Решить уравнение 3x-2|x-2|=3sqrt(3x+18)-2|sqrt(3x+18)-2|.

Область определения задаётся подкоренным выражением: 3x+18 0, то есть x -6. Заметим, что обе части уравнения построены по одному и тому же закону. Введём функцию f(t)=3t-2|t-2|. Тогда левая часть есть f(x), а правая часть есть f(sqrt(3x+18)), потому что в правой части роль аргумента t играет sqrt(3x+18). Итак, уравнение равносильно равенству f(x)=f(sqrt(3x+18)). Исследуем функцию f, раскрыв модуль. При t 2 имеем |t-2|=t-2, значит f(t)=3t-2(t-2)=t+4, а при t<2 имеем |t-2|=2-t, значит f(t)=3t-2(2-t)=5t-4. Обе ветви — линейные функции с положительными угловыми коэффициентами (1 и 5), то есть строго возрастают на своих промежутках. В точке стыка t=2 обе формулы дают одно и то же значение: t+4=6 и 5t-4=6. Поэтому f непрерывна и строго возрастает на всей числовой прямой, а значит, инъективна: равенство f(p)=f(q) возможно лишь при p=q. Применяя это к равенству f(x)=f(sqrt(3x+18)), получаем равносильное уравнение x=sqrt(3x+18). Правая часть неотрицательна, поэтому необходимо x 0 (это автоматически попадает в область определения x -6). При x 0 можно возвести обе части в квадрат, не приобретая посторонних корней: x^2=3x+18 x^2-3x-18=0 (x-6)(x+3)=0, откуда x=6 или x=-3. Условию x 0 удовлетворяет только x=6 (корень x=-3 посторонний, так как при нём правая часть sqrt(3x+18)=3!= -3). Проверка. При x=6 имеем sqrt(3* 6+18)=sqrt(36)=6, поэтому 3* 6-2|6-2|=18-8=10, 3* 6-2|6-2|=18-8=10, левая и правая части равны 10. Равенство выполнено. Ответ: x=6. *Примечание.* Ответ в печатном сборнике содержал неточность; приведённый ответ получен независимым решением и проверен.

\(6\)