Задача №18182

Найти $\frac{\sin (\alpha +\gamma )\sin (\beta +\gamma )}{\cos \gamma \cos (\alpha +\beta +\gamma )}\text{,}$ если $\frac{\sin (\alpha +\gamma )\sin (\beta +\gamma )}{\cos \alpha \cos \beta }=\frac{4}{9}\text{.}$

Обозначим для краткости числитель обеих дробей через

Тогда условие задачи записывается как

а найти требуется величину

Ключевое тождество. Покажем, что знаменатели двух дробей отличаются ровно на числитель $N\text{,}$ то есть

Все три произведения преобразуем по формулам произведения тригонометрических функций в сумму.

Для первого произведения

Для второго произведения, полагая, что аргументы дают сумму $\gamma +(\alpha +\beta +\gamma )=\alpha +\beta +2\gamma$ и разность $\gamma -(\alpha +\beta +\gamma )=-(\alpha +\beta )$ (а косинус чётен), получаем

Вычитая, видим, что слагаемые с $\cos (\alpha +\beta )$ взаимно уничтожаются:

Осталось узнать в правой части числитель $N\text{.}$ По формуле произведения синусов

Правые части двух последних равенств совпадают, поэтому

что и доказывает заявленное тождество.

Завершение. Из тождества выразим второй знаменатель через первый:

Тем самым искомое выражение равно

Разделим числитель и знаменатель последней дроби на $\cos \alpha \cos \beta$ (это допустимо, так как по условию дробь $\frac{N}{\cos \alpha \cos \beta }=\frac{4}{9}$ определена, значит $\cos \alpha \cos \beta \ne 0$):

Подставляя данное значение $\frac{N}{\cos \alpha \cos \beta }=\frac{4}{9}\text{,}$ получаем

Заметим, что выражение, которое требуется найти, корректно определено: его знаменатель равен $\cos \alpha \cos \beta -N=\cos \alpha \cos \beta (1-\frac{4}{9})=\frac{5}{9}\cos \alpha \cos \beta \ne 0\text{,}$ поскольку $\cos \alpha \cos \beta \ne 0\text{.}$

Ответ: $\frac{4}{5}\text{.}$