Два друга, Ваня и Петя, ходили за грибами. Встретившись перед возвращением домой, они обнаружили, что Ваня нашёл 35 грибов, среди которых было несколько подосиновиков, а Петя грибов не нашёл. Ваня взял себе белые грибы, а остальные отдал Пете. Петя, обнаружив среди них червивый подберёзовик, выкинул его. Сколько было найдено подосиновиков, если доля белых в найденных Ваней грибах оказалась равной доле подосиновиков в принесённых Петей домой грибах?

Разберём, что произошло с грибами, и введём обозначения. Ваня нашёл всего 35 грибов. Среди них есть белые, которые он забрал себе, и «остальные» (в том числе все подосиновики), которые он отдал Пете. Обозначим: - b — число белых грибов у Вани (их хотя бы один, так как сказано «Ваня взял себе белые грибы», то есть b>= 1); - p — число подосиновиков (по условию их «несколько», то есть p>= 2). Подсчитаем, что попало к Пете и что он принёс домой. Ваня отдал Пете все грибы, кроме белых, то есть 35-b грибов. Среди них Петя нашёл один червивый подберёзовик и выбросил его. Значит, домой Петя принёс (35-b)-1=34-b грибов. Подосиновики не являются ни белыми (их забрал Ваня), ни тем выброшенным подберёзовиком, поэтому все p подосиновиков уцелели и вошли в число принесённых Петей домой грибов. Теперь запишем условие задачи. Доля белых среди найденных Ваней грибов равна (b)/(35); доля подосиновиков среди принесённых Петей домой грибов равна (p)/(34-b). По условию эти доли равны: (b)/(35)=(p)/(34-b). Отсюда, перемножив крест-накрест, получаем b(34-b)=35p, то есть p=(b(34-b))/(35). Число p должно быть целым, причём с учётом смысла задачи должны выполняться ограничения 1<= b, p>= 2, p<= 34-b (последнее — потому что подосиновики составляют часть принесённых Петей домой грибов; кроме того, к Пете должен был попасть ещё и выброшенный подберёзовик, что даёт 35-b>= p+1). Найдём, при каких целых b дробь (b(34-b))/(35) целая. Так как 35=5* 7, нужно, чтобы произведение b(34-b) делилось на 35. Перебирая b от 0 до 35, получаем, что 35 b(34-b) лишь при b=0, b=14, b=20, b=34, b=35, чему соответствуют значения b=0=> p=0, b=14=> p=8, b=20=> p=8, b=34=> p=0, b=35=> p=-1. Отсеем недопустимые случаи. Значения b=0 и b=34 дают p=0, что противоречит условию «несколько подосиновиков» (p>= 2); к тому же при b=0 у Вани нет белых, а при b=34 Петя приносит домой 0 грибов. Значение b=35 даёт отрицательное p и означало бы, что Ваня вообще ничего не отдал Пете, — это невозможно. Остаются только b=14, p=8 и b=20, p=8. Проверим, что оба варианта осмысленны: - при b=14: Пете отдано 35-14=21 гриб, домой принесено 34-14=20, из них 8 подосиновиков и ещё 12 прочих грибов; доли: (14)/(35)=(8)/(20)=0,4; - при b=20: Пете отдано 35-20=15 грибов, домой принесено 34-20=14, из них 8 подосиновиков и ещё 6 прочих; доли: (20)/(35)=(8)/(14)=(4)/(7). В обоих допустимых случаях число подосиновиков одно и то же. Тем самым, хотя число белых грибов условием однозначно не определяется, число найденных подосиновиков определяется однозначно: p=8. (Геометрически это видно из того, что p=(b(34-b))/(35) — парабола с вершиной при b=17, где p=(17^2)/(35)~ 8,26; поэтому наибольшее возможное целое значение p равно 8, и обе допустимые точки b=14 и b=20, симметричные относительно вершины, дают именно 8.)

\(8\)