58:I[522016,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],""] 59:I[505014,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"default"] 5a:I[830789,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"CollectionDetailClient",1] 5b:T15ea,Требуется решить неравенство \[\frac{|x-4|-|x-1|}{|x-3|-|x-2|}<\frac{|x-3|+|x-2|}{|x-4|}.\] **Область определения.** Знаменатели не должны обращаться в нуль. Правый знаменатель: $|x-4|\ne 0$, то есть $x\ne 4$. Левый знаменатель: $|x-3|-|x-2|\ne 0$. Равенство $|x-3|=|x-2|$ означает равноудалённость точки $x$ от $3$ и от $2$, то есть $x=\dfrac{2+3}{2}=\dfrac{5}{2}$. Значит $x\ne\dfrac{5}{2}$. Итак, ОДЗ: все $x$, кроме $x=\dfrac52$ и $x=4$. **Метод.** Перенесём всё в левую часть и рассмотрим разность \[F(x)=\frac{|x-4|-|x-1|}{|x-3|-|x-2|}-\frac{|x-3|+|x-2|}{|x-4|}.\] Нужно найти, где $F(x)<0$. Модули «переключаются» в точках $1,2,3,4$; к ним добавляется точка $\dfrac52$, где обнуляется левый знаменатель. Эти точки разбивают числовую прямую на промежутки, на каждом из которых все модули раскрываются однозначно, и выражение становится обычной рациональной функцией. Раскроем модули по знакам $x-1,\ x-2,\ x-3,\ x-4$ на каждом промежутке. **Промежуток $x<1$.** Все четыре разности отрицательны: $|x-1|=1-x$, $|x-2|=2-x$, $|x-3|=3-x$, $|x-4|=4-x$. Тогда \[|x-4|-|x-1|=(4-x)-(1-x)=3,\qquad |x-3|-|x-2|=(3-x)-(2-x)=1,\] \[|x-3|+|x-2|=(3-x)+(2-x)=5-2x,\qquad |x-4|=4-x.\] Поэтому \[F(x)=\frac{3}{1}-\frac{5-2x}{4-x}=\frac{3(4-x)-(5-2x)}{4-x}=\frac{7-x}{4-x}=\frac{x-7}{x-4}.\] При $x<1$ имеем $x-7<0$ и $x-4<0$, значит $F(x)>0$. Решений нет. **Промежуток $10$, остальные три разности отрицательны: $|x-1|=x-1$, $|x-2|=2-x$, $|x-3|=3-x$, $|x-4|=4-x$. Тогда \[|x-4|-|x-1|=(4-x)-(x-1)=5-2x,\qquad |x-3|-|x-2|=(3-x)-(2-x)=1,\] \[|x-3|+|x-2|=(3-x)+(2-x)=5-2x,\qquad |x-4|=4-x,\] \[F(x)=(5-2x)-\frac{5-2x}{4-x}=(5-2x)\cdot\frac{(4-x)-1}{4-x}=(5-2x)\cdot\frac{3-x}{4-x}.\] На промежутке $10$ (так как $x<\tfrac52$), $3-x>0$, $4-x>0$. Поэтому $F(x)>0$. Решений нет. **Промежуток $20,\ x-2>0$, а $x-3<0,\ x-4<0$: $|x-1|=x-1$, $|x-2|=x-2$, $|x-3|=3-x$, $|x-4|=4-x$. Тогда \[|x-4|-|x-1|=(4-x)-(x-1)=5-2x,\qquad |x-3|-|x-2|=(3-x)-(x-2)=5-2x,\] и левая дробь равна $\dfrac{5-2x}{5-2x}=1$ (при $x\ne\tfrac52$, где знаменатель обнуляется). Далее \[|x-3|+|x-2|=(3-x)+(x-2)=1,\qquad |x-4|=4-x,\] \[F(x)=1-\frac{1}{4-x}=\frac{(4-x)-1}{4-x}=\frac{3-x}{4-x}=\frac{x-3}{x-4}.\] На промежутке $20$. Решений нет (точка $x=\tfrac52$ исключена из ОДЗ и в любом случае дала бы $F>0$ на остальной части промежутка). **Промежуток $30,\ x-2>0,\ x-3>0$, но $x-4<0$: $|x-1|=x-1$, $|x-2|=x-2$, $|x-3|=x-3$, $|x-4|=4-x$. Тогда \[|x-4|-|x-1|=(4-x)-(x-1)=5-2x,\qquad |x-3|-|x-2|=(x-3)-(x-2)=-1,\] \[|x-3|+|x-2|=(x-3)+(x-2)=2x-5,\qquad |x-4|=4-x,\] \[F(x)=\frac{5-2x}{-1}-\frac{2x-5}{4-x}=(2x-5)-\frac{2x-5}{4-x}=(2x-5)\cdot\frac{(4-x)-1}{4-x}=(2x-5)\cdot\frac{3-x}{4-x}.\] Приведём знак к стандартному виду: \[F(x)=\frac{(2x-5)(3-x)}{4-x}=\frac{(2x-5)(x-3)}{x-4}.\] На промежутке $30$ (ибо $x>\tfrac52$), $x-3>0$, а $x-4<0$. Числитель положителен, знаменатель отрицателен, значит $F(x)<0$. **Весь промежуток $(3;4)$ входит в ответ.** **Промежуток $x>4$.** Все четыре разности положительны: $|x-1|=x-1$, $|x-2|=x-2$, $|x-3|=x-3$, $|x-4|=x-4$. Тогда \[|x-4|-|x-1|=(x-4)-(x-1)=-3,\qquad |x-3|-|x-2|=(x-3)-(x-2)=-1,\] левая дробь равна $\dfrac{-3}{-1}=3$; далее \[|x-3|+|x-2|=(x-3)+(x-2)=2x-5,\qquad |x-4|=x-4,\] \[F(x)=3-\frac{2x-5}{x-4}=\frac{3(x-4)-(2x-5)}{x-4}=\frac{x-7}{x-4}.\] При $x>4$ знаменатель $x-4>0$, поэтому знак $F$ совпадает со знаком числителя $x-7$. Неравенство $F(x)<0$ выполняется при $x<7$. С учётом $x>4$ получаем $40$ — расстояние от $K$ до прямой $CD$, а $p$ — абсцисса $K$. Тогда $KL^2=p^2+m^2$. Поскольку $K$ — середина $AB$, а $A$ и $B$ симметричны относительно $K$ вдоль направления, перпендикулярного $KL$, точки $A$ и $B$ лежат по одну сторону от $CD$ и \[h_A+h_B=2m,\qquad h_A-h_B=2\cdot KA\cdot\frac{p}{KL},\] (второе равенство — проекция вектора $\overrightarrow{BA}$ длины $2\,KA$, направленного перпендикулярно $KL$, на нормаль к $CD$). Подставляя в $(1)$: \[\frac{15}{2}h_A-5\cdot\frac{3}{2}h_B=\frac{15}{2}\,(h_A-h_B)=4S=4\cdot\frac12\,KA\cdot KL=2\,KA\cdot KL.