Решить неравенство (|x-4|-|x-1|)/(|x-3|-|x-2|)<(|x-3|+|x-2|)/(|x-4|).

Требуется решить неравенство (|x-4|-|x-1|)/(|x-3|-|x-2|)<(|x-3|+|x-2|)/(|x-4|). **Область определения.** Знаменатели не должны обращаться в нуль. Правый знаменатель: |x-4|!= 0, то есть x!= 4. Левый знаменатель: |x-3|-|x-2|!= 0. Равенство |x-3|=|x-2| означает равноудалённость точки x от 3 и от 2, то есть x=(2+3)/(2)=(5)/(2). Значит x!=(5)/(2). Итак, ОДЗ: все x, кроме x=52 и x=4. **Метод.** Перенесём всё в левую часть и рассмотрим разность F(x)=(|x-4|-|x-1|)/(|x-3|-|x-2|)-(|x-3|+|x-2|)/(|x-4|). Нужно найти, где F(x)<0. Модули «переключаются» в точках 1,2,3,4; к ним добавляется точка 52, где обнуляется левый знаменатель. Эти точки разбивают числовую прямую на промежутки, на каждом из которых все модули раскрываются однозначно, и выражение становится обычной рациональной функцией. Раскроем модули по знакам x-1, x-2, x-3, x-4 на каждом промежутке. **Промежуток x<1.** Все четыре разности отрицательны: |x-1|=1-x, |x-2|=2-x, |x-3|=3-x, |x-4|=4-x. Тогда |x-4|-|x-1|=(4-x)-(1-x)=3, |x-3|-|x-2|=(3-x)-(2-x)=1, |x-3|+|x-2|=(3-x)+(2-x)=5-2x, |x-4|=4-x. Поэтому F(x)=(3)/(1)-(5-2x)/(4-x)=(3(4-x)-(5-2x))/(4-x)=(7-x)/(4-x)=(x-7)/(x-4). При x<1 имеем x-7<0 и x-4<0, значит F(x)>0. Решений нет. **Промежуток 1<x<2.** Здесь x-1>0, остальные три разности отрицательны: |x-1|=x-1, |x-2|=2-x, |x-3|=3-x, |x-4|=4-x. Тогда |x-4|-|x-1|=(4-x)-(x-1)=5-2x, |x-3|-|x-2|=(3-x)-(2-x)=1, |x-3|+|x-2|=(3-x)+(2-x)=5-2x, |x-4|=4-x, F(x)=(5-2x)-(5-2x)/(4-x)=(5-2x)*((4-x)-1)/(4-x)=(5-2x)*(3-x)/(4-x). На промежутке 1<x<2 множители: 5-2x>0 (так как x<52), 3-x>0, 4-x>0. Поэтому F(x)>0. Решений нет. **Промежуток 2<x<3 (с выколотой точкой x=52).** Теперь x-1>0, x-2>0, а x-3<0, x-4<0: |x-1|=x-1, |x-2|=x-2, |x-3|=3-x, |x-4|=4-x. Тогда |x-4|-|x-1|=(4-x)-(x-1)=5-2x, |x-3|-|x-2|=(3-x)-(x-2)=5-2x, и левая дробь равна (5-2x)/(5-2x)=1 (при x!=52, где знаменатель обнуляется). Далее |x-3|+|x-2|=(3-x)+(x-2)=1, |x-4|=4-x, F(x)=1-(1)/(4-x)=((4-x)-1)/(4-x)=(3-x)/(4-x)=(x-3)/(x-4). На промежутке 2<x<3: x-3<0 и x-4<0, значит F(x)>0. Решений нет (точка x=52 исключена из ОДЗ и в любом случае дала бы F>0 на остальной части промежутка). **Промежуток 3<x<4.** Здесь x-1>0, x-2>0, x-3>0, но x-4<0: |x-1|=x-1, |x-2|=x-2, |x-3|=x-3, |x-4|=4-x. Тогда |x-4|-|x-1|=(4-x)-(x-1)=5-2x, |x-3|-|x-2|=(x-3)-(x-2)=-1, |x-3|+|x-2|=(x-3)+(x-2)=2x-5, |x-4|=4-x, F(x)=(5-2x)/(-1)-(2x-5)/(4-x)=(2x-5)-(2x-5)/(4-x)=(2x-5)*((4-x)-1)/(4-x)=(2x-5)*(3-x)/(4-x). Приведём знак к стандартному виду: F(x)=((2x-5)(3-x))/(4-x)=((2x-5)(x-3))/(x-4). На промежутке 3<x<4: 2x-5>0 (ибо x>52), x-3>0, а x-4<0. Числитель положителен, знаменатель отрицателен, значит F(x)<0. **Весь промежуток (3;4) входит в ответ.** **Промежуток x>4.** Все четыре разности положительны: |x-1|=x-1, |x-2|=x-2, |x-3|=x-3, |x-4|=x-4. Тогда |x-4|-|x-1|=(x-4)-(x-1)=-3, |x-3|-|x-2|=(x-3)-(x-2)=-1, левая дробь равна (-3)/(-1)=3; далее |x-3|+|x-2|=(x-3)+(x-2)=2x-5, |x-4|=x-4, F(x)=3-(2x-5)/(x-4)=(3(x-4)-(2x-5))/(x-4)=(x-7)/(x-4). При x>4 знаменатель x-4>0, поэтому знак F совпадает со знаком числителя x-7. Неравенство F(x)<0 выполняется при x<7. С учётом x>4 получаем 4<x<7. **Промежуток (4;7) входит в ответ** (точки x=4 нет в ОДЗ, точка x=7 даёт F=0 и не годится). **Проверка граничных точек.** В точках x=3 и x=7 разность F обращается в нуль (неравенство строгое, поэтому они не входят); точки x=52 и x=4 исключены из ОДЗ. Внутри (3;4) и (4;7) неравенство строго выполнено. **Объединяя результаты по всем промежуткам**, получаем множество решений (3;4)U(4;7).

\((3;4)\cup(4;7)\)