Найти (sin(alpha+gamma)sin(beta+gamma))/((alpha+beta+gamma)), если (sin(alpha+gamma)sin(beta+gamma))/()=(4)/(9).

Обозначим для краткости числитель обеих дробей через N=sin(alpha+gamma)sin(beta+gamma). Тогда условие задачи записывается как (N)/()=(4)/(9), а найти требуется величину (N)/((alpha+beta+gamma)). **Ключевое тождество.** Покажем, что знаменатели двух дробей отличаются ровно на числитель N, то есть -(alpha+beta+gamma)=sin(alpha+gamma)sin(beta+gamma). Все три произведения преобразуем по формулам произведения тригонометрических функций в сумму. Для первого произведения =12[cos(alpha-beta)+cos(alpha+beta)]. Для второго произведения, полагая, что аргументы дают сумму gamma+(alpha+beta+gamma)=alpha+beta+2gamma и разность gamma-(alpha+beta+gamma)=-(alpha+beta) (а косинус чётен), получаем (alpha+beta+gamma)=12[cos(alpha+beta+2gamma)+cos(alpha+beta)]. Вычитая, видим, что слагаемые с cos(alpha+beta) взаимно уничтожаются: -(alpha+beta+gamma) =12[cos(alpha-beta)-cos(alpha+beta+2gamma)]. Осталось узнать в правой части числитель N. По формуле произведения синусов sin(alpha+gamma)sin(beta+gamma) =12[cos((alpha+gamma)-(beta+gamma))-cos((alpha+gamma)+(beta+gamma))] =12[cos(alpha-beta)-cos(alpha+beta+2gamma)]. Правые части двух последних равенств совпадают, поэтому -(alpha+beta+gamma)=N, что и доказывает заявленное тождество. **Завершение.** Из тождества выразим второй знаменатель через первый: (alpha+beta+gamma)=-N. Тем самым искомое выражение равно (N)/((alpha+beta+gamma))=(N)/(-N). Разделим числитель и знаменатель последней дроби на (это допустимо, так как по условию дробь (N)/()=49 определена, значит 0): (N)/(-N) =((N)/())/(1-(N)/()). Подставляя данное значение (N)/()=49, получаем (49)/(1-49)=(49)/(59)=(4)/(5). Заметим, что выражение, которое требуется найти, корректно определено: его знаменатель равен -N=(1-49)=590, поскольку 0. **Ответ:** (4)/(5).

\(\frac{4}{5}\)