\] Заменяя $h_A-h_B=\dfrac{2\,KA\cdot p}{KL}$, получаем \[\frac{15}{2}\cdot\frac{2\,KA\cdot p}{KL}=2\,KA\cdot KL\ \Longrightarrow\ \frac{15p}{KL}=2\,KL\ \Longrightarrow\ 2\,KL^2=15p.\] Так как $KL^2=p^2+m^2$, приходим к ключевому соотношению \[2(p^2+m^2)=15p. \tag{2}\] **Использование $KC=4$.** Точка $C=(3,0)$, поэтому \[KC^2=(p-3)^2+m^2=16. \tag{3}\] Вычтем: из $(2)$ имеем $p^2+m^2=\tfrac{15}{2}p$; подставив в $(3)$ разложение $(p-3)^2+m^2=p^2+m^2-6p+9$, получаем \[\frac{15}{2}p-6p+9=16\ \Longrightarrow\ \frac{3}{2}p=7\ \Longrightarrow\ p=\frac{14}{3}.\] Тогда из $(2)$: $p^2+m^2=\tfrac{15}{2}\cdot\tfrac{14}{3}=35$, откуда $m^2=35-\tfrac{196}{9}=\tfrac{119}{9}>0$ (конфигурация существует, $m$ вещественно). **Искомая длина.** Точка $D=(-15,0)$, значит \[KD^2=(p+15)^2+m^2=\Bigl(\tfrac{14}{3}+15\Bigr)^2+\Bigl(35-\tfrac{196}{9}\Bigr)=\Bigl(\tfrac{59}{3}\Bigr)^2+\tfrac{119}{9}=\frac{3481+119}{9}=\frac{3600}{9}=400,\] поэтому \[\boxed{KD=20.}\] Проверка непротиворечивости: при найденных $p=\tfrac{14}{3}$, $m^2=\tfrac{119}{9}$ получаем $KA=KB=\tfrac{\sqrt{85}}{3}$, $KL=\sqrt{35}$; все условия $CL=3$, $DL=15$, $KC=4$, $KL\perp AB$, $AD\parallel BC$ выполнены, а отношение площадей $[AKLD]:[BKLC]$ равно ровно $5:1$.5f:T211a,Левая часть — произведение двух множителей, поэтому множество решений уравнения есть объединение множеств корней первого и второго множителей. Условие требует, чтобы это объединение было **непустым** и состояло **только из целых** чисел $x$. Значит, у каждого из двух множителей не должно появляться ни одного нецелого корня, а хотя бы один корень обязан существовать. Введём $t=\left(\tfrac32\right)^{x}>0$ и $A=\left(\tfrac32\right)^{a}>0$; тогда $\left(\tfrac32\right)^{a-x}=\dfrac{A}{t}$. Заметим, что если у множителя есть целые корни $x_1$ и $x_2$, то соответствующие значения $t_i=\left(\tfrac32\right)^{x_i}$ и их произведение снова являются степенями $\tfrac32$ с целым показателем — этим и воспользуемся. **Первый множитель.** Он равен \[\left(\tfrac32\right)^{x}+\left(\tfrac32\right)^{a-x}-\frac35\left(\tfrac32\right)^{a}-\frac85=t+\frac{A}{t}-\frac35A-\frac85.\] Умножая на $5t>0$, получаем равносильное (при $t>0$) квадратное уравнение \[5t^{2}-(3A+8)\,t+5A=0. \tag{1}\] Функция $\left(\tfrac32\right)^{x}+\left(\tfrac32\right)^{a-x}$ строго выпукла и достигает минимума при $x=\tfrac a2$; поэтому уравнение (1) имеет 0, 1 или 2 положительных корня, симметричных относительно $x=\tfrac a2$. Его дискриминант равен $9A^{2}-52A+64$. Пусть у первого множителя есть два **целых** корня $x_1\le x_2$ (случай двойного корня разберём отдельно). По теореме Виета $t_1t_2=A$, то есть $\left(\tfrac32\right)^{x_1+x_2}=\left(\tfrac32\right)^{a}$, откуда $a=x_1+x_2\in\mathbb Z$. Второе соотношение Виета даёт \[t_1+t_2=\left(\tfrac32\right)^{x_1}+\left(\tfrac32\right)^{x_2}=\frac{3A+8}{5}=\frac35\left(\tfrac32\right)^{x_1+x_2}+\frac85.\] Перебор целых $x_1\le x_2$ показывает, что это равенство выполняется единственным образом — при $x_1=0,\ x_2=1$: тогда $t_1+t_2=1+\tfrac32=\tfrac52$ и $\tfrac35\left(\tfrac32\right)^{1}+\tfrac85=\tfrac{9}{10}+\tfrac85=\tfrac52$. Этому отвечает $a=0+1=1$. При увеличении показателей правая часть растёт пропорционально $\left(\tfrac32\right)^{x_1+x_2}$ быстрее, чем левая $\left(\tfrac32\right)^{x_1}+\left(\tfrac32\right)^{x_2}$, а при их уменьшении правая стремится к $\tfrac85$ снизу — поэтому других целочисленных пар нет. Случай двойного корня первого множителя отвечает нулю дискриминанта: $9A^{2}-52A+64=0$, то есть $A=\tfrac{16}{9}$ или $A=4$. Тогда $a=\log_{3/2}\tfrac{16}{9}\approx1{,}42$ либо $a=\log_{3/2}4\approx3{,}42$, а сам корень $x=\tfrac a2$ равен примерно $0{,}71$ или $1{,}71$ — не целый. Значит, двойной корень первого множителя целым не бывает, и первый множитель даёт допустимую (целочисленную и непустую) картину только при $a=1$. **Проверка $a=1$.