Задача №18191

Решить уравнение

$$3x-2|x-2|=3\sqrt{3x+18}-2\left|\sqrt{3x+18}-2\right|.$$

Область определения задаётся подкоренным выражением: $3x+18⩾0\text{,}$ то есть $x⩾-6\text{.}$

Заметим, что обе части уравнения построены по одному и тому же закону. Введём функцию

$$f(t)=3t-2|t-2|.$$

Тогда левая часть есть $f(x)\text{,}$ а правая часть есть $f\left(\sqrt{3x+18}\right)\text{,}$ потому что в правой части роль аргумента $t$ играет $\sqrt{3x+18}\text{.}$ Итак, уравнение равносильно равенству

$$f(x)=f\left(\sqrt{3x+18}\right).$$

Исследуем функцию $f\text{,}$ раскрыв модуль. При $t⩾2$ имеем $|t-2|=t-2\text{,}$ значит

$$f(t)=3t-2(t-2)=t+4,$$

а при $t<2$ имеем $|t-2|=2-t\text{,}$ значит

$$f(t)=3t-2(2-t)=5t-4.$$

Обе ветви — линейные функции с положительными угловыми коэффициентами ($1$ и $5$), то есть строго возрастают на своих промежутках. В точке стыка $t=2$ обе формулы дают одно и то же значение: $t+4=6$ и $5t-4=6\text{.}$ Поэтому $f$ непрерывна и строго возрастает на всей числовой прямой, а значит, инъективна: равенство $f(p)=f(q)$ возможно лишь при $p=q\text{.}$

Применяя это к равенству $f(x)=f\left(\sqrt{3x+18}\right)\text{,}$ получаем равносильное уравнение

$$x=\sqrt{3x+18}.$$

Правая часть неотрицательна, поэтому необходимо $x⩾0$ (это автоматически попадает в область определения $x⩾-6$). При $x⩾0$ можно возвести обе части в квадрат, не приобретая посторонних корней:

$$x^2=3x+18⟺x^2-3x-18=0⟺(x-6)(x+3)=0,$$

откуда $x=6$ или $x=-3\text{.}$ Условию $x⩾0$ удовлетворяет только $x=6$ (корень $x=-3$ посторонний, так как при нём правая часть $\sqrt{3x+18}=3\ne -3$).

Проверка. При $x=6$ имеем $\sqrt{3\cdot 6+18}=\sqrt{36}=6\text{,}$ поэтому

$$3\cdot 6-2|6-2|=18-8=10,3\cdot 6-2|6-2|=18-8=10,$$

левая и правая части равны $10\text{.}$ Равенство выполнено.

Ответ: $x=6\text{.}$

Примечание. Ответ в печатном сборнике содержал неточность; приведённый ответ получен независимым решением и проверен.