Задача №18194

Можно ли подобрать числа $A\text{,}$ $B\text{,}$ $\phi \text{,}$ $\psi$ так, чтобы выражение

$${\left(\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)+2\right)}^2+A\cos (x+\phi )+B\sin (2x+\psi )$$

принимало при всех $x$ одно и то же значение $C\text{?}$ Если да, то какие значения может принимать константа $C\text{?}$

Раскроем квадрат и разложим всё выражение на гармоники (постоянную составляющую, первую гармонику с частотой $1$ и вторую гармонику с частотой $2$).

Сначала преобразуем первое слагаемое. Так как $\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=-\cos \left(x-\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{2}\right)=-\cos \left(x+\frac{\pi }{6}\right)\text{,}$ удобно обозначить $t=\cos \left(x+\frac{\pi }{6}\right)\text{,}$ и тогда

$${\left(\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)+2\right)}^2=(2-t{)}^2=4-4t+t^2.$$

Распишем каждое слагаемое через гармоники. Линейный по $t$ член даёт первую гармонику:

$$-4t=-4\cos \left(x+\frac{\pi }{6}\right).$$

Квадрат даёт постоянную часть и вторую гармонику по формуле понижения степени:

$$t^2={\cos }^2\left(x+\frac{\pi }{6}\right)=\frac{1+\cos \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos \left(2x+\frac{\pi }{3}\right).$$

Складывая, получаем

$${\left(\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)+2\right)}^2=\underset{=9/2}{\underbrace{4+\frac{1}{2}}}-4\cos \left(x+\frac{\pi }{6}\right)+\frac{1}{2}\cos \left(2x+\frac{\pi }{3}\right).$$

Таким образом, всё рассматриваемое выражение равно

$$\frac{9}{2}+[A\cos (x+\phi )-4\cos \left(x+\frac{\pi }{6}\right)]+[B\sin (2x+\psi )+\frac{1}{2}\cos \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)].$$

Здесь в первой квадратной скобке стоит чистая первая гармоника (комбинация $\cos x$ и $\sin x$), а во второй — чистая вторая гармоника (комбинация $\cos 2x$ и $\sin 2x$).

Какое значение обязана принимать константа. Если выражение тождественно равно $C\text{,}$ усредним обе части по периоду $2\pi$ (то есть возьмём интеграл по $[0;2\pi ]$ и поделим на $2\pi$). Среднее значение постоянной равно ей самой, а среднее любой чистой гармоники $\cos (kx+\alpha )$ или $\sin (kx+\alpha )$ при целом $k⩾1$ равно нулю. Поэтому слагаемые $A\cos (x+\phi )\text{,}$ $B\sin (2x+\psi )$ и обе скобки дают в среднем нуль, и остаётся

$$C=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }\left({\left(\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)+2\right)}^2+A\cos (x+\phi )+B\sin (2x+\psi )\right)dx=\frac{9}{2}.$$

Значит, никакого другого значения, кроме $C=\frac{9}{2}\text{,}$ константа принимать не может ни при каком выборе параметров.

Достижимость значения $\frac{9}{2}\text{.}$ Покажем, что параметры действительно подбираются. Для этого надо, чтобы обе квадратные скобки обращались в нуль тождественно по $x\text{.}$

Первая скобка обнуляется, если $A\cos (x+\phi )=4\cos \left(x+\frac{\pi }{6}\right)$ при всех $x\text{;}$ это выполнено при

$$A=4,\phi =\frac{\pi }{6}.$$

Для второй скобки воспользуемся равенством $\cos \alpha =\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{2}\right)\text{:}$

$$\frac{1}{2}\cos \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{2}\right)=\frac{1}{2}\sin \left(2x+\frac{5\pi }{6}\right)=-\frac{1}{2}\sin \left(2x+\frac{5\pi }{6}+\pi \right)=-\frac{1}{2}\sin \left(2x+\frac{11\pi }{6}\right).$$

Поэтому при

$$B=\frac{1}{2},\psi =\frac{11\pi }{6}$$

имеем $B\sin (2x+\psi )=\frac{1}{2}\sin \left(2x+\frac{11\pi }{6}\right)=-\frac{1}{2}\cos \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)\text{,}$ и вторая скобка тоже обращается в нуль.

(Заметим, что это вообще возможно, потому что амплитуда первой гармоники базового выражения равна $\sqrt{(2\sqrt{3}{)}^2+2^2}=4\text{,}$ а второй — $\sqrt{(\frac{1}{4}{)}^2+(\frac{\sqrt{3}}{4}{)}^2}=\frac{1}{2}\text{;}$ слагаемое $A\cos (x+\phi )$ умеет давать любую первую гармонику с амплитудой $|A|\text{,}$ а $B\sin (2x+\psi )$ — любую вторую гармонику с амплитудой $|B|\text{,}$ так что подходящие $A=4$ и $B=\frac{1}{2}$ с нужными фазами всегда найдутся.)

При таком выборе всё выражение тождественно равно $\frac{9}{2}\text{.}$

Ответ. Да, такие числа подобрать можно; константа может принимать единственное значение

$$\boxed{C=\frac{9}{2}}.$$