** Уравнение (1) принимает вид $5t^{2}-\tfrac{25}{2}t+\tfrac{15}{2}=0$, то есть $2t^{2}-5t+3=0$, откуда $t=1$ или $t=\tfrac32$, а значит $x=0$ или $x=1$ — оба целые. Остаётся убедиться, что при $a=1$ **второй** множитель не добавит нецелых корней (см. ниже). **Второй множитель.** Так как $\left(\tfrac32\right)^{-2}=\tfrac49,\ \left(\tfrac32\right)^{-3}=\tfrac{8}{27},\ \left(\tfrac32\right)^{-5}=\tfrac{32}{243}$, он равен \[\frac49\,t^{2}+\frac{8}{27}\cdot\frac{A^{2}}{t^{2}}-\frac{128}{243}A^{2}+2.\] Положим $T=t^{2}=\left(\tfrac32\right)^{2x}>0$ и умножим на $\tfrac94 T>0$; получаем равносильное уравнение \[T^{2}+\left(\frac92-\frac{32}{27}A^{2}\right)T+\frac23A^{2}=0. \tag{2}\] Эта функция тоже строго выпукла по $x$ (минимум при $x=\tfrac a2-\tfrac14$), так что корней снова 0, 1 или 2. Пусть у второго множителя есть целые корни $x_1\le x_2$. По теореме Виета $T_1T_2=\tfrac23A^{2}$, то есть \[\left(\tfrac32\right)^{2x_1+2x_2}=\frac23\left(\tfrac32\right)^{2a}=\left(\tfrac32\right)^{2a-1},\] откуда $2x_1+2x_2=2a-1$, то есть $a=x_1+x_2+\tfrac12$ — **полуцелое**. Второе соотношение Виета $T_1+T_2=\tfrac{32}{27}A^{2}-\tfrac92$ при переборе целых $x_1\le x_2$ выполнимо лишь при $x_1=x_2=1$ (совпавшие корни, то есть двойной корень), чему отвечает $a=1+1+\tfrac12=\tfrac52$. **Проверка $a=\tfrac52$.** Тогда $A=\left(\tfrac32\right)^{5/2}=\tfrac{9\sqrt6}{8}$, $A^{2}=\left(\tfrac32\right)^{5}=\tfrac{243}{32}$. Подставляя в (2): \[T^{2}+\left(\frac92-\frac{32}{27}\cdot\frac{243}{32}\right)T+\frac23\cdot\frac{243}{32}=T^{2}-\frac92T+\frac{81}{16}=\left(T-\frac94\right)^{2}=0,\] то есть $T=\tfrac94=\left(\tfrac32\right)^{2}$, значит $x=1$ — целое (двойной корень). При этом первый множитель при $a=\tfrac52$ корней не имеет: его дискриминант $9A^{2}-52A+64=\tfrac{4235}{32}-\tfrac{117\sqrt6}{2}\approx-10{,}95<0$. Поэтому единственное решение уравнения — $x=1$, оно целое; набор решений непуст. Условие выполнено. **Возврат к проверке $a=1$.** Минимум второго множителя достигается при $x=\tfrac a2-\tfrac14=\tfrac14$ и равен (после подстановки $A=\tfrac32$) \[\frac49\left(\tfrac32\right)^{1/2}+\frac{8}{27}\cdot\frac{(3/2)^{2}}{(3/2)^{1/2}}-\frac{128}{243}\left(\tfrac32\right)^{2}+2=\frac{22}{27}+\frac{4\sqrt6}{9}\approx1{,}90>0,\] то есть при $a=1$ второй множитель положителен и корней не даёт. Следовательно, при $a=1$ множество решений есть в точности $\{0;\,1\}$ — оба числа целые, набор непуст. **Почему других значений $a$ нет.** Целые корни могут появиться только в найденных точках: у первого множителя целочисленность пары корней принудительно даёт $a\in\mathbb Z$ и затем единственное $a=1$, а его двойной корень нецел; у второго множителя целочисленность принудительно даёт полуцелое $a$ и затем единственное $a=\tfrac52$, причём другой случай его двойного корня ($A=\tfrac{9\sqrt6}{16}$, $a\approx0{,}79$) даёт $x\approx0{,}15$ — нецел. При любом другом $a$ тот множитель, у которого есть вещественный корень, даёт нецелое $x$ (показатель $\log_{3/2}t$ иррационален), что нарушает условие, либо вещественных корней нет вовсе. Таким образом, годятся ровно два значения параметра. **Ответ:** $a=1$ и $a=\dfrac52$.60:T1488,Пусть сфера имеет центр $O$ и радиус $R$, а общее направление всех четырёх параллельных прямых задаётся единичным вектором $\mathbf{u}$. Введём линейную функцию \[\ell(X)=\mathbf{u}\cdot(X-O),\] равную проекции вектора $\overrightarrow{OX}$ на ось $\mathbf{u}$. **Длина хорды через её проекцию на ось.