Задача №18177

При каких значениях параметра $a$ уравнение

$$\left({\left(\frac{3}{2}\right)}^x+{\left(\frac{3}{2}\right)}^{a-x}-\frac{3}{5}{\left(\frac{3}{2}\right)}^a-\frac{8}{5}\right)\cdot \left({\left(\frac{3}{2}\right)}^{2x-2}+{\left(\frac{3}{2}\right)}^{2a-2x-3}-4{\left(\frac{3}{2}\right)}^{2a-5}+2\right)=0$$

имеет хотя бы одно решение и каждое его решение является целым числом?

Левая часть — произведение двух множителей, поэтому множество решений уравнения есть объединение множеств корней первого и второго множителей. Условие требует, чтобы это объединение было непустым и состояло только из целых чисел $x\text{.}$ Значит, у каждого из двух множителей не должно появляться ни одного нецелого корня, а хотя бы один корень обязан существовать.

Введём $t={\left(\frac{3}{2}\right)}^x>0$ и $A={\left(\frac{3}{2}\right)}^a>0\text{;}$ тогда ${\left(\frac{3}{2}\right)}^{a-x}=\frac{A}{t}\text{.}$ Заметим, что если у множителя есть целые корни $x_1$ и $x_2\text{,}$ то соответствующие значения $t_i={\left(\frac{3}{2}\right)}^{x_i}$ и их произведение снова являются степенями $\frac{3}{2}$ с целым показателем — этим и воспользуемся.

Первый множитель. Он равен

$${\left(\frac{3}{2}\right)}^x+{\left(\frac{3}{2}\right)}^{a-x}-\frac{3}{5}{\left(\frac{3}{2}\right)}^a-\frac{8}{5}=t+\frac{A}{t}-\frac{3}{5}A-\frac{8}{5}.$$

Умножая на $5t>0\text{,}$ получаем равносильное (при $t>0$) квадратное уравнение

$$5t^2-(3A+8)t+5A=0.\text{\hspace{1em}(1)}$$

Функция ${\left(\frac{3}{2}\right)}^x+{\left(\frac{3}{2}\right)}^{a-x}$ строго выпукла и достигает минимума при $x=\frac{a}{2}\text{;}$ поэтому уравнение (1) имеет 0, 1 или 2 положительных корня, симметричных относительно $x=\frac{a}{2}\text{.}$ Его дискриминант равен $9A^2-52A+64\text{.}$

Пусть у первого множителя есть два целых корня $x_1\le x_2$ (случай двойного корня разберём отдельно). По теореме Виета $t_1{t}_2=A\text{,}$ то есть ${\left(\frac{3}{2}\right)}^{x_1+x_2}={\left(\frac{3}{2}\right)}^a\text{,}$ откуда $a=x_1+x_2\in \mathbb{Z}\text{.}$ Второе соотношение Виета даёт

$$t_1+t_2={\left(\frac{3}{2}\right)}^{x_1}+{\left(\frac{3}{2}\right)}^{x_2}=\frac{3A+8}{5}=\frac{3}{5}{\left(\frac{3}{2}\right)}^{x_1+x_2}+\frac{8}{5}.$$

Перебор целых $x_1\le x_2$ показывает, что это равенство выполняется единственным образом — при $x_1=0,x_2=1\text{:}$ тогда $t_1+t_2=1+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}$ и $\frac{3}{5}{\left(\frac{3}{2}\right)}^1+\frac{8}{5}=\frac{9}{10}+\frac{8}{5}=\frac{5}{2}\text{.}$ Этому отвечает $a=0+1=1\text{.}$ При увеличении показателей правая часть растёт пропорционально ${\left(\frac{3}{2}\right)}^{x_1+x_2}$ быстрее, чем левая ${\left(\frac{3}{2}\right)}^{x_1}+{\left(\frac{3}{2}\right)}^{x_2}\text{,}$ а при их уменьшении правая стремится к $\frac{8}{5}$ снизу — поэтому других целочисленных пар нет.

Случай двойного корня первого множителя отвечает нулю дискриминанта: $9A^2-52A+64=0\text{,}$ то есть $A=\frac{16}{9}$ или $A=4\text{.}$ Тогда $a={\log }_{3/2}\frac{16}{9}\approx 1,42$ либо $a={\log }_{3/2}4\approx 3,42\text{,}$ а сам корень $x=\frac{a}{2}$ равен примерно $0,71$ или $1,71$ — не целый. Значит, двойной корень первого множителя целым не бывает, и первый множитель даёт допустимую (целочисленную и непустую) картину только при $a=1\text{.}$

Проверка $a=1\text{.}$ Уравнение (1) принимает вид $5t^2-\frac{25}{2}t+\frac{15}{2}=0\text{,}$ то есть $2t^2-5t+3=0\text{,}$ откуда $t=1$ или $t=\frac{3}{2}\text{,}$ а значит $x=0$ или $x=1$ — оба целые. Остаётся убедиться, что при $a=1$ второй множитель не добавит нецелых корней (см. ниже).

