Основанием прямой призмы ABCA'B'C' с высотой (4)/(7) служит треугольник ABC, в котором AB=BC=1 и AC=(3)/(7). Через точку пересечения диагоналей грани ACC'A' на расстоянии (4)/(13) от точки A проводится плоскость, делящая объём призмы пополам. Какова наибольшая площадь сечения призмы такой плоскостью?

Введём координаты. В основании лежит равнобедренный треугольник ABC с AB=BC=1, AC=(3)/(7). Поместим основание в плоскость z=0: A=(0;0;0), C=((3)/(7);0;0), а вершину B — над серединой AC. Так как B равноудалена от A и C, её абсцисса равна (3)/(14), а высота находится из AB=1: B_y=sqrt(1-((3)/(14))^2)=sqrt((196-9)/(196))=(sqrt(187))/(14), B=((3)/(14);(sqrt(187))/(14);0). Призма прямая высотой h=(4)/(7), поэтому верхние вершины получаются сдвигом на (0;0;47): A'=(0;0;47), B'=((3)/(14);(sqrt(187))/(14);47), C'=(37;0;47). **Точка M и условие на расстояние.** Грань ACC'A' — прямоугольник со сторонами AC=37 и AA'=47; её диагонали AC' и A'C пересекаются в центре M=(A+C')/(2)=((3)/(14);0;(2)/(7)). Заметим, что диагональ AC'=sqrt((37)^2+(47)^2)=(5)/(7), так что AM=(5)/(14). Секущая плоскость проходит через M и удалена от вершины A на (4)/(13). Будем искать сечение наибольшей площади. Рассмотрим семейство плоскостей, проходящих через фиксированную точку M на расстоянии (4)/(13) от A: это однопараметрическое семейство (нормаль скользит по конусу с осью AM). Среди них требуется выбрать ту, что делит объём пополам и даёт максимальную площадь сечения. **Максимизирующая плоскость.** Покажем, что искомая плоскость параллельна оси y (то есть параллельна прямой, проведённой из B перпендикулярно грани ACC'A'). Возьмём плоскость с нормалью n=((12)/(13);0;(5)/(13)), проходящую через M. Её уравнение 12x+5z=12*(3)/(14)+5*(2)/(7)=(18)/(7)+(10)/(7)=4, т.е. 12x+5z=4. Расстояние от A=(0;0;0) до этой плоскости равно (|12*0+5*0-4|)/(sqrt(12^2+5^2))=(4)/(13) — условие задачи выполнено. В грани ACC'A' (плоскость y=0) плоскость высекает хорду от точки P=(13;0;0) на ребре AC до точки Q=((2)/(21);0;47) на ребре A'C', причём эта хорда проходит через M. Так как плоскость параллельна оси y, она пересекает все четыре «нужные» рёбра и порождает пятиугольное сечение с вершинами K_1=((2)/(21);0;47) (на A'C'), L_1=(13;0;0) (на AC), L_2=(13;(2sqrt(187))/(63);0) (на BC), N=((3)/(14);(sqrt(187))/(14);27) (середина BB'), K_2=((2)/(21);(2sqrt(187))/(63);47) (на A'B'). Точка N — это в точности середина бокового ребра BB' (на ней плоскость и пересекает ребро BB'). **Проверка деления объёма пополам.** Вертикальная прямая в точке (x;y) пересекает плоскость на высоте z=(4-12x)/(5), которая попадает в отрезок [0;47] ровно при (2)/(21)<= x<=13. Интегрируя площади горизонтальных слоёв, получаем, что объём части призмы, лежащей со стороны A, равен (3sqrt(187))/(686), а весь объём призмы равен V=S_(ABC)* h=(1)/(2)*(3)/(7)*(sqrt(187))/(14)*47=(3sqrt(187))/(343). Отношение равно (1)/(2), значит, плоскость действительно делит объём призмы пополам. **Площадь сечения.** Плоскость составляет с основанием угол, косинус которого равен (|n_z|)/(| n|)=(5)/(13). Поэтому площадь сечения связана с площадью его ортогональной проекции на основание соотношением S_(сеч)=(S_(пр))/(cos)=(13)/(5)S_(пр). Проекция пятиугольника на основание — это полоса треугольника ABC, заданная условием (2)/(21)<= x<=13. Её площадь равна S_(пр)=_(2/21)^(3/14)(sqrt(187))/(3)xdx+_(3/14)^(1/3)(sqrt(187))/(3)(37-x)dx=(65sqrt(187))/(5292). Следовательно, S_(сеч)=(13)/(5)*(65sqrt(187))/(5292)=(169sqrt(187))/(5292). Тот же результат даёт прямое вычисление площади пятиугольника K_1L_1L_2NK_2 по координатам его вершин. **Это максимум.** В рассматриваемом семействе плоскостей (через M, на расстоянии (4)/(13) от A) условие деления объёма пополам выполняется лишь для двух плоскостей: одна даёт треугольное сечение площади (2sqrt(187))/(1323)~0,211, другая — найденное пятиугольное сечение площади (169sqrt(187))/(5292)~0,437. Наибольшая из них и есть искомая. Ответ: наибольшая площадь сечения равна (169)/(5292)sqrt(187).