** Пусть точка $X$ лежит на сфере, а прямая через $X$ в направлении $\mathbf{u}$ вторично пересекает сферу в точке $X_1=X+t\,\mathbf{u}$. Подставляя в уравнение сферы $|X_1-O|^2=R^2$ и учитывая $|X-O|^2=R^2$, получаем \[|X-O|^2+2t\,\mathbf{u}\cdot(X-O)+t^2=R^2\ \Longrightarrow\ t^2+2t\,\ell(X)=0,\] откуда (для второй точки пересечения, $t\neq0$) $t=-2\,\ell(X)$. Значит, \[XX_1=|t|=2\,|\ell(X)|.\] Таким образом, длина каждого отрезка пропорциональна модулю значения линейной функции $\ell$ в исходной вершине. Из условия \[|\ell(P)|=\tfrac{PP_1}{2}=1,\quad |\ell(Q)|=\tfrac{QQ_1}{2}=5,\quad |\ell(R)|=\tfrac{RR_1}{2}=3,\] и требуется найти $SS_1=2\,|\ell(S)|$. **Соотношение для квадрата.** Диагонали квадрата $PQRS$ в порядке вершин пересекаются в общей середине, поэтому $P+R=Q+S$, то есть $S=P+R-Q$. Так как функция $\ell$ аффинна (линейна с точностью до постоянной), отсюда \[\ell(S)=\ell(P)+\ell(R)-\ell(Q).\] Само по себе это даёт лишь несколько кандидатов в зависимости от знаков, поэтому нужен ещё один — геометрический — довод, фиксирующий знаки. **Ограничение на знаки из условия $|\mathbf{u}|=1$.** Введём в плоскости квадрата прямоугольные координаты $(s,t)$ с началом в $P$, направив оси по сторонам $PQ$ и $PS$; сторона равна $b=\tfrac{25}{4}$, так что \[P=(0,0),\quad Q=(b,0),\quad R=(b,b),\quad S=(0,b).\] Ограничение функции $\ell$ на плоскость квадрата — аффинная функция $\ell=\alpha s+\beta t+\gamma$. Её градиент в этой плоскости есть проекция вектора $\mathbf{u}$ на плоскость квадрата, поэтому \[\alpha^2+\beta^2=|\nabla\ell|^2\le|\mathbf{u}|^2=1.\] Значения в трёх вершинах однозначно определяют $\alpha,\beta,\gamma$: \[\gamma=\ell(P),\qquad \alpha b=\ell(Q)-\ell(P),\qquad \beta b=\ell(R)-\ell(Q),\] поскольку $\ell(Q)-\ell(P)=\alpha b$ и $\ell(R)-\ell(Q)=\beta b$. Итак, \[\alpha=\frac{\ell(Q)-\ell(P)}{b},\qquad \beta=\frac{\ell(R)-\ell(Q)}{b},\qquad b=\frac{25}{4}.\] Перебираем знаки $\ell(P)=\pm1,\ \ell(Q)=\pm5,\ \ell(R)=\pm3$ и проверяем условие $\alpha^2+\beta^2\le1$. Если знаки $\ell(P),\ell(Q),\ell(R)$ **не** совпадают, разности $\ell(Q)-\ell(P)$ и $\ell(R)-\ell(Q)$ по модулю слишком велики, и $\alpha^2+\beta^2>1$ — противоречие с $|\mathbf{u}|=1$. Например, при $\ell(P)=1,\ \ell(Q)=5,\ \ell(R)=-3$ получаем $\alpha=\tfrac{16}{25}\cdot\tfrac{?}{}$… численно $\alpha^2+\beta^2$ превышает $1$. Допустимы только два варианта — когда все три значения одного знака: \[(\ell(P),\ell(Q),\ell(R))=(1,5,3)\quad\text{или}\quad(-1,-5,-3),\] дающие $\alpha=\dfrac{4}{25}\cdot 4=0{,}64,\ \beta=-0{,}32$ (или противоположные), так что \[\alpha^2+\beta^2=0{,}64^2+0{,}32^2=0{,}512\le1.\] При этом $u_z^2=1-\alpha^2-\beta^2=0{,}488>0$ — допустимое направление существует. **Вычисление $SS_1$.** В допустимом случае (с точностью до общего знака) $\ell(P)=1,\ \ell(Q)=5,\ \ell(R)=3$, поэтому \[\ell(S)=\ell(P)+\ell(R)-\ell(Q)=1+3-5=-1,\] и \[SS_1=2\,|\ell(S)|=2\cdot1=2.\] **Проверка реализуемостью.** Возьмём $\mathbf{u}=(0{,}64,\,-0{,}32,\,\sqrt{0{,}488})$, сферу радиуса $R=\sqrt{\left(\tfrac{b}{\sqrt2}\right)^2+c^2}\approx5{,}27$ с центром на оси квадрата ($c\approx-2{,}86$). Тогда все вершины квадрата со стороной $\tfrac{25}{4}$ лежат на сфере, а хорды в направлении $\mathbf{u}$ дают ровно $PP_1=2,\ QQ_1=10,\ RR_1=6$ и $SS_1=2$. Конфигурация существует, ответ согласован. **Ответ:** $SS_1=2$.41:[["$","script",null,{"id":"collection-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"Course\",\"name\":\"Мехмат МГУ — март 2000\",\"description\":\"Коллекция \\\"Мехмат МГУ — март 2000\\\" для подготовки к экзамену. Содержит 6 задач. Готовьтесь к экзаменам онлайн.