Задача №18179

Решить неравенство

$${\log }_{4x^2}{x}^2\cdot {\log }_{8x^4}{x}^4⩽1.$$

Область допустимых значений. В неравенстве участвуют логарифмы ${\log }_{4x^2}{x}^2$ и ${\log }_{8x^4}{x}^4\text{.}$ Аргументы $x^2$ и $x^4$ положительны при $x\ne 0\text{.}$ Основания $4x^2$ и $8x^4$ при $x\ne 0$ положительны автоматически, но должны быть отличны от единицы:

$$4x^2\ne 1⟺x^2\ne \frac{1}{4}⟺|x|\ne \frac{1}{2},8x^4\ne 1⟺x^4\ne \frac{1}{8}⟺|x|\ne \frac{1}{\sqrt[4]{8}}.$$

Итак, ОДЗ: $x\ne 0\text{,}$ $|x|\ne \frac{1}{2}\text{,}$ $|x|\ne \frac{1}{\sqrt[4]{8}}\text{.}$

Сведение к одной переменной. Перейдём к логарифмам по основанию $2\text{.}$ Положим

$$t={\log }_2{x}^2=2{\log }_2|x|.$$

При $x\ne 0$ величина $t$ пробегает всё множество $\mathbb{R}\text{;}$ при этом $x^2=2^t\text{,}$ и неравенство зависит лишь от $x^2$ (то есть симметрично относительно замены $x\mapsto -x$). Выразим каждый множитель. По формуле перехода

$${\log }_{4x^2}{x}^2=\frac{{\log }_2{x}^2}{{\log }_2(4x^2)}=\frac{{\log }_2{x}^2}{2+{\log }_2{x}^2}=\frac{t}{t+2},$$ $${\log }_{8x^4}{x}^4=\frac{{\log }_2{x}^4}{{\log }_2(8x^4)}=\frac{2{\log }_2{x}^2}{3+2{\log }_2{x}^2}=\frac{2t}{2t+3}.$$

Здесь ${\log }_2{x}^4=2{\log }_2{x}^2=2t\text{,}$ ${\log }_2(4x^2)=2+t\text{,}$ ${\log }_2(8x^4)=3+2t\text{.}$ Условия ОДЗ $t\ne -2$ и $t\ne -\frac{3}{2}$ в точности совпадают с условиями необращения в нуль знаменателей $t+2$ и $2t+3\text{.}$

Неравенство принимает вид

$$\frac{t}{t+2}\cdot \frac{2t}{2t+3}⩽1,\text{т. е.}\frac{2t^2}{(t+2)(2t+3)}⩽1.$$

Решение рационального неравенства. Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю:

$$\frac{2t^2}{(t+2)(2t+3)}-1=\frac{2t^2-(t+2)(2t+3)}{(t+2)(2t+3)}=\frac{2t^2-(2t^2+7t+6)}{(t+2)(2t+3)}=\frac{-(7t+6)}{(t+2)(2t+3)}⩽0.$$

Умножая на $-1$ (знак неравенства меняется), получаем равносильное

$$\frac{7t+6}{(t+2)(2t+3)}⩾0.$$

Нули числителя и знаменателя: $t=-2\text{,}$ $t=-\frac{3}{2}\text{,}$ $t=-\frac{6}{7}\text{.}$ Расставим знаки дроби методом интервалов (порядок точек: $-2<-\frac{3}{2}<-\frac{6}{7}$).

Дробь неотрицательна на промежутках $(-2;-\frac{3}{2})$ и $[-\frac{6}{7};+\infty )\text{.}$ Точка $t=-\frac{6}{7}$ включается (числитель обращается в нуль, дробь равна $0$), а точки $t=-2$ и $t=-\frac{3}{2}$ исключены (знаменатель нуль). Итак,

$$t\in \left(-2;-\frac{3}{2}\right)\cup \left[-\frac{6}{7};+\infty \right).$$

Возврат к переменной $x\text{.}$ Так как $t=2{\log }_2|x|\text{,}$ то $|x|=2^{t/2}$ — строго возрастающая функция от $t\text{.}$ Подставляя граничные значения,

$$t=-2:|x|=2^{-1}=\frac{1}{2},t=-\frac{3}{2}:|x|=2^{-3/4}=\frac{1}{\sqrt[4]{8}},t=-\frac{6}{7}:|x|=2^{-3/7}=\frac{1}{\sqrt[7]{8}}$$

(здесь $2^{3/4}=\sqrt[4]{2^3}=\sqrt[4]{8}$ и $2^{3/7}=\sqrt[7]{2^3}=\sqrt[7]{8}$). В силу возрастания соответствия $t\mapsto |x|$ промежутки переходят так:

$$t\in \left(-2;-\frac{3}{2}\right)⟹|x|\in \left(\frac{1}{2};\frac{1}{\sqrt[4]{8}}\right),t\in \left[-\frac{6}{7};+\infty \right)⟹|x|\in \left[\frac{1}{\sqrt[7]{8}};+\infty \right).$$

Концы наследуют характер включения: точка $|x|=\frac{1}{\sqrt[7]{8}}$ входит, точки $|x|=\frac{1}{2}$ и $|x|=\frac{1}{\sqrt[4]{8}}$ — нет (что согласуется и с ОДЗ).

Учёт обоих знаков. Поскольку $|x|$ фиксирует пару значений $x=\pm |x|\text{,}$ каждому промежутку по $|x|$ отвечают два симметричных промежутка по $x\text{.}$ Из $|x|\in \left(\frac{1}{2};\frac{1}{\sqrt[4]{8}}\right)$ получаем

$$x\in \left(\frac{1}{2};\frac{1}{\sqrt[4]{8}}\right)\cup \left(-\frac{1}{\sqrt[4]{8}};-\frac{1}{2}\right),$$

а из $|x|\in \left[\frac{1}{\sqrt[7]{8}};+\infty \right)$ —

$$x\in \left[\frac{1}{\sqrt[7]{8}};+\infty \right)\cup \left(-\infty ;-\frac{1}{\sqrt[7]{8}}\right].$$

Ответ.

$$\boxed{x\in \left(-\infty ;-\frac{1}{\sqrt[7]{8}}\right]\cup \left(-\frac{1}{\sqrt[4]{8}};-\frac{1}{2}\right)\cup \left(\frac{1}{2};\frac{1}{\sqrt[4]{8}}\right)\cup \left[\frac{1}{\sqrt[7]{8}};+\infty \right).}$$