58:I[522016,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],""] 59:I[505014,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"default"] 5a:I[830789,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"CollectionDetailClient",1] 5b:T144b,**Область допустимых значений.** В неравенстве участвуют логарифмы $\log_{4x^2}x^2$ и $\log_{8x^4}x^4$. Аргументы $x^2$ и $x^4$ положительны при $x\neq 0$. Основания $4x^2$ и $8x^4$ при $x\neq 0$ положительны автоматически, но должны быть отличны от единицы: \[4x^2\neq 1\iff x^2\neq\frac14\iff |x|\neq\frac12,\qquad 8x^4\neq 1\iff x^4\neq\frac18\iff |x|\neq\frac{1}{\sqrt[4]{8}}.\] Итак, ОДЗ: $x\neq 0$, $|x|\neq\dfrac12$, $|x|\neq\dfrac{1}{\sqrt[4]{8}}$. **Сведение к одной переменной.** Перейдём к логарифмам по основанию $2$. Положим \[t=\log_2 x^2=2\log_2|x|.\] При $x\neq 0$ величина $t$ пробегает всё множество $\mathbb{R}$; при этом $x^2=2^{t}$, и неравенство зависит лишь от $x^2$ (то есть симметрично относительно замены $x\mapsto -x$). Выразим каждый множитель. По формуле перехода \[\log_{4x^2}x^2=\frac{\log_2 x^2}{\log_2(4x^2)}=\frac{\log_2 x^2}{2+\log_2 x^2}=\frac{t}{t+2},\] \[\log_{8x^4}x^4=\frac{\log_2 x^4}{\log_2(8x^4)}=\frac{2\log_2 x^2}{3+2\log_2 x^2}=\frac{2t}{2t+3}.\] Здесь $\log_2 x^4=2\log_2 x^2=2t$, $\log_2(4x^2)=2+t$, $\log_2(8x^4)=3+2t$. Условия ОДЗ $t\neq -2$ и $t\neq -\tfrac32$ в точности совпадают с условиями необращения в нуль знаменателей $t+2$ и $2t+3$. Неравенство принимает вид \[\frac{t}{t+2}\cdot\frac{2t}{2t+3}\leqslant 1,\qquad\text{т. е.}\qquad \frac{2t^2}{(t+2)(2t+3)}\leqslant 1.\] **Решение рационального неравенства.** Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: \[\frac{2t^2}{(t+2)(2t+3)}-1=\frac{2t^2-(t+2)(2t+3)}{(t+2)(2t+3)}=\frac{2t^2-(2t^2+7t+6)}{(t+2)(2t+3)}=\frac{-(7t+6)}{(t+2)(2t+3)}\leqslant 0.\] Умножая на $-1$ (знак неравенства меняется), получаем равносильное \[\frac{7t+6}{(t+2)(2t+3)}\geqslant 0.\] Нули числителя и знаменателя: $t=-2$, $t=-\dfrac32$, $t=-\dfrac{6}{7}$. Расставим знаки дроби методом интервалов (порядок точек: $-2<-\tfrac32<-\tfrac67$). | Промежуток | $t<-2$ | $-2-\tfrac67$ | |---|---|---|---|---| | $7t+6$ | $-$ | $-$ | $-$ | $+$ | | $t+2$ | $-$ | $+$ | $+$ | $+$ | | $2t+3$ | $-$ | $-$ | $+$ | $+$ | | дробь | $-$ | $+$ | $-$ | $+$ | Дробь неотрицательна на промежутках $(-2;-\tfrac32)$ и $\bigl[-\tfrac67;+\infty\bigr)$. Точка $t=-\dfrac67$ включается (числитель обращается в нуль, дробь равна $0$), а точки $t=-2$ и $t=-\tfrac32$ исключены (знаменатель нуль). Итак, \[t\in\left(-2;\,-\tfrac32\right)\cup\left[-\tfrac67;\,+\infty\right).\] **Возврат к переменной $x$.** Так как $t=2\log_2|x|$, то $|x|=2^{t/2}$ — строго возрастающая функция от $t$. Подставляя граничные значения, \[t=-2:\ |x|=2^{-1}=\tfrac12,\qquad t=-\tfrac32:\ |x|=2^{-3/4}=\frac{1}{\sqrt[4]{8}},\qquad t=-\tfrac67:\ |x|=2^{-3/7}=\frac{1}{\sqrt[7]{8}}\] (здесь $2^{3/4}=\sqrt[4]{2^3}=\sqrt[4]{8}$ и $2^{3/7}=\sqrt[7]{2^3}=\sqrt[7]{8}$). В силу возрастания соответствия $t\mapsto|x|$ промежутки переходят так: \[t\in\left(-2;\,-\tfrac32\right)\ \Longrightarrow\ |x|\in\left(\tfrac12;\,\tfrac{1}{\sqrt[4]{8}}\right),\qquad t\in\left[-\tfrac67;\,+\infty\right)\ \Longrightarrow\ |x|\in\left[\tfrac{1}{\sqrt[7]{8}};\,+\infty\right).\] Концы наследуют характер включения: точка $|x|=\tfrac{1}{\sqrt[7]{8}}$ входит, точки $|x|=\tfrac12$ и $|x|=\tfrac{1}{\sqrt[4]{8}}$ — нет (что согласуется и с ОДЗ). **Учёт обоих знаков.** Поскольку $|x|$ фиксирует пару значений $x=\pm|x|$, каждому промежутку по $|x|$ отвечают два симметричных промежутка по $x$. Из $|x|\in\left(\tfrac12;\,\tfrac{1}{\sqrt[4]{8}}\right)$ получаем \[x\in\left(\tfrac12;\,\tfrac{1}{\sqrt[4]{8}}\right)\cup\left(-\tfrac{1}{\sqrt[4]{8}};\,-\tfrac12\right),\] а из $|x|\in\left[\tfrac{1}{\sqrt[7]{8}};\,+\infty\right)$ — \[x\in\left[\tfrac{1}{\sqrt[7]{8}};\,+\infty\right)\cup\left(-\infty;\,-\tfrac{1}{\sqrt[7]{8}}\right].\] **Ответ.** \[\boxed{\,x\in\left(-\infty;\,-\frac{1}{\sqrt[7]{8}}\right]\cup\left(-\frac{1}{\sqrt[4]{8}};\,-\frac{1}{2}\right)\cup\left(\frac{1}{2};\,\frac{1}{\sqrt[4]{8}}\right)\cup\left[\frac{1}{\sqrt[7]{8}};\,+\infty\right).}\]5c:T13f2,Разберём, что произошло с грибами, и введём обозначения. Ваня нашёл всего $35$ грибов. Среди них есть белые, которые он забрал себе, и «остальные» (в том числе все подосиновики), которые он отдал Пете. Обозначим: - $b$ — число белых грибов у Вани (их хотя бы один, так как сказано «Ваня взял себе белые грибы», то есть $b\ge 1$); - $p$ — число подосиновиков (по условию их «несколько», то есть $p\ge 2$). Подсчитаем, что попало к Пете и что он принёс домой. Ваня отдал Пете все грибы, кроме белых, то есть \[ 35-b \text{ грибов.