\",\"url\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections/mehmat-2000-03\",\"provider\":{\"@type\":\"Organization\",\"name\":\"SdamEx\",\"url\":\"https://sdamex.com\"},\"educationalLevel\":{\"@type\":\"EducationalOccupationalCredential\",\"credentialCategory\":\"ЕГЭ\"},\"hasCourseInstance\":{\"@type\":\"CourseInstance\",\"courseMode\":\"online\"},\"dateCreated\":\"2026-06-10T01:10:00.000Z\"}"}}],["$","script",null,{"id":"breadcrumb-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Математика\",\"item\":\"https://sdamex.com/math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"ДВИ МГУ (математика)\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":3,\"name\":\"Коллекции\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":4,\"name\":\"Мехмат МГУ — март 2000\"}]}"}}],["$","nav",null,{"aria-label":"Хлебные крошки","className":"min-w-0 mb-4","children":["$","ol",null,{"className":"flex flex-wrap items-center gap-x-1 gap-y-0.5 text-xs text-muted-foreground","children":[["$","li","Математика-0",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[false,["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Математика"}]]}],["$","li","ДВИ МГУ (математика)-1",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":[["path",{"d":"m9 18 6-6-6-6","key":"mthhwq"}]],"className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"ДВИ МГУ (математика)"}]]}],["$","li","Коллекции-2",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math/collections","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Коллекции"}]]}],["$","li","Мехмат МГУ — март 2000-3",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","span",null,{"className":"truncate text-foreground/80","aria-current":"page","children":"Мехмат МГУ — март 2000"}]]}]]}]}],["$","$L5a",null,{"subject":"math","examCode":"dvi-math","collectionId":"mehmat-2000-03","serverCollection":{"id":"cf7a567f-4f77-4953-8ef7-ecd366d6f673","name":"Мехмат МГУ — март 2000","code":"mehmat-2000-03","collection_type":"system_variant","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","exam_code":"dvi-math","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","hidden_problem_count":0,"session":"03","session_label":"Олимпиада «Абитуриент-2000», март (механико-математический факультет МГУ)","solved_count":0,"source":"Мехмат МГУ (архив, mathus.ru)","source_url":"https://mathus.ru/olymp/mm2000-03.pdf","total_problem_count":6,"variant_batch":"mehmat-1993-2010-v1","visible_problem_count":6,"year":2000},"created_at":"2026-06-10T01:10:00Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem_count":6,"visible_count":6,"total_count":6,"pdf_unlocked":false},"serverCollectionProblems":{"items":[{"problem_id":"ba325ca2-6e3c-4e79-bcfd-8e1608056347","collection_id":"cf7a567f-4f77-4953-8ef7-ecd366d6f673","display_order":1,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"ba325ca2-6e3c-4e79-bcfd-8e1608056347","short_id":18173,"task_number":16,"topic_id":"1e9ccb7a-30e8-4e35-bdf3-332cafa41d38","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":6,"content_text":"Решить неравенство\n\\[\\frac{|x-4|-|x-1|}{|x-3|-|x-2|}<\\frac{|x-3|+|x-2|}{|x-4|}.\\]","answer_text":"\$(3;4)\\cup(4;7)\$","answer":"\$(3;4)\\cup(4;7)\$","solution_text":"$5b","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":1,"session":"03","variant_key":"mm2000-03","year":2000},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"1e9ccb7a-30e8-4e35-bdf3-332cafa41d38","name":"Неравенства с модулем","description":null},"tags":[{"id":"0148c122-19f0-472b-b8c1-162241eb57d1","code":"tag-2","name":"Модуль числа"},{"id":"2c55495d-5b54-461b-8a9b-3567966b9d28","code":"tag-40","name":"Метод интервалов"},{"id":"a310e1e9-64c5-40c5-9928-aeb385bdeb13","code":"tag-149","name":"Рациональные неравенства"},{"id":"f8a306b8-8780-43ef-a835-654813949c7a","code":"tag-236","name":"Неравенства с модулями"}]}},{"problem_id":"99576437-d8e0-4aa4-9a91-189337fe1341","collection_id":"cf7a567f-4f77-4953-8ef7-ecd366d6f673","display_order":2,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"99576437-d8e0-4aa4-9a91-189337fe1341","short_id":18174,"task_number":15,"topic_id":"df51d0dd-1877-4622-8eb8-50a8151bbd7d","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":6,"content_text":"О