Параллельные плоскости alpha и beta делят тетраэдр ABCD на три части так, что объём средней части меньше объёмов каждой из крайних частей. Расстояния от точек A и B до плоскости alpha равны 15 и 10 соответственно. Расстояния от точек A и C до плоскости beta равны 10 и 8 соответственно. Найти отношение площадей сечений тетраэдра плоскостями alpha и beta, если известно, что одно из этих сечений — трапеция, а расстояние от точки D до плоскости alpha меньше 12.

Введём ось h , направленную по общему перпендикуляру к параллельным плоскостям alpha и beta ; для каждой точки h(X) — её координата (со знаком) вдоль этой оси, так что расстояние от точки до плоскости уровня h=c равно |h(X)-c| . Совместим начало отсчёта с плоскостью alpha , то есть положим уравнение alpha в виде h=0 , а уравнение beta в виде h=t . **Расположение вершин по высоте.** Расстояния от A и B до alpha равны 15 и 10, значит |h(A)|=15 , |h(B)|=10 . Так как alpha и beta делят тетраэдр на три части, обе плоскости пересекают его внутренность. Возьмём h(A)=15, h(B)=-10 (вершины A и B лежат по разные стороны от alpha ; ориентацию оси выбрали так, чтобы A была выше). Тогда h(A)-t=10 даёт расстояние от A до beta , откуда t=h(A)-10=5, то есть beta: h=5 и толщина среднего слоя равна 5. Наконец, расстояние от C до beta равно 8; так как нам нужна непустая «верхняя» часть, положим C над beta : h(C)=t+8=13. Про вершину D пока известно лишь, что |h(D)|<12 . **Тип сечений.** Плоскость уровня h=z пересекает тетраэдр по треугольнику, если она отделяет одну вершину от трёх, и по четырёхугольнику, если отделяет две вершины от двух. По условию хотя бы одно сечение — трапеция, то есть четырёхугольник; значит соответствующая плоскость отделяет две вершины от двух. У нас выше уровня h=5 уже лежат A(15) и C(13) , ниже уровня h=0 лежит B(-10) . Если поместить D ниже alpha (т.е. h(D)<0 ), то обе плоскости отделяют пару B,D (внизу) от пары A,C (наверху), и оба сечения — четырёхугольники, пересекающие рёбра BA, BC, DA, DC . **Условие «трапеция» фиксирует положение D .** Четырёхугольное сечение, отделяющее B,D от A,C , является трапецией тогда и только тогда, когда секущая плоскость параллельна одному из «несекомых» противоположных рёбер BD или AC . Ребро AC не горизонтально ( h(A)=1513=h(C) ), поэтому остаётся условие параллельности плоскостей ребру BD , то есть h(D)=h(B)=-10. При этом |h(D)|=10<12 — согласовано с условием, а сама величина |h(D)|<12 как раз и выделяет этот случай (при h(D)>0 сечение плоскостью alpha выродилось бы в треугольник, и трапеции бы не было). Итак, h(A)=15, h(B)=-10, h(C)=13, h(D)=-10. **Площадь сечения как функция высоты.** Пусть теперь -10<z<13 . Секущая плоскость h=z пересекает рёбра BA, DA в точках, делящих их в одном и том же отношении u=(z-(-10))/(15-(-10))=(z+10)/(25) (от B и от D к A ), а рёбра BC, DC — в отношении w=(z-(-10))/(13-(-10))=(z+10)/(23). Обозначим P_(BA),P_(DA),P_(BC),P_(DC) соответствующие точки. Так как BD горизонтально, P_(BA)P_(DA)=(1-u)BD, P_(BC)P_(DC)=(1-w)BD, то есть две стороны сечения параллельны BD и имеют длины, пропорциональные (1-u) и (1-w) . Это и есть трапеция. Прямой подсчёт её площади (площадь сечения тетраэдра — кусочно-квадратичная функция высоты, а на участке постоянного набора пересекаемых рёбер — ровно квадратичная) даёт S(z)=K(z+10)(335-24z), где K>0 — постоянная, зависящая лишь от формы тетраэдра, но не от z (множитель z+10 измеряет «подъём» над ребром BD , множитель 335-24z линейно убывает к нулю при z=(335)/(24)~ 13,96 , где трапеция вырождается, проходя через ребро AC ). **Отношение площадей.** Сечение плоскостью alpha отвечает z=0 , плоскостью beta — z=5 : S_alpha=K(0+10)(335-24* 0)=K* 10* 335, S_beta=K(5+10)(335-24* 5)=K* 15* 215. Постоянная K сокращается: (S_beta)/(S_alpha)=(15* 215)/(10* 335)=(3225)/(3350)=(129)/(134). **Проверка условия об объёмах.** Остаётся убедиться, что при найденной конфигурации объём среднего слоя действительно меньше объёмов крайних частей. Прямое вычисление объёмов трёх частей (отношения объёмов не зависят от выбора конкретного представителя тетраэдра с данными высотами) даёт для долей от полного объёма V_(ниж):V_(сред):V_(верх)~ 0,377:0,307:0,316, так что средняя часть — наименьшая, как и требуется в условии. Все условия задачи выполнены. **Ответ.** (S_beta)/(S_alpha)=(129)/(134).

\(\frac{129}{134}\)