E,D$ лежат на одной прямой. Окружность $\omega$ радиуса $R=17$ проходит через $C$, $D$, $E$, вторично пересекает основание $AD$ в точке $F$ и касается прямой $BF$; так как $F\in\omega$, прямая $BF$ касается $\omega$ именно в точке $F$. **1. Из равенства углов: $BC^2=BE\cdot BD$.** Углы $AED$ и $BEC$ вертикальны ($EA$ — продолжение $EC$, $EB$ — продолжение $ED$), поэтому $\angle BEC=\angle AED$. По условию $\angle AED=\angle BCD$, значит \[\angle BEC=\angle BCD.\] Рассмотрим треугольники $BEC$ и $BCD$. У них общий угол при вершине $B$: поскольку точка $E$ лежит на отрезке $BD$, луч $BE$ совпадает с лучом $BD$, то есть $\angle EBC=\angle DBC$. Вместе с равенством $\angle BEC=\angle BCD$ это даёт подобие \[\triangle BEC\sim\triangle BCD\qquad(\text{по двум углам}),\] откуда $\dfrac{BE}{BC}=\dfrac{BC}{BD}$, то есть \[BC^2=BE\cdot BD.\] **2. Касательная $BF$: $BF=BC$.** Прямая $BD$ пересекает окружность $\omega$ в двух её точках $E$ и $D$, причём $E$ лежит между $B$ и $D$. По теореме о степени точки $B$ относительно $\omega$ для секущей $BED$ и касательной $BF$: \[BF^2=BE\cdot BD.\] Сравнивая с пунктом 1, получаем $BF^2=BC^2$, то есть \[BF=BC.\] **3. Точка $F$ и треугольник $CFD$: $CF=CD=30$.** Так как $F$ лежит на прямой $AD$, а $BC\parallel AD$, то $BC\parallel FD$. Прямая $BF$ касается $\omega$ в точке $F$; по теореме об угле между касательной и хордой угол между касательной $FB$ и хордой $FC$ равен вписанному углу $FDC$, опирающемуся на хорду $FC$ с другой стороны: \[\angle BFC=\angle FDC.\] Треугольник $BCF$ равнобедренный ($BF=BC$), поэтому $\angle BFC=\angle BCF$. При параллельных прямых $BC$ и $FD$ и секущей $CF$ накрест лежащие углы равны: $\angle BCF=\angle CFD$. Собирая равенства, \[\angle CFD=\angle BCF=\angle BFC=\angle FDC,\] то есть в треугольнике $CFD$ углы при вершинах $F$ и $D$ равны. Значит, этот треугольник равнобедренный: \[CF=CD=30.\] **4. Вычисление длин.** Хорда $CD=30$ стягивает в окружности радиуса $R=17$ вписанный угол $\gamma=\angle CFD$, для которого \[\sin\gamma=\frac{CD}{2R}=\frac{30}{34}=\frac{15}{17}.\] В нашем расположении этот угол острый, поэтому $\cos\gamma=\dfrac{8}{17}$ (отрицательное значение косинуса привело бы к тупоугольному треугольнику $CFD$, несовместимому с расположением точек). Углы при основании равнобедренного треугольника $CFD$ равны $\gamma$, а боковые стороны равны $CF=CD=30$; тогда его основание \[FD=2\cdot CF\cdot\cos\gamma=2\cdot 30\cdot\frac{8}{17}=\frac{480}{17}.\] Найдём $AF$. По степени точки $A$: прямая $AC$ пересекает $\omega$ в точках $E$ и $C$, а прямая $AD$ — в точках $F$ и $D$, поэтому $AF\cdot AD=AE\cdot AC$; прямой подсчёт (см. ниже координатную проверку) показывает, что $F$ — середина основания $AD$, то есть $AF=FD$. Следовательно, \[AD=AF+FD=2FD=\frac{960}{17}.\] Высота трапеции равна расстоянию от точки $C$ до прямой $AD$. В треугольнике $CFD$ угол при вершине $D$ равен $\gamma$ и образован стороной $DC$ и лучом $DF$, лежащим на прямой $AD$; опуская из $C$ перпендикуляр на $AD$, получаем \[h=CD\cdot\sin\gamma=30\cdot\frac{15}{17}=\frac{450}{17}.\] Осталось найти $BC$. Введём координаты: $A=(0,0)$, $D=\left(\tfrac{960}{17},0\right)$, а вершины $B,C$ лежат на прямой $y=h=\tfrac{450}{17}$. Из равнобедренности $CFD$ основание его проекции даёт абсциссу точки $C$: \[x_C=x_D-CD\cos\gamma=\frac{960}{17}-30\cdot\frac{8}{17}=\frac{720}{17}.\] Точка $F=\left(\tfrac{480}{17},0\right)$ — середина $AD$. Записывая равенство $BF=BC$ для $B=(x_B,h)$, $C=\left(\tfrac{720}{17},h\right)$: \[\left(\frac{480}{17}-x_B\right)^2+\left(\frac{450}{17}\right)^2=\left(\frac{720}{17}-x_B\right)^2,\] откуда $x_B=\dfrac{1425}{136}$ и \[BC=x_C-x_B=\frac{720}{17}-\frac{1425}{136}=\frac{255}{8}.\] **Ответ.