Задача №18184

Параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$ делят тетраэдр $ABCD$ на три части так, что объём средней части меньше объёмов каждой из крайних частей. Расстояния от точек $A$ и $B$ до плоскости $\alpha$ равны 15 и 10 соответственно. Расстояния от точек $A$ и $C$ до плоскости $\beta$ равны 10 и 8 соответственно. Найти отношение площадей сечений тетраэдра плоскостями $\alpha$ и $\beta \text{,}$ если известно, что одно из этих сечений — трапеция, а расстояние от точки $D$ до плоскости $\alpha$ меньше 12.

Введём ось $h\text{,}$ направленную по общему перпендикуляру к параллельным плоскостям $\alpha$ и $\beta \text{;}$ для каждой точки $h(X)$ — её координата (со знаком) вдоль этой оси, так что расстояние от точки до плоскости уровня $h=c$ равно $|h(X)-c|\text{.}$ Совместим начало отсчёта с плоскостью $\alpha \text{,}$ то есть положим уравнение $\alpha$ в виде $h=0\text{,}$ а уравнение $\beta$ в виде $h=t\text{.}$

Расположение вершин по высоте. Расстояния от $A$ и $B$ до $\alpha$ равны $15$ и $10\text{,}$ значит $|h(A)|=15\text{,}$ $|h(B)|=10\text{.}$ Так как $\alpha$ и $\beta$ делят тетраэдр на три части, обе плоскости пересекают его внутренность. Возьмём

(вершины $A$ и $B$ лежат по разные стороны от $\alpha \text{;}$ ориентацию оси выбрали так, чтобы $A$ была выше). Тогда $h(A)-t=10$ даёт расстояние от $A$ до $\beta \text{,}$ откуда

то есть $\beta :h=5$ и толщина среднего слоя равна $5\text{.}$ Наконец, расстояние от $C$ до $\beta$ равно $8\text{;}$ так как нам нужна непустая «верхняя» часть, положим $C$ над $\beta \text{:}$

Про вершину $D$ пока известно лишь, что $|h(D)|<12\text{.}$

Тип сечений. Плоскость уровня $h=z$ пересекает тетраэдр по треугольнику, если она отделяет одну вершину от трёх, и по четырёхугольнику, если отделяет две вершины от двух. По условию хотя бы одно сечение — трапеция, то есть четырёхугольник; значит соответствующая плоскость отделяет две вершины от двух. У нас выше уровня $h=5$ уже лежат $A(15)$ и $C(13)\text{,}$ ниже уровня $h=0$ лежит $B(-10)\text{.}$ Если поместить $D$ ниже $\alpha$ (т.е. $h(D)<0$), то обе плоскости отделяют пару $\{B,D\}$ (внизу) от пары $\{A,C\}$ (наверху), и оба сечения — четырёхугольники, пересекающие рёбра $BA,BC,DA,DC\text{.}$

Условие «трапеция» фиксирует положение $D\text{.}$ Четырёхугольное сечение, отделяющее $\{B,D\}$ от $\{A,C\}\text{,}$ является трапецией тогда и только тогда, когда секущая плоскость параллельна одному из «несекомых» противоположных рёбер $BD$ или $AC\text{.}$ Ребро $AC$ не горизонтально ($h(A)=15\ne 13=h(C)$), поэтому остаётся условие параллельности плоскостей ребру $BD\text{,}$ то есть

При этом $|h(D)|=10<12$ — согласовано с условием, а сама величина $|h(D)|<12$ как раз и выделяет этот случай (при $h(D)>0$ сечение плоскостью $\alpha$ выродилось бы в треугольник, и трапеции бы не было). Итак,

Площадь сечения как функция высоты. Пусть теперь $-10<z<13\text{.}$ Секущая плоскость $h=z$ пересекает рёбра $BA,DA$ в точках, делящих их в одном и том же отношении

(от $B$ и от $D$ к $A$), а рёбра $BC,DC$ — в отношении

Обозначим $P_{BA},P_{DA},P_{BC},P_{DC}$ соответствующие точки. Так как $BD$ горизонтально,

то есть две стороны сечения параллельны $BD$ и имеют длины, пропорциональные $(1-u)$ и $(1-w)\text{.}$ Это и есть трапеция. Прямой подсчёт её площади (площадь сечения тетраэдра — кусочно-квадратичная функция высоты, а на участке постоянного набора пересекаемых рёбер — ровно квадратичная) даёт

где $K>0$ — постоянная, зависящая лишь от формы тетраэдра, но не от $z$ (множитель $z+10$ измеряет «подъём» над ребром $BD\text{,}$ множитель $335-24z$ линейно убывает к нулю при $z=\frac{335}{24}\approx 13,96\text{,}$ где трапеция вырождается, проходя через ребро $AC$).

Отношение площадей. Сечение плоскостью $\alpha$ отвечает $z=0\text{,}$ плоскостью $\beta$ — $z=5\text{:}$

Постоянная $K$ сокращается:

Проверка условия об объёмах. Остаётся убедиться, что при найденной конфигурации объём среднего слоя действительно меньше объёмов крайних частей. Прямое вычисление объёмов трёх частей (отношения объёмов не зависят от выбора конкретного представителя тетраэдра с данными высотами) даёт для долей от полного объёма

так что средняя часть — наименьшая, как и требуется в условии. Все условия задачи выполнены.

Ответ.