Найти все корни уравнения cos xsin(x)/(4)+(9)/(10)sin x+2sin(x)/(4)cos(x)/(2)+sin(x)/(4)-(1)/(2)cos(x)/(4)-(9)/(20)=0, принадлежащие отрезку [-(9)/(2)pi;-(3)/(2)pi].

Требуется найти корни уравнения cos xsin(x)/(4)+(9)/(10)sin x+2sin(x)/(4)cos(x)/(2)+sin(x)/(4)-(1)/(2)cos(x)/(4)-(9)/(20)=0, лежащие на отрезке [-(9)/(2)pi;-(3)/(2)pi]. Область определения — вся числовая прямая, так что ограничений ОДЗ нет; всё дело в преобразовании левой части. **Преобразование произведений в суммы.** Применим формулы произведения тригонометрических функций. Для первого слагаемого: cos xsin(x)/(4)=12(sin(5x)/(4)-sin(3x)/(4)). Для третьего слагаемого: 2sin(x)/(4)cos(x)/(2)=sin(3x)/(4)-sin(x)/(4). Подставим эти выражения в уравнение. Слагаемые -12sin(3x)/(4) и +sin(3x)/(4) дают +12sin(3x)/(4), а -sin(x)/(4) сокращается с одиночным +sin(x)/(4). Получаем 12sin(5x)/(4)+12sin(3x)/(4)+(9)/(10)sin x-12cos(x)/(4)-(9)/(20)=0. **Свёртка суммы синусов в произведение.** По формуле суммы синусов 12(sin(5x)/(4)+sin(3x)/(4))=sin(5x4+3x4)/(2)cos(5x4-3x4)/(2)=sin xcos(x)/(4). Уравнение принимает вид sin xcos(x)/(4)+(9)/(10)sin x-12cos(x)/(4)-(9)/(20)=0. **Разложение на множители.** Сгруппируем: sin x(cos(x)/(4)+(9)/(10))-12(cos(x)/(4)+(9)/(10))=0, то есть (cos(x)/(4)+(9)/(10))(sin x-12)=0. (Тождественность этого разложения исходной левой части проверена символьно, см. самопроверку.) Произведение равно нулю, когда обращается в нуль хотя бы один множитель. Разберём оба случая и отберём корни на отрезке [-(9)/(2)pi;-(3)/(2)pi]. **Случай 1: sin x=12.** Решения x=(pi)/(6)+2pi k или x=(5pi)/(6)+2pi k, kinZ. Отрезок [-(9pi)/(2);-(3pi)/(2)] в численном виде есть примерно [-14,137;-4,712]. Подбираем целые k: - из серии x=(pi)/(6)+2pi k: при k=-3 получаем x=(pi)/(6)-6pi=-(35pi)/(6)~-18,3 (вне отрезка); при k=-2 получаем x=(pi)/(6)-4pi=-(23pi)/(6)~-12,04 (входит); при k=-1 получаем x=-(11pi)/(6)~-5,76 (входит); при k=0 уже положителен (вне); - из серии x=(5pi)/(6)+2pi k: при k=-2 получаем x=(5pi)/(6)-4pi=-(19pi)/(6)~-9,95 (входит); соседние значения (5pi)/(6)-6pi=-(31pi)/(6)~-16,2 и (5pi)/(6)-2pi=-(7pi)/(6)~-3,67 лежат вне отрезка. Итого из первого случая: x=-(23pi)/(6), x=-(19pi)/(6), x=-(11pi)/(6). **Случай 2: cos(x)/(4)=-(9)/(10).** Удобно ввести t=(x)/(4). Когда x пробегает [-(9pi)/(2);-(3pi)/(2)], переменная t пробегает [-(9pi)/(8);-(3pi)/(8)], то есть примерно [-3,534;-1,178]. Решения уравнения cos t=-(9)/(10): t=+-arccos(-(9)/(10))+2pi n, ninZ. Обозначим A=arccos(-(9)/(10))~2,6906 (это число лежит между (pi)/(2) и pi, так как косинус отрицателен). Длина отрезка для t равна (3pi)/(4)<2pi, поэтому из каждой серии в нём может оказаться не более одного значения. Проверяем: - t=-A~-2,6906 — попадает в [-3,534;-1,178] (подходит); - t=+A~2,69, а также t=A-2pi~-3,59 и t=-A-2pi~-8,97 — все вне отрезка. Значит в этом случае единственное значение t=-A, откуда x=4t=-4arccos(-(9)/(10))~-10,762. Это число лежит между -(23pi)/(6)~-12,04 и -(19pi)/(6)~-9,95, то есть внутри отрезка. **Ответ.** На отрезке [-(9)/(2)pi;-(3)/(2)pi] уравнение имеет ровно четыре корня: x=-(23pi)/(6), x=-(19pi)/(6), x=-(11pi)/(6), x=-4arccos(-(9)/(10)).

\(-\dfrac{23\pi}{6},\ -\dfrac{19\pi}{6},\ -\dfrac{11\pi}{6},\ -4\arccos\left(-\dfrac{9}{10}\right)\)