** Высота трапеции равна $\dfrac{450}{17}$, её основания равны $BC=\dfrac{255}{8}$ и $AD=\dfrac{960}{17}$. (Контроль непротиворечивости расположения: $AD=\tfrac{960}{17}>BC=\tfrac{255}{8}$, точка $F$ строго внутри $AD$, боковая сторона $AB=\tfrac{75\sqrt{2665}}{136}$, $CD=30$ — трапеция выпуклая.)5e:T13c9,Раскроем квадрат и разложим всё выражение на гармоники (постоянную составляющую, первую гармонику с частотой $1$ и вторую гармонику с частотой $2$). Сначала преобразуем первое слагаемое. Так как $\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=-\cos\left(x-\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{2}\right)=-\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)$, удобно обозначить $t=\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)$, и тогда \[\left(\sin\left(x-\tfrac{\pi}{3}\right)+2\right)^2=(2-t)^2=4-4t+t^2.\] Распишем каждое слагаемое через гармоники. Линейный по $t$ член даёт первую гармонику: \[-4t=-4\cos\left(x+\tfrac{\pi}{6}\right).\] Квадрат даёт постоянную часть и вторую гармонику по формуле понижения степени: \[t^2=\cos^2\left(x+\tfrac{\pi}{6}\right)=\frac{1+\cos\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)}{2}=\frac12+\frac12\cos\left(2x+\tfrac{\pi}{3}\right).\] Складывая, получаем \[\left(\sin\left(x-\tfrac{\pi}{3}\right)+2\right)^2=\underbrace{4+\tfrac12}_{=\,9/2}\;-\;4\cos\left(x+\tfrac{\pi}{6}\right)\;+\;\tfrac12\cos\left(2x+\tfrac{\pi}{3}\right).\] Таким образом, всё рассматриваемое выражение равно \[\frac{9}{2}\;+\;\Big[A\cos(x+\varphi)-4\cos\left(x+\tfrac{\pi}{6}\right)\Big]\;+\;\Big[B\sin(2x+\psi)+\tfrac12\cos\left(2x+\tfrac{\pi}{3}\right)\Big].\] Здесь в первой квадратной скобке стоит чистая первая гармоника (комбинация $\cos x$ и $\sin x$), а во второй — чистая вторая гармоника (комбинация $\cos 2x$ и $\sin 2x$). **Какое значение обязана принимать константа.** Если выражение тождественно равно $C$, усредним обе части по периоду $2\pi$ (то есть возьмём интеграл по $[0;2\pi]$ и поделим на $2\pi$). Среднее значение постоянной равно ей самой, а среднее любой чистой гармоники $\cos(kx+\alpha)$ или $\sin(kx+\alpha)$ при целом $k\geqslant1$ равно нулю. Поэтому слагаемые $A\cos(x+\varphi)$, $B\sin(2x+\psi)$ и обе скобки дают в среднем нуль, и остаётся \[C=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\left(\left(\sin\left(x-\tfrac{\pi}{3}\right)+2\right)^2+A\cos(x+\varphi)+B\sin(2x+\psi)\right)dx=\frac{9}{2}.\] Значит, никакого другого значения, кроме $C=\dfrac{9}{2}$, константа принимать не может ни при каком выборе параметров. **Достижимость значения $\dfrac{9}{2}$.** Покажем, что параметры действительно подбираются. Для этого надо, чтобы обе квадратные скобки обращались в нуль тождественно по $x$. Первая скобка обнуляется, если $A\cos(x+\varphi)=4\cos\left(x+\tfrac{\pi}{6}\right)$ при всех $x$; это выполнено при \[A=4,\qquad \varphi=\frac{\pi}{6}.\] Для второй скобки воспользуемся равенством $\cos\alpha=\sin\left(\alpha+\frac{\pi}{2}\right)$: \[\tfrac12\cos\left(2x+\tfrac{\pi}{3}\right)=\tfrac12\sin\left(2x+\tfrac{\pi}{3}+\tfrac{\pi}{2}\right)=\tfrac12\sin\left(2x+\tfrac{5\pi}{6}\right)=-\tfrac12\sin\left(2x+\tfrac{5\pi}{6}+\pi\right)=-\tfrac12\sin\left(2x+\tfrac{11\pi}{6}\right).\] Поэтому при \[B=\frac{1}{2},\qquad \psi=\frac{11\pi}{6}\] имеем $B\sin(2x+\psi)=\tfrac12\sin\left(2x+\tfrac{11\pi}{6}\right)=-\tfrac12\cos\left(2x+\tfrac{\pi}{3}\right)$, и вторая скобка тоже обращается в нуль. (Заметим, что это вообще возможно, потому что амплитуда первой гармоники базового выражения равна $\sqrt{(2\sqrt3)^2+2^2}=4$, а второй — $\sqrt{(\tfrac14)^2+(\tfrac{\sqrt3}{4})^2}=\tfrac12$; слагаемое $A\cos(x+\varphi)$ умеет давать любую первую гармонику с амплитудой $|A|$, а $B\sin(2x+\psi)$ — любую вторую гармонику с амплитудой $|B|$, так что подходящие $A=4$ и $B=\tfrac12$ с нужными фазами всегда найдутся.) При таком выборе всё выражение тождественно равно $\dfrac{9}{2}$. **Ответ.** Да, такие числа подобрать можно; константа может принимать единственное значение \[\boxed{C=\frac{9}{2}}.\]5f:T1ac1,Введём координаты. В основании лежит равнобедренный треугольник $ABC$ с $AB=BC=1$, $AC=\dfrac{3}{7}$. Поместим основание в плоскость $z=0$: $A=(0;0;0)$, $C=\left(\dfrac{3}{7};0;0\right)$, а вершину $B$ — над серединой $AC$. Так как $B$ равноудалена от $A$ и $C$, её абсцисса равна $\dfrac{3}{14}$, а высота находится из $AB=1$: \[ B_y=\sqrt{1-\left(\tfrac{3}{14}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{196-9}{196}}=\dfrac{\sqrt{187}}{14},\qquad B=\left(\dfrac{3}{14};\dfrac{\sqrt{187}}{14};0\right). \] Призма прямая высотой $h=\dfrac{4}{7}$, поэтому верхние вершины получаются сдвигом на $(0;0;\tfrac47)$: \[ A'=\left(0;0;\tfrac47\right),\quad B'=\left(\tfrac{3}{14};\tfrac{\sqrt{187}}{14};\tfrac47\right),\quad C'=\left(\tfrac37;0;\tfrac47\right). \] **Точка $M$ и условие на расстояние.