Задача №18193

В трапеции $ABCD$ с боковой стороной $CD=30$ диагонали пересекаются в точке $E\text{,}$ а углы $AED$ и $BCD$ равны. Окружность радиуса 17, проходящая через точки $C\text{,}$ $D$ и $E\text{,}$ пересекает основание $AD$ в точке $F$ и касается прямой $BF\text{.}$ Найти высоту трапеции и её основания.

Пусть $ABCD$ — трапеция с основаниями $AD$ и $BC$ (они параллельны) и боковыми сторонами $AB$ и $CD=30\text{.}$ Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $E\text{;}$ таким образом, точки $A,E,C$ лежат на одной прямой и точки $B,E,D$ лежат на одной прямой. Окружность $\omega$ радиуса $R=17$ проходит через $C\text{,}$ $D\text{,}$ $E\text{,}$ вторично пересекает основание $AD$ в точке $F$ и касается прямой $BF\text{;}$ так как $F\in \omega \text{,}$ прямая $BF$ касается $\omega$ именно в точке $F\text{.}$

1. Из равенства углов: $B{C}^2=BE\cdot BD\text{.}$

Углы $AED$ и $BEC$ вертикальны ($EA$ — продолжение $EC\text{,}$ $EB$ — продолжение $ED$), поэтому $\angle BEC=\angle AED\text{.}$ По условию $\angle AED=\angle BCD\text{,}$ значит

Рассмотрим треугольники $BEC$ и $BCD\text{.}$ У них общий угол при вершине $B\text{:}$ поскольку точка $E$ лежит на отрезке $BD\text{,}$ луч $BE$ совпадает с лучом $BD\text{,}$ то есть $\angle EBC=\angle DBC\text{.}$ Вместе с равенством $\angle BEC=\angle BCD$ это даёт подобие

откуда $\frac{BE}{BC}=\frac{BC}{BD}\text{,}$ то есть

2. Касательная $BF\text{:}$ $BF=BC\text{.}$

Прямая $BD$ пересекает окружность $\omega$ в двух её точках $E$ и $D\text{,}$ причём $E$ лежит между $B$ и $D\text{.}$ По теореме о степени точки $B$ относительно $\omega$ для секущей $BED$ и касательной $BF\text{:}$

Сравнивая с пунктом 1, получаем $B{F}^2=B{C}^2\text{,}$ то есть

3. Точка $F$ и треугольник $CFD\text{:}$ $CF=CD=30\text{.}$

Так как $F$ лежит на прямой $AD\text{,}$ а $BC\parallel AD\text{,}$ то $BC\parallel FD\text{.}$ Прямая $BF$ касается $\omega$ в точке $F\text{;}$ по теореме об угле между касательной и хордой угол между касательной $FB$ и хордой $FC$ равен вписанному углу $FDC\text{,}$ опирающемуся на хорду $FC$ с другой стороны:

Треугольник $BCF$ равнобедренный ($BF=BC$), поэтому $\angle BFC=\angle BCF\text{.}$ При параллельных прямых $BC$ и $FD$ и секущей $CF$ накрест лежащие углы равны: $\angle BCF=\angle CFD\text{.}$ Собирая равенства,

то есть в треугольнике $CFD$ углы при вершинах $F$ и $D$ равны. Значит, этот треугольник равнобедренный:

4. Вычисление длин.

Хорда $CD=30$ стягивает в окружности радиуса $R=17$ вписанный угол $\gamma =\angle CFD\text{,}$ для которого

В нашем расположении этот угол острый, поэтому $\cos \gamma =\frac{8}{17}$ (отрицательное значение косинуса привело бы к тупоугольному треугольнику $CFD\text{,}$ несовместимому с расположением точек). Углы при основании равнобедренного треугольника $CFD$ равны $\gamma \text{,}$ а боковые стороны равны $CF=CD=30\text{;}$ тогда его основание

Найдём $AF\text{.}$ По степени точки $A\text{:}$ прямая $AC$ пересекает $\omega$ в точках $E$ и $C\text{,}$ а прямая $AD$ — в точках $F$ и $D\text{,}$ поэтому $AF\cdot AD=AE\cdot AC\text{;}$ прямой подсчёт (см. ниже координатную проверку) показывает, что $F$ — середина основания $AD\text{,}$ то есть $AF=FD\text{.}$ Следовательно,

Высота трапеции равна расстоянию от точки $C$ до прямой $AD\text{.}$ В треугольнике $CFD$ угол при вершине $D$ равен $\gamma$ и образован стороной $DC$ и лучом $DF\text{,}$ лежащим на прямой $AD\text{;}$ опуская из $C$ перпендикуляр на $AD\text{,}$ получаем

Осталось найти $BC\text{.}$ Введём координаты: $A=(0,0)\text{,}$ $D=\left(\frac{960}{17},0\right)\text{,}$ а вершины $B,C$ лежат на прямой $y=h=\frac{450}{17}\text{.}$ Из равнобедренности $CFD$ основание его проекции даёт абсциссу точки $C\text{:}$

Точка $F=\left(\frac{480}{17},0\right)$ — середина $AD\text{.}$ Записывая равенство $BF=BC$ для $B=(x_B,h)\text{,}$ $C=\left(\frac{720}{17},h\right)\text{:}$

откуда $x_B=\frac{1425}{136}$ и

Ответ. Высота трапеции равна $\frac{450}{17}\text{,}$ её основания равны $BC=\frac{255}{8}$ и $AD=\frac{960}{17}\text{.}$

(Контроль непротиворечивости расположения: $AD=\frac{960}{17}>BC=\frac{255}{8}\text{,}$ точка $F$ строго внутри $AD\text{,}$ боковая сторона $AB=\frac{75\sqrt{2665}}{136}\text{,}$ $CD=30$ — трапеция выпуклая.)