} \] Среди них Петя нашёл один червивый подберёзовик и выбросил его. Значит, домой Петя принёс \[ (35-b)-1=34-b \text{ грибов.} \] Подосиновики не являются ни белыми (их забрал Ваня), ни тем выброшенным подберёзовиком, поэтому все $p$ подосиновиков уцелели и вошли в число принесённых Петей домой грибов. Теперь запишем условие задачи. Доля белых среди найденных Ваней грибов равна $\dfrac{b}{35}$; доля подосиновиков среди принесённых Петей домой грибов равна $\dfrac{p}{34-b}$. По условию эти доли равны: \[ \frac{b}{35}=\frac{p}{34-b}. \] Отсюда, перемножив крест-накрест, получаем \[ b(34-b)=35\,p,\qquad\text{то есть}\qquad p=\frac{b(34-b)}{35}. \] Число $p$ должно быть целым, причём с учётом смысла задачи должны выполняться ограничения \[ 1\le b,\qquad p\ge 2,\qquad p\le 34-b \] (последнее — потому что подосиновики составляют часть принесённых Петей домой грибов; кроме того, к Пете должен был попасть ещё и выброшенный подберёзовик, что даёт $35-b\ge p+1$). Найдём, при каких целых $b$ дробь $\dfrac{b(34-b)}{35}$ целая. Так как $35=5\cdot 7$, нужно, чтобы произведение $b(34-b)$ делилось на $35$. Перебирая $b$ от $0$ до $35$, получаем, что $35\mid b(34-b)$ лишь при \[ b=0,\quad b=14,\quad b=20,\quad b=34,\quad b=35, \] чему соответствуют значения \[ b=0\Rightarrow p=0,\quad b=14\Rightarrow p=8,\quad b=20\Rightarrow p=8,\quad b=34\Rightarrow p=0,\quad b=35\Rightarrow p=-1. \] Отсеем недопустимые случаи. Значения $b=0$ и $b=34$ дают $p=0$, что противоречит условию «несколько подосиновиков» ($p\ge 2$); к тому же при $b=0$ у Вани нет белых, а при $b=34$ Петя приносит домой $0$ грибов. Значение $b=35$ даёт отрицательное $p$ и означало бы, что Ваня вообще ничего не отдал Пете, — это невозможно. Остаются только \[ b=14,\ p=8\qquad\text{и}\qquad b=20,\ p=8. \] Проверим, что оба варианта осмысленны: - при $b=14$: Пете отдано $35-14=21$ гриб, домой принесено $34-14=20$, из них $8$ подосиновиков и ещё $12$ прочих грибов; доли: $\dfrac{14}{35}=\dfrac{8}{20}=0{,}4$; - при $b=20$: Пете отдано $35-20=15$ грибов, домой принесено $34-20=14$, из них $8$ подосиновиков и ещё $6$ прочих; доли: $\dfrac{20}{35}=\dfrac{8}{14}=\dfrac{4}{7}$. В обоих допустимых случаях число подосиновиков одно и то же. Тем самым, хотя число белых грибов условием однозначно не определяется, число найденных подосиновиков определяется однозначно: \[ \boxed{p=8}. \] (Геометрически это видно из того, что $p=\dfrac{b(34-b)}{35}$ — парабола с вершиной при $b=17$, где $p=\dfrac{17^2}{35}\approx 8{,}26$; поэтому наибольшее возможное целое значение $p$ равно $8$, и обе допустимые точки $b=14$ и $b=20$, симметричные относительно вершины, дают именно $8$.)5d:T148d,Обозначим через $ \omega $ окружность, проходящую через вершины $ B $, $ C $, $ D $ параллелограмма $ ABCD $. По условию $ \omega $ касается прямой $ AD $. Так как точка $ D $ лежит и на окружности, и на прямой $ AD $, общей у них может быть только эта точка, то есть прямая $ AD $ касается $ \omega $ именно в точке $ D $. **Касательная и секущая из точки $ A $.** Прямая $ AB $ пересекает окружность в точках $ B $ и $ E $, значит она является секущей, проведённой из точки $ A $. Прямая $ AD $ — касательная к $ \omega $ с точкой касания $ D $. По теореме о касательной и секущей (равенство степени точки $ A $ относительно окружности) квадрат отрезка касательной равен произведению отрезков секущей: \[ AD^2 = AB\cdot AE. \] Поскольку $ AD=4 $, получаем \[ AB\cdot AE=16. \tag{1} \] Чтобы найти $ AE $, осталось определить длину $ AB $. **Ключевой факт: $ CE=CD $.** Покажем, что треугольник $ CDE $ равнобедренный с вершиной $ C $. Для этого сравним углы $ \angle CDE $ и $ \angle CED $. Угол $ \angle CED $ вписан в окружность $ \omega $ и опирается на хорду $ CD $. По теореме об угле между касательной $ AD $ и хордой $ DC $, вписанный угол $ \angle CED $, опирающийся на $ CD $ из соответствующей дуги, равен углу между касательной и этой хордой: \[ \angle CED=\angle(\,AD,\,DC\,). \] Здесь $ \angle(AD,DC) $ — острый угол между прямой касательной $ AD $ и хордой $ DC $, измеренный со стороны вершины $ C $. Теперь вычислим угол $ \angle CDE $. Развёрнем угол $ \angle ADC $ хордой $ DE $ на два слагаемых: \[ \angle ADC=\angle ADE+\angle EDC. \tag{2} \] Угол $ \angle ADE $ — это угол между касательной $ AD $ и хордой $ DE $; по той же теореме об угле между касательной и хордой он равен вписанному углу $ \angle DCE $, опирающемуся на хорду $ DE $ из дуги, содержащей $ C $: \[ \angle ADE=\angle DCE. \] С другой стороны, в параллелограмме $ ABCD $ стороны $ AD $ и $ BC $ параллельны, а $ AB $ и $ DC $ параллельны; точка $ E $ лежит на прямой $ AB $. Угол $ \angle ADC $ параллелограмма (при секущей $ AD $ для параллельных $ AB $ и $ DC $) связан с углом наклона касательной так, что \[ \angle ADC=\angle(\,AD,\,DC\,)+\angle DCE, \] где $ \angle(AD,DC) $ — тот же острый угол между касательной и хордой $ DC $. Сопоставляя это с разложением (2) и равенством $ \angle ADE=\angle DCE $, получаем \[ \angle EDC=\angle ADC-\angle ADE=\bigl(\angle(AD,DC)+\angle DCE\bigr)-\angle DCE=\angle(AD,DC). \] Тем самым \[ \angle CDE=\angle EDC=\angle(AD,DC)=\angle CED. \] В треугольнике $ CDE $ углы при основании $ DE $ равны: \[ \angle CDE=\angle CED, \] следовательно, треугольник $ CDE $ равнобедренный, и стороны, лежащие против равных углов, равны: \[ CE=CD. \] **Завершение.** В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому $ CD=AB $. С учётом доказанного $ CE=CD $ имеем \[ AB=CD=CE=5. \] Подставляя $ AB=5 $ в соотношение (1): \[ 5\cdot AE=16,\qquad AE=\frac{16}{5}. \] Проверим, что конфигурация невырождена и точка $ E $ расположена правильно. Из $ AB=5 $ и $ AD=4 $ параллелограмм существует (стороны положительны, не коллинеарны при наклоне касательной к стороне $ AB $); степень точки $ A $ положительна ($ AD^2=16>0 $), поэтому $ A $ лежит вне окружности, а секущая пересекает её в двух точках $ B $ и $ E $, что согласуется с условием. Все длины положительны, противоречий нет. \[ \boxed{\,AE=\dfrac{16}{5}\,}. \]5e:Tdc1,Обозначим для краткости числитель обеих дробей через \[ N=\sin(\alpha+\gamma)\sin(\beta+\gamma). \] Тогда условие задачи записывается как \[ \frac{N}{\cos\alpha\cos\beta}=\frac{4}{9}, \] а найти требуется величину \[ \frac{N}{\cos\gamma\cos(\alpha+\beta+\gamma)}. \] **Ключевое тождество.** Покажем, что знаменатели двух дробей отличаются ровно на числитель $N$, то есть \[ \cos\alpha\cos\beta-\cos\gamma\cos(\alpha+\beta+\gamma)=\sin(\alpha+\gamma)\sin(\beta+\gamma). \] Все три произведения преобразуем по формулам произведения тригонометрических функций в сумму. Для первого произведения \[ \cos\alpha\cos\beta=\tfrac12\bigl[\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)\bigr]. \] Для второго произведения, полагая, что аргументы дают сумму $\gamma+(\alpha+\beta+\gamma)=\alpha+\beta+2\gamma$ и разность $\gamma-(\alpha+\beta+\gamma)=-(\alpha+\beta)$ (а косинус чётен), получаем \[ \cos\gamma\cos(\alpha+\beta+\gamma)=\tfrac12\bigl[\cos(\alpha+\beta+2\gamma)+\cos(\alpha+\beta)\bigr]. \] Вычитая, видим, что слагаемые с $\cos(\alpha+\beta)$ взаимно уничтожаются: \[ \cos\alpha\cos\beta-\cos\gamma\cos(\alpha+\beta+\gamma) =\tfrac12\bigl[\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta+2\gamma)\bigr]. \] Осталось узнать в правой части числитель $N$. По формуле произведения синусов \[ \sin(\alpha+\gamma)\sin(\beta+\gamma) =\tfrac12\bigl[\cos\bigl((\alpha+\gamma)-(\beta+\gamma)\bigr)-\cos\bigl((\alpha+\gamma)+(\beta+\gamma)\bigr)\bigr] =\tfrac12\bigl[\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta+2\gamma)\bigr]. \] Правые части двух последних равенств совпадают, поэтому \[ \cos\alpha\cos\beta-\cos\gamma\cos(\alpha+\beta+\gamma)=N, \] что и доказывает заявленное тождество. **Завершение.** Из тождества выразим второй знаменатель через первый: \[ \cos\gamma\cos(\alpha+\beta+\gamma)=\cos\alpha\cos\beta-N. \] Тем самым искомое выражение равно \[ \frac{N}{\cos\gamma\cos(\alpha+\beta+\gamma)}=\frac{N}{\cos\alpha\cos\beta-N}. \] Разделим числитель и знаменатель последней дроби на $\cos\alpha\cos\beta$ (это допустимо, так как по условию дробь $\tfrac{N}{\cos\alpha\cos\beta}=\tfrac49$ определена, значит $\cos\alpha\cos\beta\neq0$): \[ \frac{N}{\cos\alpha\cos\beta-N} =\frac{\dfrac{N}{\cos\alpha\cos\beta}}{1-\dfrac{N}{\cos\alpha\cos\beta}}. \] Подставляя данное значение $\tfrac{N}{\cos\alpha\cos\beta}=\tfrac49$, получаем \[ \frac{\dfrac49}{1-\dfrac49}=\frac{\dfrac49}{\dfrac59}=\frac{4}{5}. \] Заметим, что выражение, которое требуется найти, корректно определено: его знаменатель равен $\cos\alpha\cos\beta-N=\cos\alpha\cos\beta\bigl(1-\tfrac49\bigr)=\tfrac59\cos\alpha\cos\beta\neq0$, поскольку $\cos\alpha\cos\beta\neq0$. **Ответ:** $\dfrac{4}{5}$.5f:T152a,Обозначим левые части уравнений \[ Q(x)=(2a+4)x^2+(5a+10)x+(a+10),\qquad P(x)=(a-1)x^4-(a-1)x^3-(a-7)x^2+(10a+5)x-a+12. \] Пусть $x_10$ даёт $(a+2)(17a-30)>0$, то есть \[ a<-2\quad\text{или}\quad a>\tfrac{30}{17}. \] При этом автоматически $a\ne-2$. Итак, два различных корня существуют в точности при $a\in(-\infty;-2)\cup\left(\tfrac{30}{17};+\infty\right)$. **Шаг 2. Критерий "ровно один корень $P$ между $x_1$ и $x_2$".