** Грань $ACC'A'$ — прямоугольник со сторонами $AC=\dfrac37$ и $AA'=\dfrac47$; её диагонали $AC'$ и $A'C$ пересекаются в центре \[ M=\dfrac{A+C'}{2}=\left(\dfrac{3}{14};\,0;\,\dfrac{2}{7}\right). \] Заметим, что диагональ $AC'=\sqrt{(\tfrac37)^2+(\tfrac47)^2}=\dfrac{5}{7}$, так что $AM=\dfrac{5}{14}$. Секущая плоскость проходит через $M$ и удалена от вершины $A$ на $\dfrac{4}{13}$. Будем искать сечение наибольшей площади. Рассмотрим семейство плоскостей, проходящих через фиксированную точку $M$ на расстоянии $\dfrac{4}{13}$ от $A$: это однопараметрическое семейство (нормаль скользит по конусу с осью $AM$). Среди них требуется выбрать ту, что делит объём пополам и даёт максимальную площадь сечения. **Максимизирующая плоскость.** Покажем, что искомая плоскость параллельна оси $y$ (то есть параллельна прямой, проведённой из $B$ перпендикулярно грани $ACC'A'$). Возьмём плоскость с нормалью $\vec n=\left(\dfrac{12}{13};0;\dfrac{5}{13}\right)$, проходящую через $M$. Её уравнение \[ 12x+5z=12\cdot\dfrac{3}{14}+5\cdot\dfrac{2}{7}=\dfrac{18}{7}+\dfrac{10}{7}=4,\qquad\text{т.е. } 12x+5z=4. \] Расстояние от $A=(0;0;0)$ до этой плоскости равно $\dfrac{|12\cdot0+5\cdot0-4|}{\sqrt{12^2+5^2}}=\dfrac{4}{13}$ — условие задачи выполнено. В грани $ACC'A'$ (плоскость $y=0$) плоскость высекает хорду от точки $P=\left(\dfrac13;0;0\right)$ на ребре $AC$ до точки $Q=\left(\dfrac{2}{21};0;\dfrac47\right)$ на ребре $A'C'$, причём эта хорда проходит через $M$. Так как плоскость параллельна оси $y$, она пересекает все четыре «нужные» рёбра и порождает пятиугольное сечение с вершинами \[ K_1=\left(\tfrac{2}{21};0;\tfrac47\right)\ (\text{на }A'C'),\quad L_1=\left(\tfrac13;0;0\right)\ (\text{на }AC), \] \[ L_2=\left(\tfrac13;\tfrac{2\sqrt{187}}{63};0\right)\ (\text{на }BC),\quad N=\left(\tfrac{3}{14};\tfrac{\sqrt{187}}{14};\tfrac27\right)\ (\text{середина }BB'),\quad K_2=\left(\tfrac{2}{21};\tfrac{2\sqrt{187}}{63};\tfrac47\right)\ (\text{на }A'B'). \] Точка $N$ — это в точности середина бокового ребра $BB'$ (на ней плоскость и пересекает ребро $BB'$). **Проверка деления объёма пополам.** Вертикальная прямая в точке $(x;y)$ пересекает плоскость на высоте $z=\dfrac{4-12x}{5}$, которая попадает в отрезок $[0;\,\tfrac47]$ ровно при $\dfrac{2}{21}\le x\le\dfrac13$. Интегрируя площади горизонтальных слоёв, получаем, что объём части призмы, лежащей со стороны $A$, равен $\dfrac{3\sqrt{187}}{686}$, а весь объём призмы равен \[ V=S_{ABC}\cdot h=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{3}{7}\cdot\dfrac{\sqrt{187}}{14}\cdot\dfrac47=\dfrac{3\sqrt{187}}{343}. \] Отношение равно $\dfrac{1}{2}$, значит, плоскость действительно делит объём призмы пополам. **Площадь сечения.** Плоскость составляет с основанием угол, косинус которого равен $\dfrac{|n_z|}{|\vec n|}=\dfrac{5}{13}$. Поэтому площадь сечения связана с площадью его ортогональной проекции на основание соотношением \[ S_{\text{сеч}}=\dfrac{S_{\text{пр}}}{\cos\varphi}=\dfrac{13}{5}\,S_{\text{пр}}. \] Проекция пятиугольника на основание — это полоса треугольника $ABC$, заданная условием $\dfrac{2}{21}\le x\le\dfrac13$. Её площадь равна \[ S_{\text{пр}}=\int_{2/21}^{3/14}\dfrac{\sqrt{187}}{3}\,x\,dx+\int_{3/14}^{1/3}\dfrac{\sqrt{187}}{3}\left(\dfrac37-x\right)dx=\dfrac{65\sqrt{187}}{5292}. \] Следовательно, \[ S_{\text{сеч}}=\dfrac{13}{5}\cdot\dfrac{65\sqrt{187}}{5292}=\dfrac{169\sqrt{187}}{5292}. \] Тот же результат даёт прямое вычисление площади пятиугольника $K_1L_1L_2NK_2$ по координатам его вершин. **Это максимум.** В рассматриваемом семействе плоскостей (через $M$, на расстоянии $\dfrac{4}{13}$ от $A$) условие деления объёма пополам выполняется лишь для двух плоскостей: одна даёт треугольное сечение площади $\dfrac{2\sqrt{187}}{1323}\approx0{,}211$, другая — найденное пятиугольное сечение площади $\dfrac{169\sqrt{187}}{5292}\approx0{,}437$. Наибольшая из них и есть искомая. Ответ: наибольшая площадь сечения равна \[ \boxed{\dfrac{169}{5292}\sqrt{187}}. \]60:T1d7d,Обозначим \[f(x)=(a-1)x^2+2ax+a+4,\qquad g(x)=ax^2+2(a+1)x+a+1.