Второй множитель. Так как ${\left(\frac{3}{2}\right)}^{-2}=\frac{4}{9},{\left(\frac{3}{2}\right)}^{-3}=\frac{8}{27},{\left(\frac{3}{2}\right)}^{-5}=\frac{32}{243}\text{,}$ он равен

$$\frac{4}{9}{t}^2+\frac{8}{27}\cdot \frac{A^2}{t^2}-\frac{128}{243}{A}^2+2.$$

Положим $T=t^2={\left(\frac{3}{2}\right)}^{2x}>0$ и умножим на $\frac{9}{4}T>0\text{;}$ получаем равносильное уравнение

$$T^2+\left(\frac{9}{2}-\frac{32}{27}{A}^2\right)T+\frac{2}{3}{A}^2=0.\text{\hspace{1em}(2)}$$

Эта функция тоже строго выпукла по $x$ (минимум при $x=\frac{a}{2}-\frac{1}{4}$), так что корней снова 0, 1 или 2.

Пусть у второго множителя есть целые корни $x_1\le x_2\text{.}$ По теореме Виета $T_1{T}_2=\frac{2}{3}{A}^2\text{,}$ то есть

$${\left(\frac{3}{2}\right)}^{2x_1+2x_2}=\frac{2}{3}{\left(\frac{3}{2}\right)}^{2a}={\left(\frac{3}{2}\right)}^{2a-1},$$

откуда $2x_1+2x_2=2a-1\text{,}$ то есть $a=x_1+x_2+\frac{1}{2}$ — полуцелое. Второе соотношение Виета $T_1+T_2=\frac{32}{27}{A}^2-\frac{9}{2}$ при переборе целых $x_1\le x_2$ выполнимо лишь при $x_1=x_2=1$ (совпавшие корни, то есть двойной корень), чему отвечает $a=1+1+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}\text{.}$

Проверка $a=\frac{5}{2}\text{.}$ Тогда $A={\left(\frac{3}{2}\right)}^{5/2}=\frac{9\sqrt{6}}{8}\text{,}$ $A^2={\left(\frac{3}{2}\right)}^5=\frac{243}{32}\text{.}$ Подставляя в (2):

$$T^2+\left(\frac{9}{2}-\frac{32}{27}\cdot \frac{243}{32}\right)T+\frac{2}{3}\cdot \frac{243}{32}=T^2-\frac{9}{2}T+\frac{81}{16}={\left(T-\frac{9}{4}\right)}^2=0,$$

то есть $T=\frac{9}{4}={\left(\frac{3}{2}\right)}^2\text{,}$ значит $x=1$ — целое (двойной корень). При этом первый множитель при $a=\frac{5}{2}$ корней не имеет: его дискриминант $9A^2-52A+64=\frac{4235}{32}-\frac{117\sqrt{6}}{2}\approx -10,95<0\text{.}$ Поэтому единственное решение уравнения — $x=1\text{,}$ оно целое; набор решений непуст. Условие выполнено.

Возврат к проверке $a=1\text{.}$ Минимум второго множителя достигается при $x=\frac{a}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$ и равен (после подстановки $A=\frac{3}{2}$)

$$\frac{4}{9}{\left(\frac{3}{2}\right)}^{1/2}+\frac{8}{27}\cdot \frac{(3/2{)}^2}{(3/2{)}^{1/2}}-\frac{128}{243}{\left(\frac{3}{2}\right)}^2+2=\frac{22}{27}+\frac{4\sqrt{6}}{9}\approx 1,90>0,$$

то есть при $a=1$ второй множитель положителен и корней не даёт. Следовательно, при $a=1$ множество решений есть в точности $\{0;1\}$ — оба числа целые, набор непуст.

Почему других значений $a$ нет. Целые корни могут появиться только в найденных точках: у первого множителя целочисленность пары корней принудительно даёт $a\in \mathbb{Z}$ и затем единственное $a=1\text{,}$ а его двойной корень нецел; у второго множителя целочисленность принудительно даёт полуцелое $a$ и затем единственное $a=\frac{5}{2}\text{,}$ причём другой случай его двойного корня ($A=\frac{9\sqrt{6}}{16}\text{,}$ $a\approx 0,79$) даёт $x\approx 0,15$ — нецел. При любом другом $a$ тот множитель, у которого есть вещественный корень, даёт нецелое $x$ (показатель ${\log }_{3/2}t$ иррационален), что нарушает условие, либо вещественных корней нет вовсе. Таким образом, годятся ровно два значения параметра.

Ответ: $a=1$ и $a=\frac{5}{2}\text{.}$