** Многочлен $P$ непрерывен. Если $P(x_1)$ и $P(x_2)$ имеют разные знаки, то на интервале $(x_1;x_2)$ лежит нечётное число корней $P$ (с учётом смены знака), а если знаки совпадают (и ни один корень не попал на концы) — чётное число. Покажем, что в нашей задаче "нечётное" означает именно "ровно один". Корень $P$ может перейти через конец $x_1$ или $x_2$ (изменив тем самым число корней внутри) только тогда, когда у $P$ и $Q$ есть общий корень. Общие корни существуют лишь при обращении в нуль результанта \[ \operatorname{Res}_x(Q,P)=-512\,(a-6)(a-1)^2(a+3)^3, \] то есть при $a\in\{-3;\,1;\,6\}$. Значение $a=1$ не входит в область из Шага 1 (там $Q$ имеет комплексные корни), значит на каждом из промежутков, не содержащих точек $-3$ и $6$, число корней $P$ внутри $(x_1;x_2)$ постоянно. Прямая проверка по одному значению на каждом промежутке показывает, что это число равно $1$ при $a<-3$ и при $a>6$, равно $2$ при $-30$ при $a\ne-2$; множитель $(a-1)^2\geqslant0$ (равен нулю лишь при $a=1$, не входящем в область). Поэтому \[ \operatorname{sign}\big(P(x_1)P(x_2)\big)=-\operatorname{sign}\big((a-6)(a+3)\big). \] Неравенство $P(x_1)P(x_2)<0$ равносильно $(a-6)(a+3)>0$, то есть \[ a<-3\quad\text{или}\quad a>6. \] **Шаг 5. Пересечение с областью существования двух корней.** Условие $a<-3$ лежит внутри $(-\infty;-2)$, а условие $a>6$ — внутри $\left(\tfrac{30}{17};+\infty\right)$, поэтому требование Шага 1 выполняется автоматически. Граничные значения исключаются: при $a=-3$ и при $a=6$ выполнено $P(x_1)P(x_2)=0$, то есть один из корней $P$ совпадает с концом интервала (при $a=-3$ общий корень $x=1=x_2$, при $a=6$ общий корень $x=-2=x_1$), а строго внутри интервала нужного "ровно одного" корня в смысле критерия уже нет (при $a=6$ внутри вовсе нет корней $P$). Эти точки в ответ не входят. **Ответ.** \[ \boxed{a\in(-\infty;\,-3)\cup(6;\,+\infty)}. \]60:T1b81,Введём ось $ h $, направленную по общему перпендикуляру к параллельным плоскостям $ \alpha $ и $ \beta $; для каждой точки $ h(X) $ — её координата (со знаком) вдоль этой оси, так что расстояние от точки до плоскости уровня $ h=c $ равно $ |h(X)-c| $. Совместим начало отсчёта с плоскостью $ \alpha $, то есть положим уравнение $ \alpha $ в виде $ h=0 $, а уравнение $ \beta $ в виде $ h=t $. **Расположение вершин по высоте.** Расстояния от $ A $ и $ B $ до $ \alpha $ равны $15$ и $10$, значит $ |h(A)|=15 $, $ |h(B)|=10 $. Так как $ \alpha $ и $ \beta $ делят тетраэдр на три части, обе плоскости пересекают его внутренность. Возьмём \[ h(A)=15,\qquad h(B)=-10 \] (вершины $ A $ и $ B $ лежат по разные стороны от $ \alpha $; ориентацию оси выбрали так, чтобы $ A $ была выше). Тогда $ h(A)-t=10 $ даёт расстояние от $ A $ до $ \beta $, откуда \[ t=h(A)-10=5, \] то есть $ \beta:\ h=5 $ и толщина среднего слоя равна $5$. Наконец, расстояние от $ C $ до $ \beta $ равно $8$; так как нам нужна непустая «верхняя» часть, положим $ C $ над $ \beta $: \[ h(C)=t+8=13. \] Про вершину $ D $ пока известно лишь, что $ |h(D)|<12 $. **Тип сечений.** Плоскость уровня $ h=z $ пересекает тетраэдр по треугольнику, если она отделяет одну вершину от трёх, и по четырёхугольнику, если отделяет две вершины от двух. По условию хотя бы одно сечение — трапеция, то есть четырёхугольник; значит соответствующая плоскость отделяет две вершины от двух. У нас выше уровня $ h=5 $ уже лежат $ A\,(15) $ и $ C\,(13) $, ниже уровня $ h=0 $ лежит $ B\,(-10) $. Если поместить $ D $ ниже $ \alpha $ (т.е. $ h(D)<0 $), то обе плоскости отделяют пару $ \{B,D\} $ (внизу) от пары $ \{A,C\} $ (наверху), и оба сечения — четырёхугольники, пересекающие рёбра $ BA,\ BC,\ DA,\ DC $. **Условие «трапеция» фиксирует положение $ D $.** Четырёхугольное сечение, отделяющее $ \{B,D\} $ от $ \{A,C\} $, является трапецией тогда и только тогда, когда секущая плоскость параллельна одному из «несекомых» противоположных рёбер $ BD $ или $ AC $. Ребро $ AC $ не горизонтально ($ h(A)=15\neq13=h(C) $), поэтому остаётся условие параллельности плоскостей ребру $ BD $, то есть \[ h(D)=h(B)=-10. \] При этом $ |h(D)|=10<12 $ — согласовано с условием, а сама величина $ |h(D)|<12 $ как раз и выделяет этот случай (при $ h(D)>0 $ сечение плоскостью $ \alpha $ выродилось бы в треугольник, и трапеции бы не было). Итак, \[ h(A)=15,\quad h(B)=-10,\quad h(C)=13,\quad h(D)=-10. \] **Площадь сечения как функция высоты.