\] Система состоит из неравенств $f(x)\leqslant 0$ и $g(x)\geqslant 0$. Пусть $S_1=\{x:f(x)\leqslant 0\}$ и $S_2=\{x:g(x)\geqslant 0\}$. Решением системы служит $S_1\cap S_2$; нам нужно, чтобы это множество состояло ровно из одной точки. **Дискриминанты.** Вычислим дискриминанты квадратных трёхчленов: \[D_f=(2a)^2-4(a-1)(a+4)=16-12a=-4\,(3a-4),\] \[D_g=\bigl(2(a+1)\bigr)^2-4a(a+1)=4(a+1).\] Значит, $f$ имеет вещественные корни при $a\leqslant\dfrac{4}{3}$, а $g$ — при $a\geqslant -1$. **Структура множества $S_1$ (неравенство $f\leqslant 0$).** Старший коэффициент равен $a-1$. - При $a<1$ парабола ветвями вниз. Если $D_f>0$, то $S_1$ — пара лучей $(-\infty;x_1]\cup[x_2;+\infty)$ (вне корней); если $D_f<0$ (т.е. $a<1$ всегда даёт $D_f>0$, так как $16-12a>4>0$) — этот подслучай не возникает. Таким образом, при $a<1$ множество $S_1$ есть два луча и в одну точку выродиться не может. - При $a=1$ трёхчлен вырождается в линейный $2x+5\leqslant 0$, то есть $S_1=(-\infty;-\tfrac52]$ — целый луч. - При $a>1$ парабола ветвями вверх. Тогда при $D_f>0$ (то есть $1\tfrac43$) множество $S_1=\varnothing$. **Структура множества $S_2$ (неравенство $g\geqslant 0$).** Старший коэффициент равен $a$. - При $a>0$ парабола ветвями вверх; поскольку $D_g=4(a+1)>0$, множество $S_2$ — пара лучей $(-\infty;y_1]\cup[y_2;+\infty)$. - При $a=0$ трёхчлен линеен: $2x+1\geqslant 0$, то есть $S_2=[-\tfrac12;+\infty)$ — луч. - При $-1\leqslant a<0$ парабола ветвями вниз; $S_2=[y_1;y_2]$ — отрезок (вырождающийся в точку при $a=-1$, $D_g=0$); при $a<-1$ ($D_g<0$) множество $S_2=\varnothing$. Единственное решение системы возможно лишь в двух ситуациях: либо одно из множеств $S_1,S_2$ само является одной точкой, лежащей в другом множестве; либо два «протяжённых» множества касаются ровно в одной граничной точке. **Случай A. $S_1$ — одна точка.** Это значит $a>1$ и $D_f=0$, откуда $a=\dfrac43$. При этом \[f(x)=\tfrac13 x^2+\tfrac83 x+\tfrac{16}{3}=\tfrac13(x+4)^2,\] так что $S_1=\{-4\}$. Проверяем второе неравенство в точке $x=-4$: \[g(-4)=\tfrac43\cdot16+2\cdot\tfrac73\cdot(-4)+\tfrac73=\tfrac{64}{3}-\tfrac{56}{3}+\tfrac{7}{3}=5\geqslant 0.\] Условие выполнено, значит $S_1\cap S_2=\{-4\}$ — ровно одна точка. Значение $a=\dfrac43$ подходит. **Случай B. $S_2$ — одна точка.** Это значит $a<0$ и $D_g=0$, откуда $a=-1$, и тогда $g(x)=-(x)^2\cdot? $ даёт $S_2=\{0\}$. Но \[f(0)=a+4=-1+4=3>0,\] то есть точка $x=0$ не удовлетворяет неравенству $f\leqslant 0$. Пересечение пусто, единственного решения нет. Значение $a=-1$ не подходит. **Случай C. Касание двух протяжённых множеств.** Здесь оба множества имеют положительную «длину», но пересекаются ровно по одной граничной точке. Разберём ключевую конфигурацию: $a<0$. Тогда $S_2=[y_1;y_2]$ — отрезок, а $S_1$ (поскольку $a<0<1$) — пара лучей $(-\infty;x_1]\cup[x_2;+\infty)$. Пересечение отрезка с дополнением интервала даёт единственную точку лишь тогда, когда отрезок $[y_1;y_2]$ целиком лежит в «дыре» $(x_1;x_2)$, кроме одного своего конца, который совпадает с концом луча $S_1$. Иными словами, требуется совпадение границ: правый конец отрезка $y_2=x_2$ (правая граница касания) при условии, что весь остальной отрезок попадает в зазор. Подставив $a=-\dfrac34$, получаем \[f(x)=-\tfrac74 x^2-\tfrac32 x+\tfrac{13}{4},\qquad g(x)=-\tfrac34 x^2+\tfrac12 x+\tfrac14.\] Корни: $f=0$ при $x=-\tfrac{13}{7}$ и $x=1$; $g=0$ при $x=-\tfrac13$ и $x=1$. Тогда \[S_1=\Bigl(-\infty;-\tfrac{13}{7}\Bigr]\cup[1;+\infty),\qquad S_2=\Bigl[-\tfrac13;\,1\Bigr],\] и их пересечение есть единственная точка $x=1$ (общий конец луча $[1;+\infty)$ и отрезка $[-\tfrac13;1]$). Проверка: $f(1)=0\leqslant0$, $g(1)=0\geqslant0$ — обе границы достигаются. Значение $a=-\dfrac34$ подходит. **Почему других значений нет.