Можно ли подобрать числа A, B, , так, чтобы выражение (sin(x-(pi)/(3))+2)^2+Acos(x+)+Bsin(2x+) принимало при всех x одно и то же значение C? Если да, то какие значения может принимать константа C?

Раскроем квадрат и разложим всё выражение на гармоники (постоянную составляющую, первую гармонику с частотой 1 и вторую гармонику с частотой 2). Сначала преобразуем первое слагаемое. Так как sin(x-(pi)/(3))=-cos(x-(pi)/(3)+(pi)/(2))=-cos(x+(pi)/(6)), удобно обозначить t=cos(x+(pi)/(6)), и тогда (sin(x-(pi)/(3))+2)^2=(2-t)^2=4-4t+t^2. Распишем каждое слагаемое через гармоники. Линейный по t член даёт первую гармонику: -4t=-4cos(x+(pi)/(6)). Квадрат даёт постоянную часть и вторую гармонику по формуле понижения степени: t^2=cos^2(x+(pi)/(6))=(1+cos(2x+pi3))/(2)=12+12cos(2x+(pi)/(3)). Складывая, получаем (sin(x-(pi)/(3))+2)^2=4+12_(=9/2)-4cos(x+(pi)/(6))+12cos(2x+(pi)/(3)). Таким образом, всё рассматриваемое выражение равно (9)/(2)+[Acos(x+)-4cos(x+(pi)/(6))]+[Bsin(2x+)+12cos(2x+(pi)/(3))]. Здесь в первой квадратной скобке стоит чистая первая гармоника (комбинация cos x и sin x), а во второй — чистая вторая гармоника (комбинация cos 2x и sin 2x). **Какое значение обязана принимать константа.** Если выражение тождественно равно C, усредним обе части по периоду 2pi (то есть возьмём интеграл по [0;2pi] и поделим на 2pi). Среднее значение постоянной равно ей самой, а среднее любой чистой гармоники cos(kx+alpha) или sin(kx+alpha) при целом k1 равно нулю. Поэтому слагаемые Acos(x+), Bsin(2x+) и обе скобки дают в среднем нуль, и остаётся C=(1)/(2pi)_0^(2pi)((sin(x-(pi)/(3))+2)^2+Acos(x+)+Bsin(2x+))dx=(9)/(2). Значит, никакого другого значения, кроме C=(9)/(2), константа принимать не может ни при каком выборе параметров. **Достижимость значения (9)/(2).** Покажем, что параметры действительно подбираются. Для этого надо, чтобы обе квадратные скобки обращались в нуль тождественно по x. Первая скобка обнуляется, если Acos(x+)=4cos(x+(pi)/(6)) при всех x; это выполнено при A=4, =(pi)/(6). Для второй скобки воспользуемся равенством =sin(alpha+(pi)/(2)): 12cos(2x+(pi)/(3))=12sin(2x+(pi)/(3)+(pi)/(2))=12sin(2x+(5pi)/(6))=-12sin(2x+(5pi)/(6)+pi)=-12sin(2x+(11pi)/(6)). Поэтому при B=(1)/(2), =(11pi)/(6) имеем Bsin(2x+)=12sin(2x+(11pi)/(6))=-12cos(2x+(pi)/(3)), и вторая скобка тоже обращается в нуль. (Заметим, что это вообще возможно, потому что амплитуда первой гармоники базового выражения равна sqrt((23)^2+2^2)=4, а второй — sqrt((14)^2+((3)/(4))^2)=12; слагаемое Acos(x+) умеет давать любую первую гармонику с амплитудой |A|, а Bsin(2x+) — любую вторую гармонику с амплитудой |B|, так что подходящие A=4 и B=12 с нужными фазами всегда найдутся.) При таком выборе всё выражение тождественно равно (9)/(2). **Ответ.** Да, такие числа подобрать можно; константа может принимать единственное значение C=(9)/(2).