** Пусть теперь $ -100 $ — постоянная, зависящая лишь от формы тетраэдра, но не от $ z $ (множитель $ z+10 $ измеряет «подъём» над ребром $ BD $, множитель $ 335-24z $ линейно убывает к нулю при $ z=\tfrac{335}{24}\approx 13{,}96 $, где трапеция вырождается, проходя через ребро $ AC $). **Отношение площадей.** Сечение плоскостью $ \alpha $ отвечает $ z=0 $, плоскостью $ \beta $ — $ z=5 $: \[ S_\alpha=K\,(0+10)(335-24\cdot 0)=K\cdot 10\cdot 335, \] \[ S_\beta=K\,(5+10)(335-24\cdot 5)=K\cdot 15\cdot 215. \] Постоянная $ K $ сокращается: \[ \frac{S_\beta}{S_\alpha}=\frac{15\cdot 215}{10\cdot 335}=\frac{3225}{3350}=\frac{129}{134}. \] **Проверка условия об объёмах.** Остаётся убедиться, что при найденной конфигурации объём среднего слоя действительно меньше объёмов крайних частей. Прямое вычисление объёмов трёх частей (отношения объёмов не зависят от выбора конкретного представителя тетраэдра с данными высотами) даёт для долей от полного объёма \[ V_{\text{ниж}}:V_{\text{сред}}:V_{\text{верх}}\approx 0{,}377:0{,}307:0{,}316, \] так что средняя часть — наименьшая, как и требуется в условии. Все условия задачи выполнены. **Ответ.** \[ \boxed{\dfrac{S_\beta}{S_\alpha}=\dfrac{129}{134}.} \]41:[["$","script",null,{"id":"collection-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"Course\",\"name\":\"Мехмат МГУ — май 2000\",\"description\":\"Коллекция \\\"Мехмат МГУ — май 2000\\\" для подготовки к экзамену. Содержит 6 задач. Готовьтесь к экзаменам онлайн.\",\"url\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections/mehmat-2000-05\",\"provider\":{\"@type\":\"Organization\",\"name\":\"SdamEx\",\"url\":\"https://sdamex.com\"},\"educationalLevel\":{\"@type\":\"EducationalOccupationalCredential\",\"credentialCategory\":\"ЕГЭ\"},\"hasCourseInstance\":{\"@type\":\"CourseInstance\",\"courseMode\":\"online\"},\"dateCreated\":\"2026-06-10T01:20:00.000Z\"}"}}],["$","script",null,{"id":"breadcrumb-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Математика\",\"item\":\"https://sdamex.com/math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"ДВИ МГУ (математика)\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":3,\"name\":\"Коллекции\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":4,\"name\":\"Мехмат МГУ — май 2000\"}]}"}}],["$","nav",null,{"aria-label":"Хлебные крошки","className":"min-w-0 mb-4","children":["$","ol",null,{"className":"flex flex-wrap items-center gap-x-1 gap-y-0.5 text-xs text-muted-foreground","children":[["$","li","Математика-0",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[false,["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Математика"}]]}],["$","li","ДВИ МГУ (математика)-1",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":[["path",{"d":"m9 18 6-6-6-6","key":"mthhwq"}]],"className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"ДВИ МГУ (математика)"}]]}],["$","li","Коллекции-2",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math/collections","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Коллекции"}]]}],["$","li","Мехмат МГУ — май 2000-3",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","span",null,{"className":"truncate text-foreground/80","aria-current":"page","children":"Мехмат МГУ — май 2000"}]]}]]}]}],["$","$L5a",null,{"subject":"math","examCode":"dvi-math","collectionId":"mehmat-2000-05","serverCollection":{"id":"b7620681-d800-4f8e-acfe-dabed3cd93c4","name":"Мехмат МГУ — май 2000","code":"mehmat-2000-05","collection_type":"system_variant","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","exam_code":"dvi-math","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","hidden_problem_count":0,"session":"05","session_label":"Механико-математический факультет МГУ, Олимпиада «Абитуриент-2000», май","solved_count":0,"source":"Мехмат МГУ (архив, mathus.ru)","source_url":"https://mathus.ru/olymp/mm2000-05.pdf","total_problem_count":6,"variant_batch":"mehmat-1993-2010-v1","visible_problem_count":6,"year":2000},"created_at":"2026-06-10T01:20:00Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem_count":6,"visible_count":6,"total_count":6,"pdf_unlocked":false},"serverCollectionProblems":{"items":[{"problem_id":"b12090c6-aaf8-424b-a328-9a47f1d5303e","collection_id":"b7620681-d800-4f8e-acfe-dabed3cd93c4","display_order":1,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"b12090c6-aaf8-424b-a328-9a47f1d5303e","short_id":18179,"task_number":16,"topic_id":"72c9fcf0-a99f-4128-b5bb-edf7f779b53c","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":6,"content_text":"Решить неравенство\n\\[\\log_{4x^2}x^2\\cdot\\log_{8x^4}x^4\\leqslant 1.