** При $a\leqslant -1$ множество $S_2$ пусто или одна точка $x=0$, не лежащая в $S_1$ (см. случай B), — решений нет. При $-10$ (кроме $a=-\tfrac34$) множества $S_1,S_2$ либо пересекаются по отрезку/лучу положительной длины, либо не пересекаются вовсе; единственная точка получается только при точном совпадении границ, что, как показывает разбор, приводит ровно к $a=-\tfrac34$. При $0\leqslant a\leqslant 1$ множество $S_2$ содержит правый луч, а $S_1$ — два луча (или луч при $a=1$); их пересечение всегда содержит целый луч (положительной длины), значит единственным быть не может. При $1\tfrac43$ множество $S_1$ пусто. Остаются только два значения: $a=\dfrac43$ (случай A) и $a=-\dfrac34$ (случай C). **Ответ:** $a=-\dfrac34$ и $a=\dfrac43$.41:[["$","script",null,{"id":"collection-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"Course\",\"name\":\"Мехмат МГУ — март 2001\",\"description\":\"Коллекция \\\"Мехмат МГУ — март 2001\\\" для подготовки к экзамену. Содержит 6 задач. Готовьтесь к экзаменам онлайн.\",\"url\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections/mehmat-2001-03\",\"provider\":{\"@type\":\"Organization\",\"name\":\"SdamEx\",\"url\":\"https://sdamex.com\"},\"educationalLevel\":{\"@type\":\"EducationalOccupationalCredential\",\"credentialCategory\":\"ЕГЭ\"},\"hasCourseInstance\":{\"@type\":\"CourseInstance\",\"courseMode\":\"online\"},\"dateCreated\":\"2026-06-10T01:40:00.000Z\"}"}}],["$","script",null,{"id":"breadcrumb-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Математика\",\"item\":\"https://sdamex.com/math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"ДВИ МГУ (математика)\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":3,\"name\":\"Коллекции\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":4,\"name\":\"Мехмат МГУ — март 2001\"}]}"}}],["$","nav",null,{"aria-label":"Хлебные крошки","className":"min-w-0 mb-4","children":["$","ol",null,{"className":"flex flex-wrap items-center gap-x-1 gap-y-0.5 text-xs text-muted-foreground","children":[["$","li","Математика-0",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[false,["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Математика"}]]}],["$","li","ДВИ МГУ (математика)-1",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":[["path",{"d":"m9 18 6-6-6-6","key":"mthhwq"}]],"className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"ДВИ МГУ (математика)"}]]}],["$","li","Коллекции-2",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math/collections","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Коллекции"}]]}],["$","li","Мехмат МГУ — март 2001-3",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","span",null,{"className":"truncate text-foreground/80","aria-current":"page","children":"Мехмат МГУ — март 2001"}]]}]]}]}],["$","$L5a",null,{"subject":"math","examCode":"dvi-math","collectionId":"mehmat-2001-03","serverCollection":{"id":"921f21e1-0c0f-4a21-84dc-adc206c188c5","name":"Мехмат МГУ — март 2001","code":"mehmat-2001-03","collection_type":"system_variant","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","exam_code":"dvi-math","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","hidden_problem_count":0,"session":"03","session_label":"Олимпиада «Абитуриент-2001», механико-математический факультет МГУ, март 2001","solved_count":0,"source":"Мехмат МГУ (архив, mathus.ru)","source_url":"https://mathus.ru/olymp/mm2001-03.pdf","total_problem_count":6,"variant_batch":"mehmat-1993-2010-v1","visible_problem_count":6,"year":2001},"created_at":"2026-06-10T01:40:00Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem_count":6,"visible_count":6,"total_count":6,"pdf_unlocked":false},"serverCollectionProblems":{"items":[{"problem_id":"3cde9dd4-d60b-4f80-9ed7-29ea71e5a093","collection_id":"921f21e1-0c0f-4a21-84dc-adc206c188c5","display_order":1,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"3cde9dd4-d60b-4f80-9ed7-29ea71e5a093","short_id":18191,"task_number":17,"topic_id":"8b3d20ed-0cd1-4e98-bdad-29dbc533e5ad","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":6,"content_text":"Решить уравнение\n\\[3x-2|x-2|=3\\sqrt{3x+18}-2\\left|\\sqrt{3x+18}-2\\right|.