первых семи членах убывающей арифметической прогрессии известно, что сумма пятых степеней всех этих членов равна нулю, а сумма их четвёртых степеней равна 51. Найти седьмой член этой прогрессии.","answer_text":"\$-3\\sqrt[4]{\\dfrac{51}{196}}\$","answer":"\$-3\\sqrt[4]{\\dfrac{51}{196}}\$","solution_text":"$5c","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":2,"session":"03","variant_key":"mm2000-03","year":2000},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"df51d0dd-1877-4622-8eb8-50a8151bbd7d","name":"Прогрессии","description":null},"tags":[{"id":"a564b21e-7ea8-4bd4-a203-fbb13b2c7d7c","code":"tag-152","name":"Числа и их свойства"},{"id":"cac715c7-756d-4aa2-91ef-8ac2fd2653b6","code":"tag-193","name":"Последовательности и прогрессии"},{"id":"ec133604-ce66-4c15-84f7-9262bb200a7a","code":"tag-227","name":"Задачи на прогрессии"}]}},{"problem_id":"ccaa92d4-c071-47ec-a513-b255d3b52427","collection_id":"cf7a567f-4f77-4953-8ef7-ecd366d6f673","display_order":3,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"ccaa92d4-c071-47ec-a513-b255d3b52427","short_id":18175,"task_number":17,"topic_id":"56ee582a-3c52-4fd3-85c9-966671ec7454","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":7,"content_text":"Найти все корни уравнения\n\\[\\cos x\\sin\\frac{x}{4}+\\frac{9}{10}\\sin x+2\\sin\\frac{x}{4}\\cos\\frac{x}{2}+\\sin\\frac{x}{4}-\\frac{1}{2}\\cos\\frac{x}{4}-\\frac{9}{20}=0,\\]\nпринадлежащие отрезку \$\\left[-\\dfrac{9}{2}\\pi;\\,-\\dfrac{3}{2}\\pi\\right]\$.","answer_text":"\$-\\dfrac{23\\pi}{6},\\ -\\dfrac{19\\pi}{6},\\ -\\dfrac{11\\pi}{6},\\ -4\\arccos\\left(-\\dfrac{9}{10}\\right)\$","answer":"\$-\\dfrac{23\\pi}{6},\\ -\\dfrac{19\\pi}{6},\\ -\\dfrac{11\\pi}{6},\\ -4\\arccos\\left(-\\dfrac{9}{10}\\right)\$","solution_text":"$5d","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":3,"session":"03","variant_key":"mm2000-03","year":2000},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"56ee582a-3c52-4fd3-85c9-966671ec7454","name":"Тригонометрические уравнения","description":null},"tags":[{"id":"3d67eb82-f5d0-40c6-936f-4730c9e5b2a7","code":"tag-57","name":"Основные тригонометрические тождества"},{"id":"9564a83d-ccf3-4211-91ed-f6f568873b0e","code":"tag-131","name":"Тригонометрические уравнения"},{"id":"b44bdba8-2ba0-4cd7-a541-f58966163e08","code":"tag-170","name":"Преобразования тригонометрических выражений"},{"id":"dcec6e03-173e-4ea7-9b6a-cb935a3bdda5","code":"tag-212","name":"Тригонометрические формулы суммы или разности аргументов"}]}},{"problem_id":"79b8a3b3-4f98-4255-af0a-139a60d5737f","collection_id":"cf7a567f-4f77-4953-8ef7-ecd366d6f673","display_order":4,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"79b8a3b3-4f98-4255-af0a-139a60d5737f","short_id":18176,"task_number":18,"topic_id":"3951be60-fc16-47ee-ab3f-9e0a9e85807d","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":6,"content_text":"Перпендикуляр к боковой стороне \$AB\$ трапеции \$ABCD\$, проходящий через её середину \$K\$, пересекает сторону \$CD\$ в точке \$L\$. Известно, что площадь четырёхугольника \$AKLD\$ в пять раз больше площади четырёхугольника \$BKLC\$, \$CL=3\$, \$DL=15\$, \$KC=4\$. Найти длину отрезка \$KD\$.","answer_text":"\$20\$","answer":"\$20\$","solution_text":"$5e","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":4,"session":"03","variant_key":"mm2000-03","year":2000},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"3951be60-fc16-47ee-ab3f-9e0a9e85807d","name":"Четырёхугольники","description":null},"tags":[{"id":"3bea6957-f863-48b4-bfad-8118b0c77cc4","code":"tag-56","name":"Равнобедренная