Найти все a, при которых уравнение (2a+4)x^2+(5a+10)x+a+10=0 имеет два корня и между этими корнями расположен ровно один корень уравнения (a-1)x^4-(a-1)x^3-(a-7)x^2+(10a+5)x-a+12=0.

Обозначим левые части уравнений Q(x)=(2a+4)x^2+(5a+10)x+(a+10), P(x)=(a-1)x^4-(a-1)x^3-(a-7)x^2+(10a+5)x-a+12. Пусть x_1<x_2 — корни квадратного уравнения Q(x)=0. Требуется, чтобы это уравнение имело два различных корня и чтобы на интервале (x_1;x_2) лежал ровно один корень уравнения P(x)=0. **Шаг 1. Когда Q имеет два различных действительных корня.** Старший коэффициент 2a+4 должен быть отличен от нуля, то есть a!=-2 (иначе уравнение не квадратное). Дискриминант D=(5a+10)^2-4(2a+4)(a+10)=25a^2+100a+100-8a^2-96a-160=17a^2+4a-60=(a+2)(17a-30). Условие D>0 даёт (a+2)(17a-30)>0, то есть a<-2 или a>(30)/(17). При этом автоматически a!=-2. Итак, два различных корня существуют в точности при ain(-inf;-2)U((30)/(17);+inf). **Шаг 2. Критерий "ровно один корень P между x_1 и x_2".** Многочлен P непрерывен. Если P(x_1) и P(x_2) имеют разные знаки, то на интервале (x_1;x_2) лежит нечётное число корней P (с учётом смены знака), а если знаки совпадают (и ни один корень не попал на концы) — чётное число. Покажем, что в нашей задаче "нечётное" означает именно "ровно один". Корень P может перейти через конец x_1 или x_2 (изменив тем самым число корней внутри) только тогда, когда у P и Q есть общий корень. Общие корни существуют лишь при обращении в нуль результанта Res_x(Q,P)=-512(a-6)(a-1)^2(a+3)^3, то есть при ain-3;1;6. Значение a=1 не входит в область из Шага 1 (там Q имеет комплексные корни), значит на каждом из промежутков, не содержащих точек -3 и 6, число корней P внутри (x_1;x_2) постоянно. Прямая проверка по одному значению на каждом промежутке показывает, что это число равно 1 при a<-3 и при a>6, равно 2 при -3<a<-2 и равно 0 при (30)/(17)<a<6; тройка корней внутри не встречается. Поэтому условие "ровно один корень" равносильно условию P(x_1)* P(x_2)<0. **Шаг 3. Вычисление произведения P(x_1)P(x_2).** По теореме Виета для Q: x_1+x_2=-(5a+10)/(2a+4)=-(5)/(2), x_1x_2=(a+10)/(2a+4) (сумма корней не зависит от a, так как (5a+10)/(2a+4)=(5(a+2))/(2(a+2))=(5)/(2)). Выражение P(x_1)P(x_2) симметрично относительно x_1,x_2, поэтому выражается через x_1+x_2 и x_1x_2. Подставив значения Виеты и упростив, получаем замкнутую формулу P(x_1)P(x_2)=(-32(a-6)(a-1)^2(a+3)^3)/((a+2)^4). (Эта же формула получается как Res_x(Q,P)/(2a+4)^4.) **Шаг 4. Знак произведения.** Знаменатель (a+2)^4>0 при a!=-2; множитель (a-1)^20 (равен нулю лишь при a=1, не входящем в область). Поэтому sign(P(x_1)P(x_2))=-sign((a-6)(a+3)). Неравенство P(x_1)P(x_2)<0 равносильно (a-6)(a+3)>0, то есть a<-3 или a>6. **Шаг 5. Пересечение с областью существования двух корней.** Условие a<-3 лежит внутри (-inf;-2), а условие a>6 — внутри ((30)/(17);+inf), поэтому требование Шага 1 выполняется автоматически. Граничные значения исключаются: при a=-3 и при a=6 выполнено P(x_1)P(x_2)=0, то есть один из корней P совпадает с концом интервала (при a=-3 общий корень x=1=x_2, при a=6 общий корень x=-2=x_1), а строго внутри интервала нужного "ровно одного" корня в смысле критерия уже нет (при a=6 внутри вовсе нет корней P). Эти точки в ответ не входят. **Ответ.** ain(-inf;-3)U(6;+inf).

\((-\infty;\,-3)\cup(6;\,+\infty)\)