\\]","answer_text":"\$\\left(-\\infty;\\,-\\frac{1}{\\sqrt[7]{8}}\\right]\\cup\\left(-\\frac{1}{\\sqrt[4]{8}};\\,-\\frac{1}{2}\\right)\\cup\\left(\\frac{1}{2};\\,\\frac{1}{\\sqrt[4]{8}}\\right)\\cup\\left[\\frac{1}{\\sqrt[7]{8}};\\,+\\infty\\right)\$","answer":"\$\\left(-\\infty;\\,-\\frac{1}{\\sqrt[7]{8}}\\right]\\cup\\left(-\\frac{1}{\\sqrt[4]{8}};\\,-\\frac{1}{2}\\right)\\cup\\left(\\frac{1}{2};\\,\\frac{1}{\\sqrt[4]{8}}\\right)\\cup\\left[\\frac{1}{\\sqrt[7]{8}};\\,+\\infty\\right)\$","solution_text":"$5b","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":1,"session":"05","variant_key":"mm2000-05","year":2000},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"72c9fcf0-a99f-4128-b5bb-edf7f779b53c","name":"Логарифмические неравенства","description":null},"tags":[{"id":"2c55495d-5b54-461b-8a9b-3567966b9d28","code":"tag-40","name":"Метод интервалов"},{"id":"a13da04a-1585-4241-aa6f-14021c064334","code":"tag-145","name":"Неравенства с логарифмами по переменному основанию"},{"id":"f69451d0-02df-42b8-a45e-481a03558513","code":"tag-234","name":"Логарифм произведения, частного, степени"},{"id":"f8cd1720-76a0-43e7-baaf-103633bab77b","code":"tag-238","name":"Логарифмические неравенства"}]}},{"problem_id":"045a0279-c544-4c7b-9805-5aff688a8daa","collection_id":"b7620681-d800-4f8e-acfe-dabed3cd93c4","display_order":2,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"045a0279-c544-4c7b-9805-5aff688a8daa","short_id":18180,"task_number":15,"topic_id":"5bf72e68-cef5-4a81-8dfe-cf05fb3c4112","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":4,"content_text":"Два друга, Ваня и Петя, ходили за грибами. Встретившись перед возвращением домой, они обнаружили, что Ваня нашёл 35 грибов, среди которых было несколько подосиновиков, а Петя грибов не нашёл. Ваня взял себе белые грибы, а остальные отдал Пете. Петя, обнаружив среди них червивый подберёзовик, выкинул его. Сколько было найдено подосиновиков, если доля белых в найденных Ваней грибах оказалась равной доле подосиновиков в принесённых Петей домой грибах?","answer_text":"\$8\$","answer":"\$8\$","solution_text":"$5c","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":2,"session":"05","variant_key":"mm2000-05","year":2000},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"5bf72e68-cef5-4a81-8dfe-cf05fb3c4112","name":"Текстовые задачи","description":null},"tags":[{"id":"65a3834a-5296-4937-b191-2a40d6dcf0d8","code":"tag-91","name":"Задачи на проценты, сплавы и смеси"},{"id":"a2b4e925-7b33-4fc8-aeb6-0a8f03dd4256","code":"tag-147","name":"Дроби, проценты, рациональные числа"},{"id":"a564b21e-7ea8-4bd4-a203-fbb13b2c7d7c","code":"tag-152","name":"Числа и их свойства"}]}},{"problem_id":"03764eb0-9838-443b-ab97-94317e07f5bd","collection_id":"b7620681-d800-4f8e-acfe-dabed3cd93c4","display_order":3,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"03764eb0-9838-443b-ab97-94317e07f5bd","short_id":18181,"task_number":18,"topic_id":"1148d06d-7ecc-4ba9-b2d9-947ac91b9c9d","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":6,"content_text":"Окружность, проходящая через вершины \$B\$, \$C\$ и \$D\$ параллелограмма \$ABCD\$, касается прямой \$AD\$ и пересекает прямую \$AB\$ в точках \$B\$ и \$E\$. Найти длину отрезка \$AE\$, если \$AD=4\$ и \$CE=5\$.","answer_text":"\$\\frac{16}{5}\$","answer":"\$\\frac{16}{5}\$","solution_text":"$5d","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":3,"session":"05","variant_key":"mm2000-05","year":2000},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"1148d06d-7ecc-4ba9-b2d9-947ac91b9c9d","name":"Окружность","description":null},"tags":[{"id":"15278b0a-1f58-4f73-b5f1-a49d59be3929","code":"tag-18","name":"Окружности и четырёхугольники"},{"id":"9cea34fa-faa0-4a81-91ea-1e59dbb45b17","code":"tag-138","name":"Окружности"},{"id":"b633416d-9727-449b-9f79-507d99258444","code":"tag-174","name":"Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат"},{"id":"d3b75ad2-c6a5-4ba6-85c8-0cbefe7f8516","code":"tag-199","name":"Окружность, описанная вокруг