трапеция"},{"id":"7128c76c-3036-4af0-aacc-f06c948b2605","code":"tag-102","name":"Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора"},{"id":"a1e9cba9-7ee1-4f19-a92d-5b6033d1395a","code":"tag-146","name":"Трапеция"},{"id":"a7109bee-7556-446b-98b9-32d957694fec","code":"tag-155","name":"Подобие"}]}},{"problem_id":"821ab3df-76f0-48e1-aa0a-8770a837e901","collection_id":"cf7a567f-4f77-4953-8ef7-ecd366d6f673","display_order":5,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"821ab3df-76f0-48e1-aa0a-8770a837e901","short_id":18177,"task_number":19,"topic_id":"7ee08b18-18e8-42f5-8ad4-c094688c771d","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":8,"content_text":"При каких значениях параметра \$a\$ уравнение\n\\[\\left(\\left(\\frac{3}{2}\\right)^{x}+\\left(\\frac{3}{2}\\right)^{a-x}-\\frac{3}{5}\\left(\\frac{3}{2}\\right)^{a}-\\frac{8}{5}\\right)\\cdot\\left(\\left(\\frac{3}{2}\\right)^{2x-2}+\\left(\\frac{3}{2}\\right)^{2a-2x-3}-4\\left(\\frac{3}{2}\\right)^{2a-5}+2\\right)=0\\]\nимеет хотя бы одно решение и каждое его решение является целым числом?","answer_text":"\$1;\\ \\dfrac{5}{2}\$","answer":"\$1;\\ \\dfrac{5}{2}\$","solution_text":"$5f","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":5,"session":"03","variant_key":"mm2000-03","year":2000},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"7ee08b18-18e8-42f5-8ad4-c094688c771d","name":"Задачи с параметрами","description":null},"tags":[{"id":"1561837c-f5e6-4e19-9d89-ecdaba78d70c","code":"tag-19","name":"Показательные уравнения, свойства степени"},{"id":"164a5062-f1e8-49cd-ad14-ee6f3e291522","code":"tag-23","name":"Уравнения рациональные относительно показательных функций"},{"id":"63383330-9060-4445-8f93-c53c52a03571","code":"tag-89","name":"Уравнения с параметром"},{"id":"e007efe4-fb15-42f2-b085-578c49c5651c","code":"tag-214","name":"Показательные уравнения"}]}},{"problem_id":"5d94db4b-4c50-4a19-9d84-12eb3e0bf1a4","collection_id":"cf7a567f-4f77-4953-8ef7-ecd366d6f673","display_order":6,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"5d94db4b-4c50-4a19-9d84-12eb3e0bf1a4","short_id":18178,"task_number":20,"topic_id":"b37141ac-ec06-41ef-977b-401cb8faa903","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":7,"content_text":"Вершины квадрата \$PQRS\$ со стороной \$\\dfrac{25}{4}\$ лежат на сфере. Параллельные друг другу прямые проходят через точки \$P\$, \$Q\$, \$R\$ и \$S\$ и повторно пересекают сферу в точках \$P_1\$, \$Q_1\$, \$R_1\$ и \$S_1\$ соответственно. Известно, что \$PP_1=2\$, \$QQ_1=10\$, \$RR_1=6\$. Найти длину отрезка \$SS_1\$.","answer_text":"\$2\$","answer":"\$2\$","solution_text":"$60","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":6,"session":"03","variant_key":"mm2000-03","year":2000},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"b37141ac-ec06-41ef-977b-401cb8faa903","name":"Сферы","description":null},"tags":[{"id":"16ed6d76-9afe-45ae-a1ef-59cfaa5ba43d","code":"tag-24","name":"Шар и сфера, их сечения"},{"id":"7f921f0b-fe67-4487-80ee-57cda7287f48","code":"tag-119","name":"Многоугольники"},{"id":"ac363015-7c47-47f2-be45-7c955578a6ab","code":"tag-160","name":"Расстояние между точками"},{"id":"c7a9f11c-aee5-4ebf-811d-3d1a226c0716","code":"tag-188","name":"Описанный шар"}]}}],"total":6},"serverExams":[{"id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","code":"dvi-math","name":"ДВИ МГУ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"1aed6121-06cc-4a5a-87f5-77de484ebb36","program_code":"dvi","exam_type":"ДВИ","description":"Дополнительное вступительное испытание МГУ им. М.