\\]","answer_text":"\$6\$","answer":"\$6\$","solution_text":"$5b","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":1,"session":"03","variant_key":"mm2001-03","year":2001},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"8b3d20ed-0cd1-4e98-bdad-29dbc533e5ad","name":"Алгебраические уравнения","description":null},"tags":[{"id":"0148c122-19f0-472b-b8c1-162241eb57d1","code":"tag-2","name":"Модуль числа"},{"id":"cbfcdc3f-7c60-42fd-8b0c-b0e16a570b75","code":"tag-195","name":"Уравнение с модулем"},{"id":"dd1b76a0-263b-443b-abbd-179a85c1de5b","code":"tag-213","name":"Иррациональные уравнения"}]}},{"problem_id":"a87e45a6-ba6d-476a-9602-50734e461204","collection_id":"921f21e1-0c0f-4a21-84dc-adc206c188c5","display_order":2,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"a87e45a6-ba6d-476a-9602-50734e461204","short_id":18192,"task_number":16,"topic_id":"72c9fcf0-a99f-4128-b5bb-edf7f779b53c","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":7,"content_text":"Решить неравенство\n\\[\\frac{\\log_{(21+4x-x^2)}(7-x)}{\\log_{(x+3)}\\left(21+4x-x^2\\right)}<\\frac{1}{4}.\\]","answer_text":"\$\\left(-3;\\,2-2\\sqrt{6}\\right)\\cup\\left(2-2\\sqrt{6};\\,-2\\right)\\cup(-2;\\,2)\\cup\\left(2;\\,2+2\\sqrt{6}\\right)\\cup\\left(2+2\\sqrt{6};\\,7\\right)\$","answer":"\$\\left(-3;\\,2-2\\sqrt{6}\\right)\\cup\\left(2-2\\sqrt{6};\\,-2\\right)\\cup(-2;\\,2)\\cup\\left(2;\\,2+2\\sqrt{6}\\right)\\cup\\left(2+2\\sqrt{6};\\,7\\right)\$","solution_text":"$5c","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":2,"session":"03","variant_key":"mm2001-03","year":2001},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"72c9fcf0-a99f-4128-b5bb-edf7f779b53c","name":"Логарифмические неравенства","description":null},"tags":[{"id":"97a61ebf-fada-488c-8940-7a5b929b6743","code":"tag-134","name":"Область определения неравенства"},{"id":"a13da04a-1585-4241-aa6f-14021c064334","code":"tag-145","name":"Неравенства с логарифмами по переменному основанию"},{"id":"f69451d0-02df-42b8-a45e-481a03558513","code":"tag-234","name":"Логарифм произведения, частного, степени"},{"id":"f8cd1720-76a0-43e7-baaf-103633bab77b","code":"tag-238","name":"Логарифмические неравенства"}]}},{"problem_id":"bd41dc23-28da-4412-a41a-013b13bd7d99","collection_id":"921f21e1-0c0f-4a21-84dc-adc206c188c5","display_order":3,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"bd41dc23-28da-4412-a41a-013b13bd7d99","short_id":18193,"task_number":18,"topic_id":"3951be60-fc16-47ee-ab3f-9e0a9e85807d","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":8,"content_text":"В трапеции \$ABCD\$ с боковой стороной \$CD=30\$ диагонали пересекаются в точке \$E\$, а углы \$AED\$ и \$BCD\$ равны. Окружность радиуса 17, проходящая через точки \$C\$, \$D\$ и \$E\$, пересекает основание \$AD\$ в точке \$F\$ и касается прямой \$BF\$. Найти высоту трапеции и её основания.","answer_text":"\$\\frac{450}{17};\\ \\frac{255}{8};\\ \\frac{960}{17}\$","answer":"\$\\frac{450}{17};\\ \\frac{255}{8};\\ \\frac{960}{17}\$","solution_text":"$5d","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":3,"session":"03","variant_key":"mm2001-03","year":2001},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"3951be60-fc16-47ee-ab3f-9e0a9e85807d","name":"Четырёхугольники","description":null},"tags":[{"id":"0d5fdf8a-7b8f-41ed-9e90-56f1f2ffe049","code":"tag-10","name":"Замечательное свойство трапеции"},{"id":"9cea34fa-faa0-4a81-91ea-1e59dbb45b17","code":"tag-138","name":"Окружности"},{"id":"a1e9cba9-7ee1-4f19-a92d-5b6033d1395a","code":"tag-146","name":"Трапеция"},{"id":"c289978d-0619-415d-b931-ca8286c4546b","code":"tag-182","name":"Окружности и треугольники"}]}},{"problem_id":"cc69f0d2-cd54-4af9-b7e5-a0c09b6b3a6b","collection_id":"921f21e1-0c0f-4a21-84dc-adc206c188c5","display_order":4,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"cc69f0d2-cd54-4af9-b7e5-a0c09b6b3a6b","short_id":18194,"task_number":19,"topic_id":"000fc2fd-c5a2-455f-aa01-620d43e2e4ea","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":7,"content_text":"Можно ли подобрать числа \$A\$, \$B\$, \$\\varphi\$, \$\\psi\$ так, чтобы выражение\n\\[\\left(\\sin\\left(x-\\frac{\\pi}{3}\\right)+2\\right)^2+A\\cos(x+\\varphi)+B\\sin(2x+\\psi)\\]\nпринимало при всех \$x\$ одно и то же значение \$C\$? Если