треугольника"}]}},{"problem_id":"c291854d-7109-492b-8ace-e485cdd3636f","collection_id":"b7620681-d800-4f8e-acfe-dabed3cd93c4","display_order":4,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"c291854d-7109-492b-8ace-e485cdd3636f","short_id":18182,"task_number":14,"topic_id":"fbd591a9-072b-49ce-a91e-2ef4415a0351","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":5,"content_text":"Найти \$\\dfrac{\\sin(\\alpha+\\gamma)\\sin(\\beta+\\gamma)}{\\cos\\gamma\\cos(\\alpha+\\beta+\\gamma)}\$, если \$\\dfrac{\\sin(\\alpha+\\gamma)\\sin(\\beta+\\gamma)}{\\cos\\alpha\\cos\\beta}=\\dfrac{4}{9}\$.","answer_text":"\$\\frac{4}{5}\$","answer":"\$\\frac{4}{5}\$","solution_text":"$5e","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":4,"session":"05","variant_key":"mm2000-05","year":2000},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"fbd591a9-072b-49ce-a91e-2ef4415a0351","name":"Алгебраические преобразования","description":null},"tags":[{"id":"3d67eb82-f5d0-40c6-936f-4730c9e5b2a7","code":"tag-57","name":"Основные тригонометрические тождества"},{"id":"b44bdba8-2ba0-4cd7-a541-f58966163e08","code":"tag-170","name":"Преобразования тригонометрических выражений"},{"id":"d3ec0e69-d667-41d1-ae0a-a79b81adcdd9","code":"tag-200","name":"Синус, косинус и тангенс суммы и разности двух углов"},{"id":"dcec6e03-173e-4ea7-9b6a-cb935a3bdda5","code":"tag-212","name":"Тригонометрические формулы суммы или разности аргументов"}]}},{"problem_id":"dd8fed89-6eee-485a-baa9-2a75b8ee535f","collection_id":"b7620681-d800-4f8e-acfe-dabed3cd93c4","display_order":5,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"dd8fed89-6eee-485a-baa9-2a75b8ee535f","short_id":18183,"task_number":19,"topic_id":"7ee08b18-18e8-42f5-8ad4-c094688c771d","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":9,"content_text":"Найти все \$a\$, при которых уравнение\n\\[(2a+4)x^2+(5a+10)x+a+10=0\\]\nимеет два корня и между этими корнями расположен ровно один корень уравнения\n\\[(a-1)x^4-(a-1)x^3-(a-7)x^2+(10a+5)x-a+12=0.\\]","answer_text":"\$(-\\infty;\\,-3)\\cup(6;\\,+\\infty)\$","answer":"\$(-\\infty;\\,-3)\\cup(6;\\,+\\infty)\$","solution_text":"$5f","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":5,"session":"05","variant_key":"mm2000-05","year":2000},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"7ee08b18-18e8-42f5-8ad4-c094688c771d","name":"Задачи с параметрами","description":null},"tags":[{"id":"0d415d8d-9948-4dac-b334-754c0dd54013","code":"tag-9","name":"Расположение корней квадратного трехчлена"},{"id":"6290f0c5-88f2-4a2d-b8e3-fbfd7f4dcd63","code":"tag-88","name":"Уравнения высших степеней"},{"id":"63383330-9060-4445-8f93-c53c52a03571","code":"tag-89","name":"Уравнения с параметром"},{"id":"aa6e8219-4309-468c-bb4a-3b6f64ef9c5e","code":"tag-157","name":"Системы с параметром"}]}},{"problem_id":"be7db093-3e0c-4c87-bcb2-c800b961b9f8","collection_id":"b7620681-d800-4f8e-acfe-dabed3cd93c4","display_order":6,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"be7db093-3e0c-4c87-bcb2-c800b961b9f8","short_id":18184,"task_number":20,"topic_id":"ff580604-591d-4621-bd18-2997cb5ee2a4","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":8,"content_text":"Параллельные плоскости \$\\alpha\$ и \$\\beta\$ делят тетраэдр \$ABCD\$ на три части так, что объём средней части меньше объёмов каждой из крайних частей. Расстояния от точек \$A\$ и \$B\$ до плоскости \$\\alpha\$ равны 15 и 10 соответственно. Расстояния от точек \$A\$ и \$C\$ до плоскости \$\\beta\$ равны 10 и 8 соответственно. Найти отношение площадей сечений тетраэдра плоскостями \$\\alpha\$ и \$\\beta\$, если известно, что одно из этих сечений — трапеция, а расстояние от точки \$D\$ до плоскости \$\\alpha\$ меньше 12.","answer_text":"\$\\frac{129}{134}\$","answer":"\$\\frac{129}{134}\$","solution_text":"$60","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":6,"session":"05","variant_key":"mm2000-05","year":2000},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"ff580604-591d-4621-bd18-2997cb5ee2a4","name":"Многогранники","description":null},"tags":[{"id":"15da41c2-bd2d-46d6-8143-c3bef8efc547","code":"tag-21","name":"Сечение трапеция"},{"id":"a5d2df2e-01c6-46dd-8b36-c0f1bc1b9a11","code":"tag-153","name":"Площадь сечения"},{"id":"adb080da-d269-4b77-8b36-2e33ae3edb83","code":"tag-162","name":"Тетраэдр"},{"id":"b0e3aecc-e273-45ab-8c5b-a1e454b74ba1","code":"tag-166","name":"Параллельность плоскостей"}]}}],"total":6},"serverExams":[{"id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","code":"dvi-math","name":"ДВИ МГУ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"1aed6121-06cc-4a5a-87f5-77de484ebb36","program_code":"dvi","exam_type":"ДВИ","description":"Дополнительное вступительное испытание МГУ им. М.