Решить неравенство _(4x^2)x^2*_(8x^4)x^4 1.

**Область допустимых значений.** В неравенстве участвуют логарифмы _(4x^2)x^2 и _(8x^4)x^4. Аргументы x^2 и x^4 положительны при x!= 0. Основания 4x^2 и 8x^4 при x!= 0 положительны автоматически, но должны быть отличны от единицы: 4x^2!= 1 x^2!=14 |x|!=12, 8x^4!= 1 x^4!=18 |x|!=(1)/([4]8). Итак, ОДЗ: x!= 0, |x|!=12, |x|!=(1)/([4]8). **Сведение к одной переменной.** Перейдём к логарифмам по основанию 2. Положим t=_2 x^2=2_2|x|. При x!= 0 величина t пробегает всё множество R; при этом x^2=2^(t), и неравенство зависит лишь от x^2 (то есть симметрично относительно замены x -x). Выразим каждый множитель. По формуле перехода _(4x^2)x^2=(_2 x^2)/(_2(4x^2))=(_2 x^2)/(2+_2 x^2)=(t)/(t+2), _(8x^4)x^4=(_2 x^4)/(_2(8x^4))=(2_2 x^2)/(3+2_2 x^2)=(2t)/(2t+3). Здесь _2 x^4=2_2 x^2=2t, _2(4x^2)=2+t, _2(8x^4)=3+2t. Условия ОДЗ t!= -2 и t!= -32 в точности совпадают с условиями необращения в нуль знаменателей t+2 и 2t+3. Неравенство принимает вид (t)/(t+2)*(2t)/(2t+3) 1, т. е. (2t^2)/((t+2)(2t+3)) 1. **Решение рационального неравенства.** Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: (2t^2)/((t+2)(2t+3))-1=(2t^2-(t+2)(2t+3))/((t+2)(2t+3))=(2t^2-(2t^2+7t+6))/((t+2)(2t+3))=(-(7t+6))/((t+2)(2t+3)) 0. Умножая на -1 (знак неравенства меняется), получаем равносильное (7t+6)/((t+2)(2t+3)) 0. Нули числителя и знаменателя: t=-2, t=-32, t=-(6)/(7). Расставим знаки дроби методом интервалов (порядок точек: -2<-32<-67). | Промежуток | t<-2 | -2<t<-32 | -32<t<-67 | t>-67 | |---|---|---|---|---| | 7t+6 | - | - | - | + | | t+2 | - | + | + | + | | 2t+3 | - | - | + | + | | дробь | - | + | - | + | Дробь неотрицательна на промежутках (-2;-32) и [-67;+inf). Точка t=-67 включается (числитель обращается в нуль, дробь равна 0), а точки t=-2 и t=-32 исключены (знаменатель нуль). Итак, tin(-2;-32)U[-67;+inf). **Возврат к переменной x.** Так как t=2_2|x|, то |x|=2^(t/2) — строго возрастающая функция от t. Подставляя граничные значения, t=-2: |x|=2^(-1)=12, t=-32: |x|=2^(-3/4)=(1)/([4]8), t=-67: |x|=2^(-3/7)=(1)/([7]8) (здесь 2^(3/4)=[4]2^3=[4]8 и 2^(3/7)=[7]2^3=[7]8). В силу возрастания соответствия t|x| промежутки переходят так: tin(-2;-32) |x|in(12;(1)/([4]8)), tin[-67;+inf) |x|in[(1)/([7]8);+inf). Концы наследуют характер включения: точка |x|=(1)/([7]8) входит, точки |x|=12 и |x|=(1)/([4]8) — нет (что согласуется и с ОДЗ). **Учёт обоих знаков.** Поскольку |x| фиксирует пару значений x=+-|x|, каждому промежутку по |x| отвечают два симметричных промежутка по x. Из |x|in(12;(1)/([4]8)) получаем xin(12;(1)/([4]8))U(-(1)/([4]8);-12), а из |x|in[(1)/([7]8);+inf) — xin[(1)/([7]8);+inf)U(-inf;-(1)/([7]8)]. **Ответ.** xin(-inf;-(1)/([7]8)]U(-(1)/([4]8);-(1)/(2))U((1)/(2);(1)/([4]8))U[(1)/([7]8);+inf).

\(\left(-\infty;\,-\frac{1}{\sqrt[7]{8}}\right]\cup\left(-\frac{1}{\sqrt[4]{8}};\,-\frac{1}{2}\right)\cup\left(\frac{1}{2};\,\frac{1}{\sqrt[4]{8}}\right)\cup\left[\frac{1}{\sqrt[7]{8}};\,+\infty\right)\)