Найти все значения a, при которых система cases(a-1)x^2+2ax+a+4 0, ax^2+2(a+1)x+a+1 0cases имеет единственное решение.

Обозначим f(x)=(a-1)x^2+2ax+a+4, g(x)=ax^2+2(a+1)x+a+1. Система состоит из неравенств f(x) 0 и g(x) 0. Пусть S_1=x:f(x) 0 и S_2=x:g(x) 0. Решением системы служит S_1n S_2; нам нужно, чтобы это множество состояло ровно из одной точки. **Дискриминанты.** Вычислим дискриминанты квадратных трёхчленов: D_f=(2a)^2-4(a-1)(a+4)=16-12a=-4(3a-4), D_g=(2(a+1))^2-4a(a+1)=4(a+1). Значит, f имеет вещественные корни при a(4)/(3), а g — при a -1. **Структура множества S_1 (неравенство f 0).** Старший коэффициент равен a-1. - При a<1 парабола ветвями вниз. Если D_f>0, то S_1 — пара лучей (-inf;x_1]U[x_2;+inf) (вне корней); если D_f<0 (т.е. a<1 всегда даёт D_f>0, так как 16-12a>4>0) — этот подслучай не возникает. Таким образом, при a<1 множество S_1 есть два луча и в одну точку выродиться не может. - При a=1 трёхчлен вырождается в линейный 2x+5 0, то есть S_1=(-inf;-52] — целый луч. - При a>1 парабола ветвями вверх. Тогда при D_f>0 (то есть 1<a<43) множество S_1=[x_1;x_2] — отрезок положительной длины; при D_f=0 (то есть a=43) отрезок стягивается в единственную точку — вершину параболы; при D_f<0 (то есть a>43) множество S_1=. **Структура множества S_2 (неравенство g 0).** Старший коэффициент равен a. - При a>0 парабола ветвями вверх; поскольку D_g=4(a+1)>0, множество S_2 — пара лучей (-inf;y_1]U[y_2;+inf). - При a=0 трёхчлен линеен: 2x+1 0, то есть S_2=[-12;+inf) — луч. - При -1 a<0 парабола ветвями вниз; S_2=[y_1;y_2] — отрезок (вырождающийся в точку при a=-1, D_g=0); при a<-1 (D_g<0) множество S_2=. Единственное решение системы возможно лишь в двух ситуациях: либо одно из множеств S_1,S_2 само является одной точкой, лежащей в другом множестве; либо два «протяжённых» множества касаются ровно в одной граничной точке. **Случай A. S_1 — одна точка.** Это значит a>1 и D_f=0, откуда a=43. При этом f(x)=13 x^2+83 x+(16)/(3)=13(x+4)^2, так что S_1=-4. Проверяем второе неравенство в точке x=-4: g(-4)=43*16+2*73*(-4)+73=(64)/(3)-(56)/(3)+(7)/(3)=5 0. Условие выполнено, значит S_1n S_2=-4 — ровно одна точка. Значение a=43 подходит. **Случай B. S_2 — одна точка.** Это значит a<0 и D_g=0, откуда a=-1, и тогда g(x)=-(x)^2*? даёт S_2=0. Но f(0)=a+4=-1+4=3>0, то есть точка x=0 не удовлетворяет неравенству f 0. Пересечение пусто, единственного решения нет. Значение a=-1 не подходит. **Случай C. Касание двух протяжённых множеств.** Здесь оба множества имеют положительную «длину», но пересекаются ровно по одной граничной точке. Разберём ключевую конфигурацию: a<0. Тогда S_2=[y_1;y_2] — отрезок, а S_1 (поскольку a<0<1) — пара лучей (-inf;x_1]U[x_2;+inf). Пересечение отрезка с дополнением интервала даёт единственную точку лишь тогда, когда отрезок [y_1;y_2] целиком лежит в «дыре» (x_1;x_2), кроме одного своего конца, который совпадает с концом луча S_1. Иными словами, требуется совпадение границ: правый конец отрезка y_2=x_2 (правая граница касания) при условии, что весь остальной отрезок попадает в зазор. Подставив a=-34, получаем f(x)=-74 x^2-32 x+(13)/(4), g(x)=-34 x^2+12 x+14. Корни: f=0 при x=-(13)/(7) и x=1; g=0 при x=-13 и x=1. Тогда S_1=(-inf;-(13)/(7)]U[1;+inf), S_2=[-13;1], и их пересечение есть единственная точка x=1 (общий конец луча [1;+inf) и отрезка [-13;1]). Проверка: f(1)=00, g(1)=00 — обе границы достигаются. Значение a=-34 подходит. **Почему других значений нет.** При a -1 множество S_2 пусто или одна точка x=0, не лежащая в S_1 (см. случай B), — решений нет. При -1<a<0 и a>0 (кроме a=-34) множества S_1,S_2 либо пересекаются по отрезку/лучу положительной длины, либо не пересекаются вовсе; единственная точка получается только при точном совпадении границ, что, как показывает разбор, приводит ровно к a=-34. При 0 a 1 множество S_2 содержит правый луч, а S_1 — два луча (или луч при a=1); их пересечение всегда содержит целый луч (положительной длины), значит единственным быть не может. При 1<a<43 множество S_1 — отрезок положительной длины, целиком попадающий в S_2 либо пересекающий его по отрезку, — снова не одна точка; при a>43 множество S_1 пусто. Остаются только два значения: a=43 (случай A) и a=-34 (случай C). **Ответ:** a=-34 и a=43.

\(-\frac{3}{4};\ \frac{4}{3}\)