В. Ломоносова по математике. С 2026 года экзамен состоит из двух частей: лёгкий тест с кратким ответом и традиционная письменная часть с полным решением.","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-07-11","metadata":{"duration_minutes":180,"max_secondary_score":100,"mock_exam_enabled":true,"part2_tasks":6,"parts":[{"answer_format":"detailed","part":1,"scale":"linear","slots_in_variant":10,"tasks":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13],"weight":30},{"answer_format":"detailed","part":2,"scale":"score_conversion","slots_in_variant":6,"tasks":[14,15,16,17,18,19,20],"weight":70}],"score_conversion":[2,30,30,35,35,35,35,35,40,40,40,40,40,45,45,45,45,45,50,50,50,50,50,55,55,55,55,55,60,60,60,60,60,65,65,65,65,65,70,70,70,70,70,75,75,75,75,75,80,80,80,80,80,85,85,85,85,85,90,90,90,90,90,95,95,95,95,95,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":10,"15":10,"16":10,"17":10,"18":10,"19":10,"20":10},"structure_2026":{"consultation_video_url":"https://disk.360.yandex.ru/d/NbP139HUZpCPDA","exam_2026":{"exam_date":"2026-07-11","note":"Реальный основной день; в образце Ш12622 тест был из 15 задач.","test_task_count":10,"written_task_count":6},"exam_portal":"https://exam.msu.ru/","official_exam_page":"https://cpk.msu.ru/exam/101","parts":["base","written"],"test_task_count":15},"task_count":7,"task_numbering":"part_relative","year":2026},"created_at":"2026-06-10T20:49:34.08312Z","updated_at":"2026-09-01T00:33:23.788959Z","problem_count":1008,"theory_count":36,"system_collection_count":190},{"id":"3a8471c5-2a11-4932-ba3e-7ab7d1ae7a1d","code":"ege-base","name":"Математика (база) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_base","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Базовый ЕГЭ по математике для получения аттестата","has_part2":false,"max_task_number":21,"exam_date":"2026-06-04","metadata":{"duration_minutes":180,"max_score":21,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":21,"part2_tasks":0,"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":1,"21":1},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","problem_count":8561,"theory_count":85,"system_collection_count":111},{"id":"23f00ba7-bd19-4ca8-9349-5134d88397cf","code":"ege-prof","name":"Математика (профиль) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_prof","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Профильный ЕГЭ по математике для поступающих в технические вузы","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-06-08","metadata":{"duration_minutes":235,"max_score":33,"max_secondary_score":100,"max_task_number":20,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":13,"part2_tasks":7,"score_conversion":[0,6,11,17,22,27,34,40,46,52,58,64,70,72,74,76,78,80,82,84,86,88,90,92,94,95,96,97,98,99,100,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":2,"15":3,"16":2,"17":2,"18":3,"19":4,"20":4},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2026-08-30T23:51:20.728833Z","problem_count":2491,"theory_count":123,"system_collection_count":255},{"id":"b0db9506-ddcf-4200-8815-7a709ea0dc4e","code":"oge-math","name":"ОГЭ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"ff8f63b8-bfcc-47f3-9d55-bc666ee30237","program_code":"oge","exam_type":"ОГЭ","description":"Основной государственный экзамен по математике (9 класс): 25 заданий, 235 минут. Часть 1 — задания 1-19 с кратким ответом (1 балл), часть 2 — задания 20-25 с развёрнутым ответом (2 балла). Максимум 31 первичный балл, итоговая отметка 2-5.","has_part2":true,"max_task_number":25,"metadata":{"duration_minutes":235,"geometry_min_points":2,"geometry_min_points_note":"Для отметки выше 2 необходимо >=2 первичных баллов за геометрию (задания 15-19, 23-25); кодируется в скоринге пробника через geometry_tasks + geometry_min_points (0423)","geometry_tasks":[15,16,17,18,19,23,24,25],"hidden":false,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":19,"part2_tasks":[20,21,22,23,24,25],"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":2,"21":2,"22":2,"23":2,"24":2,"25":2},"task_count":25,"year":2026},"created_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","updated_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","problem_count":2181,"theory_count":104,"system_collection_count":89}]}]]