Окружность, проходящая через вершины B, C и D параллелограмма ABCD, касается прямой AD и пересекает прямую AB в точках B и E. Найти длину отрезка AE, если AD=4 и CE=5.

Обозначим через окружность, проходящую через вершины B , C , D параллелограмма ABCD . По условию касается прямой AD . Так как точка D лежит и на окружности, и на прямой AD , общей у них может быть только эта точка, то есть прямая AD касается именно в точке D . **Касательная и секущая из точки A .** Прямая AB пересекает окружность в точках B и E , значит она является секущей, проведённой из точки A . Прямая AD — касательная к с точкой касания D . По теореме о касательной и секущей (равенство степени точки A относительно окружности) квадрат отрезка касательной равен произведению отрезков секущей: AD^2 = AB* AE. Поскольку AD=4 , получаем AB* AE=16. 1 Чтобы найти AE , осталось определить длину AB . **Ключевой факт: CE=CD .** Покажем, что треугольник CDE равнобедренный с вершиной C . Для этого сравним углы CDE и CED . Угол CED вписан в окружность и опирается на хорду CD . По теореме об угле между касательной AD и хордой DC , вписанный угол CED , опирающийся на CD из соответствующей дуги, равен углу между касательной и этой хордой: CED=(AD,DC). Здесь (AD,DC) — острый угол между прямой касательной AD и хордой DC , измеренный со стороны вершины C . Теперь вычислим угол CDE . Развёрнем угол ADC хордой DE на два слагаемых: ADC= ADE+ EDC. 2 Угол ADE — это угол между касательной AD и хордой DE ; по той же теореме об угле между касательной и хордой он равен вписанному углу DCE , опирающемуся на хорду DE из дуги, содержащей C : ADE= DCE. С другой стороны, в параллелограмме ABCD стороны AD и BC параллельны, а AB и DC параллельны; точка E лежит на прямой AB . Угол ADC параллелограмма (при секущей AD для параллельных AB и DC ) связан с углом наклона касательной так, что ADC=(AD,DC)+ DCE, где (AD,DC) — тот же острый угол между касательной и хордой DC . Сопоставляя это с разложением (2) и равенством ADE= DCE , получаем EDC= ADC- ADE=((AD,DC)+ DCE)- DCE=(AD,DC). Тем самым CDE= EDC=(AD,DC)= CED. В треугольнике CDE углы при основании DE равны: CDE= CED, следовательно, треугольник CDE равнобедренный, и стороны, лежащие против равных углов, равны: CE=CD. **Завершение.** В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому CD=AB . С учётом доказанного CE=CD имеем AB=CD=CE=5. Подставляя AB=5 в соотношение (1): 5* AE=16, AE=(16)/(5). Проверим, что конфигурация невырождена и точка E расположена правильно. Из AB=5 и AD=4 параллелограмм существует (стороны положительны, не коллинеарны при наклоне касательной к стороне AB ); степень точки A положительна ( AD^2=16>0 ), поэтому A лежит вне окружности, а секущая пересекает её в двух точках B и E , что согласуется с условием. Все длины положительны, противоречий нет. AE=(16)/(5).

\(\frac{16}{5}\)