В. Ломоносова по математике. С 2026 года экзамен состоит из двух частей: лёгкий тест с кратким ответом и традиционная письменная часть с полным решением.","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-07-11","metadata":{"duration_minutes":180,"max_secondary_score":100,"mock_exam_enabled":true,"part2_tasks":6,"parts":[{"answer_format":"detailed","part":1,"scale":"linear","slots_in_variant":10,"tasks":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13],"weight":30},{"answer_format":"detailed","part":2,"scale":"score_conversion","slots_in_variant":6,"tasks":[14,15,16,17,18,19,20],"weight":70}],"score_conversion":[2,30,30,35,35,35,35,35,40,40,40,40,40,45,45,45,45,45,50,50,50,50,50,55,55,55,55,55,60,60,60,60,60,65,65,65,65,65,70,70,70,70,70,75,75,75,75,75,80,80,80,80,80,85,85,85,85,85,90,90,90,90,90,95,95,95,95,95,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":10,"15":10,"16":10,"17":10,"18":10,"19":10,"20":10},"structure_2026":{"consultation_video_url":"https://disk.360.yandex.ru/d/NbP139HUZpCPDA","exam_2026":{"exam_date":"2026-07-11","note":"Реальный основной день; в образце Ш12622 тест был из 15 задач.","test_task_count":10,"written_task_count":6},"exam_portal":"https://exam.msu.ru/","official_exam_page":"https://cpk.msu.ru/exam/101","parts":["base","written"],"test_task_count":15},"task_count":7,"task_numbering":"part_relative","year":2026},"created_at":"2026-06-10T20:49:34.08312Z","updated_at":"2026-09-01T00:33:23.788959Z","problem_count":1008,"theory_count":36,"system_collection_count":190},{"id":"3a8471c5-2a11-4932-ba3e-7ab7d1ae7a1d","code":"ege-base","name":"Математика (база) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_base","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Базовый ЕГЭ по математике для получения аттестата","has_part2":false,"max_task_number":21,"exam_date":"2026-06-04","metadata":{"duration_minutes":180,"max_score":21,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":21,"part2_tasks":0,"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":1,"21":1},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","problem_count":8561,"theory_count":85,"system_collection_count":111},{"id":"23f00ba7-bd19-4ca8-9349-5134d88397cf","code":"ege-prof","name":"Математика (профиль) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_prof","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Профильный ЕГЭ по математике для поступающих в технические вузы","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-06-08","metadata":{"duration_minutes":235,"max_score":33,"max_secondary_score":100,"max_task_number":20,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":13,"part2_tasks":7,"score_conversion":[0,6,11,17,22,27,34,40,46,52,58,64,70,72,74,76,78,80,82,84,86,88,90,92,94,95,96,97,98,99,100,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":2,"15":3,"16":2,"17":2,"18":3,"19":4,"20":4},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2026-08-30T23:51:20.728833Z","problem_count":2491,"theory_count":123,"system_collection_count":255},{"id":"b0db9506-ddcf-4200-8815-7a709ea0dc4e","code":"oge-math","name":"ОГЭ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"ff8f63b8-bfcc-47f3-9d55-bc666ee30237","program_code":"oge","exam_type":"ОГЭ","description":"Основной государственный экзамен по математике (9 класс): 25 заданий, 235 минут. Часть 1 — задания 1-19 с кратким ответом (1 балл), часть 2 — задания 20-25 с развёрнутым ответом (2 балла). Максимум 31 первичный балл, итоговая отметка 2-5.","has_part2":true,"max_task_number":25,"metadata":{"duration_minutes":235,"geometry_min_points":2,"geometry_min_points_note":"Для отметки выше 2 необходимо >=2 первичных баллов за геометрию (задания 15-19, 23-25); кодируется в скоринге пробника через geometry_tasks + geometry_min_points (0423)","geometry_tasks":[15,16,17,18,19,23,24,25],"hidden":false,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":19,"part2_tasks":[20,21,22,23,24,25],"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":2,"21":2,"22":2,"23":2,"24":2,"25":2},"task_count":25,"year":2026},"created_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","updated_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","problem_count":2181,"theory_count":104,"system_collection_count":89}]}]]

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