Задача №18192

Решить неравенство

$$\frac{{\log }_{(21+4x-x^2)}(7-x)}{{\log }_{(x+3)}\left(21+4x-x^2\right)}<\frac{1}{4}.$$

Введём обозначения для трёх выражений, входящих в неравенство:

$$A=21+4x-x^2,B=7-x,C=x+3.$$

Квадратный трёхчлен раскладывается на множители: $21+4x-x^2=-(x-7)(x+3)=(7-x)(x+3)\text{,}$ то есть

$$A=B\cdot C.$$

Эта связь $A=BC$ и есть ключ к задаче.

Область допустимых значений. Чтобы оба логарифма были определены, а дробь имела смысл, нужно выполнить условия:

• основание $A$ первого логарифма: $A>0$ и $A\ne 1\text{;}$
• аргумент первого логарифма: $B=7-x>0\text{;}$
• основание $C$ второго логарифма: $C=x+3>0$ и $C\ne 1\text{;}$
• аргумент второго логарифма: $A>0$ (уже учтено);
• знаменатель не равен нулю: ${\log }_{C}A\ne 0\text{,}$ то есть снова $A\ne 1\text{.}$

Разберём их по очереди.

$$A>0:(7-x)(x+3)>0⟺-3<x<7.$$

Условия $B>0$ (то есть $x<7$) и $C>0$ (то есть $x>-3$) уже содержатся в полученном промежутке $(-3;7)\text{,}$ новых ограничений не дают.

Условие $C\ne 1$ даёт $x+3\ne 1\text{,}$ то есть $x\ne -2\text{.}$

Условие $A\ne 1\text{:}$ решим уравнение $21+4x-x^2=1\text{,}$ то есть $x^2-4x-20=0\text{.}$ Его корни

$$x=\frac{4\pm \sqrt{16+80}}{2}=2\pm 2\sqrt{6},$$

причём оба корня $2-2\sqrt{6}\approx -2,90$ и $2+2\sqrt{6}\approx 6,90$ лежат внутри $(-3;7)\text{,}$ поэтому подлежат исключению.

Итак, ОДЗ есть интервал $(-3;7)$ без трёх точек:

$$x\in (-3;7),x\ne -2,x\ne 2-2\sqrt{6},x\ne 2+2\sqrt{6}.$$

Преобразование неравенства. На ОДЗ перейдём к натуральным логарифмам. Обозначим

$$u=\ln B=\ln (7-x),v=\ln C=\ln (x+3).$$

Так как $A=BC\text{,}$ то $\ln A=\ln B+\ln C=u+v\text{.}$ Заметим важное обстоятельство: в ОДЗ $A\ne 1\text{,}$ значит $\ln A\ne 0\text{,}$ то есть $u+v\ne 0$ всегда. По формуле перехода к новому основанию

$${\log }_{A}B=\frac{\ln B}{\ln A}=\frac{u}{u+v},{\log }_{C}A=\frac{\ln A}{\ln C}=\frac{u+v}{v}.$$

Тогда левая часть неравенства равна

$$\frac{{\log }_{A}B}{{\log }_{C}A}=\frac{\frac{u}{u+v}}{\frac{u+v}{v}}=\frac{uv}{(u+v{)}^2}.$$

(Деление законно: $v=\ln (x+3)\ne 0\text{,}$ так как $x\ne -2\text{,}$ и $u+v=\ln A\ne 0\text{.}$) Неравенство принимает вид

$$\frac{uv}{(u+v{)}^2}<\frac{1}{4}.$$

Решение полученного неравенства. Поскольку $u+v\ne 0\text{,}$ знаменатель $(u+v{)}^2>0$ строго положителен, и на него можно умножить, не меняя знака:

$$4uv<(u+v{)}^2.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$(u+v{)}^2-4uv>0⟺u^2-2uv+v^2>0⟺(u-v{)}^2>0.$$

Полный квадрат $(u-v{)}^2$ неотрицателен и обращается в нуль лишь при $u=v\text{.}$ Поэтому неравенство $(u-v{)}^2>0$ равносильно условию

$$u\ne v,\text{то есть}\ln (7-x)\ne \ln (x+3)⟺7-x\ne x+3⟺x\ne 2.$$

Сбор ответа. Таким образом, на всей ОДЗ неравенство верно всюду, кроме точки $x=2$ (в ней левая часть равна ровно $\frac{1}{4}\text{,}$ а неравенство строгое). Точка $x=2$ лежит в ОДЗ (при $x=2$ имеем $A=25\ne 1\text{,}$ $C=5\ne 1$), поэтому её нужно дополнительно выколоть.

Итого решением служит интервал $(-3;7)\text{,}$ из которого удалены четыре точки: $2-2\sqrt{6}\text{,}$ $-2\text{,}$ $2$ и $2+2\sqrt{6}\text{.}$ Расположив их по возрастанию ($-3<2-2\sqrt{6}<-2<2<2+2\sqrt{6}<7$), получаем

$$\boxed{\left(-3;2-2\sqrt{6}\right)\cup \left(2-2\sqrt{6};-2\right)\cup (-2;2)\cup \left(2;2+2\sqrt{6}\right)\cup \left(2+2\sqrt{6};7\right).}$$