При каких значениях параметра a уравнение (((3)/(2))^(x)+((3)/(2))^(a-x)-(3)/(5)((3)/(2))^(a)-(8)/(5))*(((3)/(2))^(2x-2)+((3)/(2))^(2a-2x-3)-4((3)/(2))^(2a-5)+2)=0 имеет хотя бы одно решение и каждое его решение является целым числом?

Левая часть — произведение двух множителей, поэтому множество решений уравнения есть объединение множеств корней первого и второго множителей. Условие требует, чтобы это объединение было **непустым** и состояло **только из целых** чисел x. Значит, у каждого из двух множителей не должно появляться ни одного нецелого корня, а хотя бы один корень обязан существовать. Введём t=(32)^(x)>0 и A=(32)^(a)>0; тогда (32)^(a-x)=(A)/(t). Заметим, что если у множителя есть целые корни x_1 и x_2, то соответствующие значения t_i=(32)^(x_i) и их произведение снова являются степенями 32 с целым показателем — этим и воспользуемся. **Первый множитель.** Он равен (32)^(x)+(32)^(a-x)-35(32)^(a)-85=t+(A)/(t)-35A-85. Умножая на 5t>0, получаем равносильное (при t>0) квадратное уравнение 5t^(2)-(3A+8)t+5A=0. 1 Функция (32)^(x)+(32)^(a-x) строго выпукла и достигает минимума при x= a2; поэтому уравнение (1) имеет 0, 1 или 2 положительных корня, симметричных относительно x= a2. Его дискриминант равен 9A^(2)-52A+64. Пусть у первого множителя есть два **целых** корня x_1<= x_2 (случай двойного корня разберём отдельно). По теореме Виета t_1t_2=A, то есть (32)^(x_1+x_2)=(32)^(a), откуда a=x_1+x_2in Z. Второе соотношение Виета даёт t_1+t_2=(32)^(x_1)+(32)^(x_2)=(3A+8)/(5)=35(32)^(x_1+x_2)+85. Перебор целых x_1<= x_2 показывает, что это равенство выполняется единственным образом — при x_1=0, x_2=1: тогда t_1+t_2=1+32=52 и 35(32)^(1)+85=(9)/(10)+85=52. Этому отвечает a=0+1=1. При увеличении показателей правая часть растёт пропорционально (32)^(x_1+x_2) быстрее, чем левая (32)^(x_1)+(32)^(x_2), а при их уменьшении правая стремится к 85 снизу — поэтому других целочисленных пар нет. Случай двойного корня первого множителя отвечает нулю дискриминанта: 9A^(2)-52A+64=0, то есть A=(16)/(9) или A=4. Тогда a=_(3/2)(16)/(9)~1,42 либо a=_(3/2)4~3,42, а сам корень x= a2 равен примерно 0,71 или 1,71 — не целый. Значит, двойной корень первого множителя целым не бывает, и первый множитель даёт допустимую (целочисленную и непустую) картину только при a=1. **Проверка a=1.** Уравнение (1) принимает вид 5t^(2)-(25)/(2)t+(15)/(2)=0, то есть 2t^(2)-5t+3=0, откуда t=1 или t=32, а значит x=0 или x=1 — оба целые. Остаётся убедиться, что при a=1 **второй** множитель не добавит нецелых корней (см. ниже). **Второй множитель.** Так как (32)^(-2)=49, (32)^(-3)=(8)/(27), (32)^(-5)=(32)/(243), он равен 49t^(2)+(8)/(27)*(A^(2))/(t^(2))-(128)/(243)A^(2)+2. Положим T=t^(2)=(32)^(2x)>0 и умножим на 94 T>0; получаем равносильное уравнение T^(2)+(92-(32)/(27)A^(2))T+23A^(2)=0. 2 Эта функция тоже строго выпукла по x (минимум при x= a2-14), так что корней снова 0, 1 или 2. Пусть у второго множителя есть целые корни x_1<= x_2. По теореме Виета T_1T_2=23A^(2), то есть (32)^(2x_1+2x_2)=23(32)^(2a)=(32)^(2a-1), откуда 2x_1+2x_2=2a-1, то есть a=x_1+x_2+12 — **полуцелое**. Второе соотношение Виета T_1+T_2=(32)/(27)A^(2)-92 при переборе целых x_1<= x_2 выполнимо лишь при x_1=x_2=1 (совпавшие корни, то есть двойной корень), чему отвечает a=1+1+12=52. **Проверка a=52.** Тогда A=(32)^(5/2)=(96)/(8), A^(2)=(32)^(5)=(243)/(32). Подставляя в (2): T^(2)+(92-(32)/(27)*(243)/(32))T+23*(243)/(32)=T^(2)-92T+(81)/(16)=(T-94)^(2)=0, то есть T=94=(32)^(2), значит x=1 — целое (двойной корень). При этом первый множитель при a=52 корней не имеет: его дискриминант 9A^(2)-52A+64=(4235)/(32)-(1176)/(2)~-10,95<0. Поэтому единственное решение уравнения — x=1, оно целое; набор решений непуст. Условие выполнено. **Возврат к проверке a=1.** Минимум второго множителя достигается при x= a2-14=14 и равен (после подстановки A=32) 49(32)^(1/2)+(8)/(27)*((3/2)^(2))/((3/2)^(1/2))-(128)/(243)(32)^(2)+2=(22)/(27)+(46)/(9)~1,90>0, то есть при a=1 второй множитель положителен и корней не даёт. Следовательно, при a=1 множество решений есть в точности 0;1 — оба числа целые, набор непуст. **Почему других значений a нет.** Целые корни могут появиться только в найденных точках: у первого множителя целочисленность пары корней принудительно даёт ain Z и затем единственное a=1, а его двойной корень нецел; у второго множителя целочисленность принудительно даёт полуцелое a и затем единственное a=52, причём другой случай его двойного корня (A=(96)/(16), a~0,79) даёт x~0,15 — нецел. При любом другом a тот множитель, у которого есть вещественный корень, даёт нецелое x (показатель _(3/2)t иррационален), что нарушает условие, либо вещественных корней нет вовсе. Таким образом, годятся ровно два значения параметра. **Ответ:** a=1 и a=52.

\(1;\ \dfrac{5}{2}\)