Задача №18183

Найти все $a\text{,}$ при которых уравнение

$$(2a+4)x^2+(5a+10)x+a+10=0$$

имеет два корня и между этими корнями расположен ровно один корень уравнения

$$(a-1)x^4-(a-1)x^3-(a-7)x^2+(10a+5)x-a+12=0.$$

Обозначим левые части уравнений

$$Q(x)=(2a+4)x^2+(5a+10)x+(a+10),P(x)=(a-1)x^4-(a-1)x^3-(a-7)x^2+(10a+5)x-a+12.$$

Пусть $x_1<x_2$ — корни квадратного уравнения $Q(x)=0\text{.}$ Требуется, чтобы это уравнение имело два различных корня и чтобы на интервале $(x_1;x_2)$ лежал ровно один корень уравнения $P(x)=0\text{.}$

Шаг 1. Когда $Q$ имеет два различных действительных корня.

Старший коэффициент $2a+4$ должен быть отличен от нуля, то есть $a\ne -2$ (иначе уравнение не квадратное). Дискриминант

$$D=(5a+10{)}^2-4(2a+4)(a+10)=25a^2+100a+100-8a^2-96a-160=17a^2+4a-60=(a+2)(17a-30).$$

Условие $D>0$ даёт $(a+2)(17a-30)>0\text{,}$ то есть

$$a<-2\text{или}a>\frac{30}{17}.$$

При этом автоматически $a\ne -2\text{.}$ Итак, два различных корня существуют в точности при $a\in (-\infty ;-2)\cup \left(\frac{30}{17};+\infty \right)\text{.}$

Шаг 2. Критерий "ровно один корень $P$ между $x_1$ и $x_2$".

Многочлен $P$ непрерывен. Если $P(x_1)$ и $P(x_2)$ имеют разные знаки, то на интервале $(x_1;x_2)$ лежит нечётное число корней $P$ (с учётом смены знака), а если знаки совпадают (и ни один корень не попал на концы) — чётное число. Покажем, что в нашей задаче "нечётное" означает именно "ровно один". Корень $P$ может перейти через конец $x_1$ или $x_2$ (изменив тем самым число корней внутри) только тогда, когда у $P$ и $Q$ есть общий корень. Общие корни существуют лишь при обращении в нуль результанта

$${\mathrm{Res}}_x(Q,P)=-512(a-6)(a-1{)}^2(a+3{)}^3,$$

то есть при $a\in \{-3;1;6\}\text{.}$ Значение $a=1$ не входит в область из Шага 1 (там $Q$ имеет комплексные корни), значит на каждом из промежутков, не содержащих точек $-3$ и $6\text{,}$ число корней $P$ внутри $(x_1;x_2)$ постоянно. Прямая проверка по одному значению на каждом промежутке показывает, что это число равно $1$ при $a<-3$ и при $a>6\text{,}$ равно $2$ при $-3<a<-2$ и равно $0$ при $\frac{30}{17}<a<6\text{;}$ тройка корней внутри не встречается. Поэтому условие "ровно один корень" равносильно условию

$$P(x_1)\cdot P(x_2)<0.$$

Шаг 3. Вычисление произведения $P(x_1)P(x_2)\text{.}$

По теореме Виета для $Q\text{:}$

$$x_1+x_2=-\frac{5a+10}{2a+4}=-\frac{5}{2},x_1{x}_2=\frac{a+10}{2a+4}$$

(сумма корней не зависит от $a\text{,}$ так как $\frac{5a+10}{2a+4}=\frac{5(a+2)}{2(a+2)}=\frac{5}{2}$). Выражение $P(x_1)P(x_2)$ симметрично относительно $x_1,x_2\text{,}$ поэтому выражается через $x_1+x_2$ и $x_1{x}_2\text{.}$ Подставив значения Виеты и упростив, получаем замкнутую формулу

$$P(x_1)P(x_2)=\frac{-32(a-6)(a-1{)}^2(a+3{)}^3}{(a+2{)}^4}.$$

(Эта же формула получается как ${\mathrm{Res}}_x(Q,P)/(2a+4{)}^4\text{.}$)

Шаг 4. Знак произведения.

Знаменатель $(a+2{)}^4>0$ при $a\ne -2\text{;}$ множитель $(a-1{)}^2⩾0$ (равен нулю лишь при $a=1\text{,}$ не входящем в область). Поэтому

$$\mathrm{sign}(P(x_1)P(x_2))=-\mathrm{sign}((a-6)(a+3)).$$

Неравенство $P(x_1)P(x_2)<0$ равносильно $(a-6)(a+3)>0\text{,}$ то есть

$$a<-3\text{или}a>6.$$

Шаг 5. Пересечение с областью существования двух корней.

Условие $a<-3$ лежит внутри $(-\infty ;-2)\text{,}$ а условие $a>6$ — внутри $\left(\frac{30}{17};+\infty \right)\text{,}$ поэтому требование Шага 1 выполняется автоматически. Граничные значения исключаются: при $a=-3$ и при $a=6$ выполнено $P(x_1)P(x_2)=0\text{,}$ то есть один из корней $P$ совпадает с концом интервала (при $a=-3$ общий корень $x=1=x_2\text{,}$ при $a=6$ общий корень $x=-2=x_1$), а строго внутри интервала нужного "ровно одного" корня в смысле критерия уже нет (при $a=6$ внутри вовсе нет корней $P$). Эти точки в ответ не входят.

Ответ.

$$\boxed{a\in (-\infty ;-3)\cup (6;+\infty )}.$$