Задача №18180

Два друга, Ваня и Петя, ходили за грибами. Встретившись перед возвращением домой, они обнаружили, что Ваня нашёл 35 грибов, среди которых было несколько подосиновиков, а Петя грибов не нашёл. Ваня взял себе белые грибы, а остальные отдал Пете. Петя, обнаружив среди них червивый подберёзовик, выкинул его. Сколько было найдено подосиновиков, если доля белых в найденных Ваней грибах оказалась равной доле подосиновиков в принесённых Петей домой грибах?

Разберём, что произошло с грибами, и введём обозначения.

Ваня нашёл всего $35$ грибов. Среди них есть белые, которые он забрал себе, и «остальные» (в том числе все подосиновики), которые он отдал Пете.

Обозначим:

• $b$ — число белых грибов у Вани (их хотя бы один, так как сказано «Ваня взял себе белые грибы», то есть $b\ge 1$);
• $p$ — число подосиновиков (по условию их «несколько», то есть $p\ge 2$).

Подсчитаем, что попало к Пете и что он принёс домой. Ваня отдал Пете все грибы, кроме белых, то есть

Среди них Петя нашёл один червивый подберёзовик и выбросил его. Значит, домой Петя принёс

Подосиновики не являются ни белыми (их забрал Ваня), ни тем выброшенным подберёзовиком, поэтому все $p$ подосиновиков уцелели и вошли в число принесённых Петей домой грибов.

Теперь запишем условие задачи. Доля белых среди найденных Ваней грибов равна $\frac{b}{35}\text{;}$ доля подосиновиков среди принесённых Петей домой грибов равна $\frac{p}{34-b}\text{.}$ По условию эти доли равны:

Отсюда, перемножив крест-накрест, получаем

Число $p$ должно быть целым, причём с учётом смысла задачи должны выполняться ограничения

(последнее — потому что подосиновики составляют часть принесённых Петей домой грибов; кроме того, к Пете должен был попасть ещё и выброшенный подберёзовик, что даёт $35-b\ge p+1$).

Найдём, при каких целых $b$ дробь $\frac{b(34-b)}{35}$ целая. Так как $35=5\cdot 7\text{,}$ нужно, чтобы произведение $b(34-b)$ делилось на $35\text{.}$ Перебирая $b$ от $0$ до $35\text{,}$ получаем, что $35\mid b(34-b)$ лишь при

чему соответствуют значения

Отсеем недопустимые случаи. Значения $b=0$ и $b=34$ дают $p=0\text{,}$ что противоречит условию «несколько подосиновиков» ($p\ge 2$); к тому же при $b=0$ у Вани нет белых, а при $b=34$ Петя приносит домой $0$ грибов. Значение $b=35$ даёт отрицательное $p$ и означало бы, что Ваня вообще ничего не отдал Пете, — это невозможно. Остаются только

Проверим, что оба варианта осмысленны:

• при $b=14\text{:}$ Пете отдано $35-14=21$ гриб, домой принесено $34-14=20\text{,}$ из них $8$ подосиновиков и ещё $12$ прочих грибов; доли: $\frac{14}{35}=\frac{8}{20}=0,4\text{;}$
• при $b=20\text{:}$ Пете отдано $35-20=15$ грибов, домой принесено $34-20=14\text{,}$ из них $8$ подосиновиков и ещё $6$ прочих; доли: $\frac{20}{35}=\frac{8}{14}=\frac{4}{7}\text{.}$

В обоих допустимых случаях число подосиновиков одно и то же. Тем самым, хотя число белых грибов условием однозначно не определяется, число найденных подосиновиков определяется однозначно:

(Геометрически это видно из того, что $p=\frac{b(34-b)}{35}$ — парабола с вершиной при $b=17\text{,}$ где $p=\frac{17^2}{35}\approx 8,26\text{;}$ поэтому наибольшее возможное целое значение $p$ равно $8\text{,}$ и обе допустимые точки $b=14$ и $b=20\text{,}$ симметричные относительно вершины, дают именно $8\text{.}$)