Задача №18195

Основанием прямой призмы $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ с высотой $\frac{4}{7}$ служит треугольник $ABC\text{,}$ в котором $AB=BC=1$ и $AC=\frac{3}{7}\text{.}$ Через точку пересечения диагоналей грани $AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }$ на расстоянии $\frac{4}{13}$ от точки $A$ проводится плоскость, делящая объём призмы пополам. Какова наибольшая площадь сечения призмы такой плоскостью?

Введём координаты. В основании лежит равнобедренный треугольник $ABC$ с $AB=BC=1\text{,}$ $AC=\frac{3}{7}\text{.}$ Поместим основание в плоскость $z=0\text{:}$ $A=(0;0;0)\text{,}$ $C=\left(\frac{3}{7};0;0\right)\text{,}$ а вершину $B$ — над серединой $AC\text{.}$ Так как $B$ равноудалена от $A$ и $C\text{,}$ её абсцисса равна $\frac{3}{14}\text{,}$ а высота находится из $AB=1\text{:}$

Призма прямая высотой $h=\frac{4}{7}\text{,}$ поэтому верхние вершины получаются сдвигом на $(0;0;\frac{4}{7})\text{:}$

Точка $M$ и условие на расстояние. Грань $AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }$ — прямоугольник со сторонами $AC=\frac{3}{7}$ и $A{A}^{\prime }=\frac{4}{7}\text{;}$ её диагонали $A{C}^{\prime }$ и $A^{\prime }C$ пересекаются в центре

Заметим, что диагональ $A{C}^{\prime }=\sqrt{(\frac{3}{7}{)}^2+(\frac{4}{7}{)}^2}=\frac{5}{7}\text{,}$ так что $AM=\frac{5}{14}\text{.}$

Секущая плоскость проходит через $M$ и удалена от вершины $A$ на $\frac{4}{13}\text{.}$ Будем искать сечение наибольшей площади. Рассмотрим семейство плоскостей, проходящих через фиксированную точку $M$ на расстоянии $\frac{4}{13}$ от $A\text{:}$ это однопараметрическое семейство (нормаль скользит по конусу с осью $AM$). Среди них требуется выбрать ту, что делит объём пополам и даёт максимальную площадь сечения.

Максимизирующая плоскость. Покажем, что искомая плоскость параллельна оси $y$ (то есть параллельна прямой, проведённой из $B$ перпендикулярно грани $AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }$). Возьмём плоскость с нормалью $\vec{n}=\left(\frac{12}{13};0;\frac{5}{13}\right)\text{,}$ проходящую через $M\text{.}$ Её уравнение

Расстояние от $A=(0;0;0)$ до этой плоскости равно $\frac{|12\cdot 0+5\cdot 0-4|}{\sqrt{12^2+5^2}}=\frac{4}{13}$ — условие задачи выполнено. В грани $AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }$ (плоскость $y=0$) плоскость высекает хорду от точки $P=\left(\frac{1}{3};0;0\right)$ на ребре $AC$ до точки $Q=\left(\frac{2}{21};0;\frac{4}{7}\right)$ на ребре $A^{\prime }{C}^{\prime }\text{,}$ причём эта хорда проходит через $M\text{.}$

Так как плоскость параллельна оси $y\text{,}$ она пересекает все четыре «нужные» рёбра и порождает пятиугольное сечение с вершинами

Точка $N$ — это в точности середина бокового ребра $B{B}^{\prime }$ (на ней плоскость и пересекает ребро $B{B}^{\prime }$).

Проверка деления объёма пополам. Вертикальная прямая в точке $(x;y)$ пересекает плоскость на высоте $z=\frac{4-12x}{5}\text{,}$ которая попадает в отрезок $[0;\frac{4}{7}]$ ровно при $\frac{2}{21}\le x\le \frac{1}{3}\text{.}$ Интегрируя площади горизонтальных слоёв, получаем, что объём части призмы, лежащей со стороны $A\text{,}$ равен $\frac{3\sqrt{187}}{686}\text{,}$ а весь объём призмы равен

Отношение равно $\frac{1}{2}\text{,}$ значит, плоскость действительно делит объём призмы пополам.

Площадь сечения. Плоскость составляет с основанием угол, косинус которого равен $\frac{|n_z|}{|\vec{n}|}=\frac{5}{13}\text{.}$ Поэтому площадь сечения связана с площадью его ортогональной проекции на основание соотношением

Проекция пятиугольника на основание — это полоса треугольника $ABC\text{,}$ заданная условием $\frac{2}{21}\le x\le \frac{1}{3}\text{.}$ Её площадь равна

Следовательно,

Тот же результат даёт прямое вычисление площади пятиугольника $K_1{L}_1{L}_{2}N{K}_2$ по координатам его вершин.

Это максимум. В рассматриваемом семействе плоскостей (через $M\text{,}$ на расстоянии $\frac{4}{13}$ от $A$) условие деления объёма пополам выполняется лишь для двух плоскостей: одна даёт треугольное сечение площади $\frac{2\sqrt{187}}{1323}\approx 0,211\text{,}$ другая — найденное пятиугольное сечение площади $\frac{169\sqrt{187}}{5292}\approx 0,437\text{.}$ Наибольшая из них и есть искомая.

Ответ: наибольшая площадь сечения равна