Задача №18181

Окружность, проходящая через вершины $B\text{,}$ $C$ и $D$ параллелограмма $ABCD\text{,}$ касается прямой $AD$ и пересекает прямую $AB$ в точках $B$ и $E\text{.}$ Найти длину отрезка $AE\text{,}$ если $AD=4$ и $CE=5\text{.}$

Обозначим через $\omega$ окружность, проходящую через вершины $B\text{,}$ $C\text{,}$ $D$ параллелограмма $ABCD\text{.}$ По условию $\omega$ касается прямой $AD\text{.}$ Так как точка $D$ лежит и на окружности, и на прямой $AD\text{,}$ общей у них может быть только эта точка, то есть прямая $AD$ касается $\omega$ именно в точке $D\text{.}$

Касательная и секущая из точки $A\text{.}$

Прямая $AB$ пересекает окружность в точках $B$ и $E\text{,}$ значит она является секущей, проведённой из точки $A\text{.}$ Прямая $AD$ — касательная к $\omega$ с точкой касания $D\text{.}$ По теореме о касательной и секущей (равенство степени точки $A$ относительно окружности) квадрат отрезка касательной равен произведению отрезков секущей:

Поскольку $AD=4\text{,}$ получаем

Чтобы найти $AE\text{,}$ осталось определить длину $AB\text{.}$

Ключевой факт: $CE=CD\text{.}$

Покажем, что треугольник $CDE$ равнобедренный с вершиной $C\text{.}$ Для этого сравним углы $\angle CDE$ и $\angle CED\text{.}$

Угол $\angle CED$ вписан в окружность $\omega$ и опирается на хорду $CD\text{.}$ По теореме об угле между касательной $AD$ и хордой $DC\text{,}$ вписанный угол $\angle CED\text{,}$ опирающийся на $CD$ из соответствующей дуги, равен углу между касательной и этой хордой:

Здесь $\angle (AD,DC)$ — острый угол между прямой касательной $AD$ и хордой $DC\text{,}$ измеренный со стороны вершины $C\text{.}$

Теперь вычислим угол $\angle CDE\text{.}$ Развёрнем угол $\angle ADC$ хордой $DE$ на два слагаемых:

Угол $\angle ADE$ — это угол между касательной $AD$ и хордой $DE\text{;}$ по той же теореме об угле между касательной и хордой он равен вписанному углу $\angle DCE\text{,}$ опирающемуся на хорду $DE$ из дуги, содержащей $C\text{:}$

С другой стороны, в параллелограмме $ABCD$ стороны $AD$ и $BC$ параллельны, а $AB$ и $DC$ параллельны; точка $E$ лежит на прямой $AB\text{.}$ Угол $\angle ADC$ параллелограмма (при секущей $AD$ для параллельных $AB$ и $DC$) связан с углом наклона касательной так, что

где $\angle (AD,DC)$ — тот же острый угол между касательной и хордой $DC\text{.}$ Сопоставляя это с разложением (2) и равенством $\angle ADE=\angle DCE\text{,}$ получаем

Тем самым

В треугольнике $CDE$ углы при основании $DE$ равны:

следовательно, треугольник $CDE$ равнобедренный, и стороны, лежащие против равных углов, равны:

Завершение.

В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому $CD=AB\text{.}$ С учётом доказанного $CE=CD$ имеем

Подставляя $AB=5$ в соотношение (1):

Проверим, что конфигурация невырождена и точка $E$ расположена правильно. Из $AB=5$ и $AD=4$ параллелограмм существует (стороны положительны, не коллинеарны при наклоне касательной к стороне $AB$); степень точки $A$ положительна ($A{D}^2=16>0$), поэтому $A$ лежит вне окружности, а секущая пересекает её в двух точках $B$ и $E\text{,}$ что согласуется с условием. Все длины положительны, противоречий нет.