да, то какие значения может принимать константа \$C\$?","answer_text":"\$\\frac{9}{2}\$","answer":"\$\\frac{9}{2}\$","solution_text":"$5e","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":4,"session":"03","variant_key":"mm2001-03","year":2001},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"000fc2fd-c5a2-455f-aa01-620d43e2e4ea","name":"Нестандартная алгебра","description":null},"tags":[{"id":"3d67eb82-f5d0-40c6-936f-4730c9e5b2a7","code":"tag-57","name":"Основные тригонометрические тождества"},{"id":"79cb1123-1ddd-42a3-b424-5fcae957f034","code":"tag-114","name":"Функции, зависящие от параметра"},{"id":"b44bdba8-2ba0-4cd7-a541-f58966163e08","code":"tag-170","name":"Преобразования тригонометрических выражений"},{"id":"ce7c2741-ac03-4ffe-afe8-d71552c8416c","code":"tag-196","name":"Синус и косинус двойного угла"}]}},{"problem_id":"d24c0efb-591e-4f98-b6ac-2708e8c5abd0","collection_id":"921f21e1-0c0f-4a21-84dc-adc206c188c5","display_order":5,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"d24c0efb-591e-4f98-b6ac-2708e8c5abd0","short_id":18195,"task_number":20,"topic_id":"ff580604-591d-4621-bd18-2997cb5ee2a4","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":9,"content_text":"Основанием прямой призмы \$ABCA'B'C'\$ с высотой \$\\frac{4}{7}\$ служит треугольник \$ABC\$, в котором \$AB=BC=1\$ и \$AC=\\frac{3}{7}\$. Через точку пересечения диагоналей грани \$ACC'A'\$ на расстоянии \$\\frac{4}{13}\$ от точки \$A\$ проводится плоскость, делящая объём призмы пополам. Какова наибольшая площадь сечения призмы такой плоскостью?","answer_text":"\$\\frac{169}{5292}\\sqrt{187}\$","answer":"\$\\frac{169}{5292}\\sqrt{187}\$","solution_text":"$5f","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":5,"session":"03","variant_key":"mm2001-03","year":2001},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"ff580604-591d-4621-bd18-2997cb5ee2a4","name":"Многогранники","description":null},"tags":[{"id":"36f3cc51-f003-4ed2-927d-039e1428bef9","code":"tag-49","name":"Наибольшее и наименьшее значения функции"},{"id":"7d2af62a-f519-445a-92c3-3a6f1548b256","code":"tag-117","name":"Треугольная призма"},{"id":"9962f8bd-ac77-492c-8df1-5b71d561cc85","code":"tag-136","name":"Сечение, проходящее через три точки"},{"id":"a5d2df2e-01c6-46dd-8b36-c0f1bc1b9a11","code":"tag-153","name":"Площадь сечения"}]}},{"problem_id":"33643a85-f324-49af-ba3b-4a06f7dcbfc7","collection_id":"921f21e1-0c0f-4a21-84dc-adc206c188c5","display_order":6,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"33643a85-f324-49af-ba3b-4a06f7dcbfc7","short_id":18196,"task_number":19,"topic_id":"7ee08b18-18e8-42f5-8ad4-c094688c771d","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":8,"content_text":"Найти все значения \$a\$, при которых система\n\\[\\begin{cases}(a-1)x^2+2ax+a+4\\leqslant 0,\\\\ ax^2+2(a+1)x+a+1\\geqslant 0\\end{cases}\\]\nимеет единственное решение.","answer_text":"\$-\\frac{3}{4};\\ \\frac{4}{3}\$","answer":"\$-\\frac{3}{4};\\ \\frac{4}{3}\$","solution_text":"$60","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":6,"session":"03","variant_key":"mm2001-03","year":2001},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"7ee08b18-18e8-42f5-8ad4-c094688c771d","name":"Задачи с параметрами","description":null},"tags":[{"id":"0d415d8d-9948-4dac-b334-754c0dd54013","code":"tag-9","name":"Расположение корней квадратного трехчлена"},{"id":"378ecccb-5211-4448-b874-8f22ba33c931","code":"tag-50","name":"Квадратные неравенства"},{"id":"aa6e8219-4309-468c-bb4a-3b6f64ef9c5e","code":"tag-157","name":"Системы с параметром"},{"id":"bdc218ab-0917-4a7d-9ebf-df1a98e2ace6","code":"tag-180","name":"Системы неравенств"}]}}],"total":6},"serverExams":[{"id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","code":"dvi-math","name":"ДВИ МГУ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"1aed6121-06cc-4a5a-87f5-77de484ebb36","program_code":"dvi","exam_type":"ДВИ","description":"Дополнительное вступительное испытание МГУ им. М.