Решить неравенство (_((21+4x-x^2))(7-x))/(_((x+3))(21+4x-x^2))<(1)/(4).

Введём обозначения для трёх выражений, входящих в неравенство: A=21+4x-x^2, B=7-x, C=x+3. Квадратный трёхчлен раскладывается на множители: 21+4x-x^2=-(x-7)(x+3)=(7-x)(x+3), то есть A=B* C. Эта связь A=BC и есть ключ к задаче. **Область допустимых значений.** Чтобы оба логарифма были определены, а дробь имела смысл, нужно выполнить условия: - основание A первого логарифма: A>0 и A!= 1; - аргумент первого логарифма: B=7-x>0; - основание C второго логарифма: C=x+3>0 и C!= 1; - аргумент второго логарифма: A>0 (уже учтено); - знаменатель не равен нулю: _(C)A!= 0, то есть снова A!= 1. Разберём их по очереди. A>0: (7-x)(x+3)>0 -3<x<7. Условия B>0 (то есть x<7) и C>0 (то есть x>-3) уже содержатся в полученном промежутке (-3;7), новых ограничений не дают. Условие C!= 1 даёт x+3!= 1, то есть x!= -2. Условие A!= 1: решим уравнение 21+4x-x^2=1, то есть x^2-4x-20=0. Его корни x=(4+-sqrt(16+80))/(2)=2+- 2sqrt(6), причём оба корня 2-26~-2,90 и 2+26~6,90 лежат внутри (-3;7), поэтому подлежат исключению. Итак, ОДЗ есть интервал (-3;7) без трёх точек: xin(-3;7), x!= -2, x!= 2-26, x!= 2+26. **Преобразование неравенства.** На ОДЗ перейдём к натуральным логарифмам. Обозначим u=ln B=ln(7-x), v=ln C=ln(x+3). Так как A=BC, то ln A=ln B+ln C=u+v. Заметим важное обстоятельство: в ОДЗ A!= 1, значит ln A!= 0, то есть u+v!= 0 всегда. По формуле перехода к новому основанию _(A)B=(ln B)/(ln A)=(u)/(u+v), _(C)A=(ln A)/(ln C)=(u+v)/(v). Тогда левая часть неравенства равна (_(A)B)/(_(C)A)=((u)/(u+v))/((u+v)/(v))=(uv)/((u+v)^2). (Деление законно: v=ln(x+3)!= 0, так как x!= -2, и u+v=ln A!= 0.) Неравенство принимает вид (uv)/((u+v)^2)<14. **Решение полученного неравенства.** Поскольку u+v!= 0, знаменатель (u+v)^2>0 строго положителен, и на него можно умножить, не меняя знака: 4uv<(u+v)^2. Перенесём всё в одну сторону: (u+v)^2-4uv>0 u^2-2uv+v^2>0 (u-v)^2>0. Полный квадрат (u-v)^2 неотрицателен и обращается в нуль лишь при u=v. Поэтому неравенство (u-v)^2>0 равносильно условию u!= v, то есть ln(7-x)!=ln(x+3) 7-x!= x+3 x!= 2. **Сбор ответа.** Таким образом, на всей ОДЗ неравенство верно всюду, кроме точки x=2 (в ней левая часть равна ровно 14, а неравенство строгое). Точка x=2 лежит в ОДЗ (при x=2 имеем A=251, C=51), поэтому её нужно дополнительно выколоть. Итого решением служит интервал (-3;7), из которого удалены четыре точки: 2-26, -2, 2 и 2+26. Расположив их по возрастанию (-3<2-26<-2<2<2+26<7), получаем (-3;2-2sqrt(6))U(2-2sqrt(6);-2)U(-2;2)U(2;2+2sqrt(6))U(2+2sqrt(6);7).

\(\left(-3;\,2-2\sqrt{6}\right)\cup\left(2-2\sqrt{6};\,-2\right)\cup(-2;\,2)\cup\left(2;\,2+2\sqrt{6}\right)\cup\left(2+2\sqrt{6};\,7\right)\)