Перейти к основному содержимому
  1. Математика
  2. ДВИ МГУ (математика)
  3. Задачи
  4. №18175

Задача №18175

Сложно

Задача #18175

Тригонометрические уравнения•10 баллов

Проверить решение?

Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка

Решай похожие задачи

Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения

#17742

Задача по теме "Тригонометрические уравнения"

Средне
#17510

Задача по теме "Тригонометрические уравнения"

Средне
#17644

Задача по теме "Тригонометрические уравнения"

Средне

Информация

ЭкзаменЕГЭ
Часть

2

Раздел

Алгебра

Тип задачи№17 Уравнение
ТемаТригонометрические уравнения
ИсточникМехмат МГУ, Олимпиада «Абитуриент-2000», март (механико-математический факультет МГУ)
Откуда задача

Мехмат МГУ (архив)

Теги
Основные тригонометрические тождестваТригонометрические уравненияПреобразования тригонометрических выраженийТригонометрические формулы суммы или разности аргументов

Найти все корни уравнения

cosxsin4x​+109​sinx+2sin4x​cos2x​+sin4x​−21​cos4x​−209​=0,

принадлежащие отрезку [−29​π;−23​π].

Требуется найти корни уравнения

cosxsin4x​+109​sinx+2sin4x​cos2x​+sin4x​−21​cos4x​−209​=0,

лежащие на отрезке [−29​π;−23​π]. Область определения — вся числовая прямая, так что ограничений ОДЗ нет; всё дело в преобразовании левой части.

Преобразование произведений в суммы. Применим формулы произведения тригонометрических функций.

Для первого слагаемого:

cosxsin4x​=21​(sin45x​−sin43x​).

Для третьего слагаемого:

2sin4x​cos2x​=sin43x​−sin4x​.

Подставим эти выражения в уравнение. Слагаемые −21​sin43x​ и +sin43x​ дают +21​sin43x​, а −sin4x​ сокращается с одиночным +sin4x​. Получаем

21​sin45x​+21​sin43x​+109​sinx−21​cos4x​−209​=0.

Свёртка суммы синусов в произведение. По формуле суммы синусов

21​(sin45x​+sin43x​)=sin245x​+43x​​cos245x​−43x​​=sinxcos4x​.

Уравнение принимает вид

sinxcos4x​+109​sinx−21​cos4x​−209​=0.

Разложение на множители. Сгруппируем:

sinx(cos4x​+109​)−21​(cos4x​+109​)=0,

то есть

(cos4x​+109​)(sinx−21​)=0.

(Тождественность этого разложения исходной левой части проверена символьно, см. самопроверку.)

Произведение равно нулю, когда обращается в нуль хотя бы один множитель. Разберём оба случая и отберём корни на отрезке [−29​π;−23​π].

Случай 1: sinx=21​. Решения

x=6π​+2πkилиx=65π​+2πk,k∈Z.

Отрезок [−29π​;−23π​] в численном виде есть примерно [−14,137;−4,712]. Подбираем целые k:

  • из серии x=6π​+2πk: при k=−3 получаем x=6π​−6π=−635π​≈−18,3 (вне отрезка); при k=−2 получаем x=6π​−4π=−623π​≈−12,04 (входит); при k=−1 получаем x=−611π​≈−5,76 (входит); при k=0 уже положителен (вне);
  • из серии x=65π​+2πk: при k=−2 получаем x=65π​−4π=−619π​≈−9,95 (входит); соседние значения 65π​−6π=−631π​≈−16,2 и 65π​−2π=−67π​≈−3,67 лежат вне отрезка.

Итого из первого случая: x=−623π​,x=−619π​,x=−611π​.

Случай 2: cos4x​=−109​. Удобно ввести t=4x​. Когда x пробегает [−29π​;−23π​], переменная t пробегает [−89π​;−83π​], то есть примерно [−3,534;−1,178]. Решения уравнения cost=−109​:

t=±arccos(−109​)+2πn,n∈Z.

Обозначим A=arccos(−109​)≈2,6906 (это число лежит между 2π​ и π, так как косинус отрицателен). Длина отрезка для t равна 43π​<2π, поэтому из каждой серии в нём может оказаться не более одного значения. Проверяем:

  • t=−A≈−2,6906 — попадает в [−3,534;−1,178] (подходит);
  • t=+A≈2,69, а также t=A−2π≈−3,59 и t=−A−2π≈−8,97 — все вне отрезка.

Значит в этом случае единственное значение t=−A, откуда

x=4t=−4arccos(−109​)≈−10,762.

Это число лежит между −623π​≈−12,04 и −619π​≈−9,95, то есть внутри отрезка.

Ответ. На отрезке [−29​π;−23​π] уравнение имеет ровно четыре корня:

x=−623π​,x=−619π​,x=−611π​,x=−4arccos(−109​).​