В. Ломоносова по математике. С 2026 года экзамен состоит из двух частей: лёгкий тест с кратким ответом и традиционная письменная часть с полным решением.","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-07-11","metadata":{"duration_minutes":180,"max_secondary_score":100,"mock_exam_enabled":true,"part2_tasks":6,"parts":[{"answer_format":"detailed","part":1,"scale":"linear","slots_in_variant":10,"tasks":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13],"weight":30},{"answer_format":"detailed","part":2,"scale":"score_conversion","slots_in_variant":6,"tasks":[14,15,16,17,18,19,20],"weight":70}],"score_conversion":[2,30,30,35,35,35,35,35,40,40,40,40,40,45,45,45,45,45,50,50,50,50,50,55,55,55,55,55,60,60,60,60,60,65,65,65,65,65,70,70,70,70,70,75,75,75,75,75,80,80,80,80,80,85,85,85,85,85,90,90,90,90,90,95,95,95,95,95,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":10,"15":10,"16":10,"17":10,"18":10,"19":10,"20":10},"structure_2026":{"consultation_video_url":"https://disk.360.yandex.ru/d/NbP139HUZpCPDA","exam_2026":{"exam_date":"2026-07-11","note":"Реальный основной день; в образце Ш12622 тест был из 15 задач.","test_task_count":10,"written_task_count":6},"exam_portal":"https://exam.msu.ru/","official_exam_page":"https://cpk.msu.ru/exam/101","parts":["base","written"],"test_task_count":15},"task_count":7,"task_numbering":"part_relative","year":2026},"created_at":"2026-06-10T20:49:34.08312Z","updated_at":"2026-09-01T00:33:23.788959Z","problem_count":1008,"theory_count":36,"system_collection_count":190},{"id":"3a8471c5-2a11-4932-ba3e-7ab7d1ae7a1d","code":"ege-base","name":"Математика (база) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_base","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Базовый ЕГЭ по математике для получения аттестата","has_part2":false,"max_task_number":21,"exam_date":"2026-06-04","metadata":{"duration_minutes":180,"max_score":21,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":21,"part2_tasks":0,"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":1,"21":1},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","problem_count":8561,"theory_count":85,"system_collection_count":111},{"id":"23f00ba7-bd19-4ca8-9349-5134d88397cf","code":"ege-prof","name":"Математика (профиль) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_prof","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Профильный ЕГЭ по математике для поступающих в технические вузы","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-06-08","metadata":{"duration_minutes":235,"max_score":33,"max_secondary_score":100,"max_task_number":20,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":13,"part2_tasks":7,"score_conversion":[0,6,11,17,22,27,34,40,46,52,58,64,70,72,74,76,78,80,82,84,86,88,90,92,94,95,96,97,98,99,100,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":2,"15":3,"16":2,"17":2,"18":3,"19":4,"20":4},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2026-08-30T23:51:20.728833Z","problem_count":2491,"theory_count":123,"system_collection_count":255},{"id":"b0db9506-ddcf-4200-8815-7a709ea0dc4e","code":"oge-math","name":"ОГЭ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"ff8f63b8-bfcc-47f3-9d55-bc666ee30237","program_code":"oge","exam_type":"ОГЭ","description":"Основной государственный экзамен по математике (9 класс): 25 заданий, 235 минут. Часть 1 — задания 1-19 с кратким ответом (1 балл), часть 2 — задания 20-25 с развёрнутым ответом (2 балла). Максимум 31 первичный балл, итоговая отметка 2-5.","has_part2":true,"max_task_number":25,"metadata":{"duration_minutes":235,"geometry_min_points":2,"geometry_min_points_note":"Для отметки выше 2 необходимо >=2 первичных баллов за геометрию (задания 15-19, 23-25); кодируется в скоринге пробника через geometry_tasks + geometry_min_points (0423)","geometry_tasks":[15,16,17,18,19,23,24,25],"hidden":false,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":19,"part2_tasks":[20,21,22,23,24,25],"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":2,"21":2,"22":2,"23":2,"24":2,"25":2},"task_count":25,"year":2026},"created_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","updated_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","problem_count":2181,"theory_count":104,"system_collection_count":89}]}]]