Задача №18173

Решить неравенство

$$\frac{|x-4|-|x-1|}{|x-3|-|x-2|}<\frac{|x-3|+|x-2|}{|x-4|}.$$

Требуется решить неравенство

$$\frac{|x-4|-|x-1|}{|x-3|-|x-2|}<\frac{|x-3|+|x-2|}{|x-4|}.$$

Область определения. Знаменатели не должны обращаться в нуль.

Правый знаменатель: $|x-4|\ne 0\text{,}$ то есть $x\ne 4\text{.}$

Левый знаменатель: $|x-3|-|x-2|\ne 0\text{.}$ Равенство $|x-3|=|x-2|$ означает равноудалённость точки $x$ от $3$ и от $2\text{,}$ то есть $x=\frac{2+3}{2}=\frac{5}{2}\text{.}$ Значит $x\ne \frac{5}{2}\text{.}$

Итак, ОДЗ: все $x\text{,}$ кроме $x=\frac{5}{2}$ и $x=4\text{.}$

Метод. Перенесём всё в левую часть и рассмотрим разность

$$F(x)=\frac{|x-4|-|x-1|}{|x-3|-|x-2|}-\frac{|x-3|+|x-2|}{|x-4|}.$$

Нужно найти, где $F(x)<0\text{.}$ Модули «переключаются» в точках $1,2,3,4\text{;}$ к ним добавляется точка $\frac{5}{2}\text{,}$ где обнуляется левый знаменатель. Эти точки разбивают числовую прямую на промежутки, на каждом из которых все модули раскрываются однозначно, и выражение становится обычной рациональной функцией. Раскроем модули по знакам $x-1,x-2,x-3,x-4$ на каждом промежутке.

Промежуток $x<1\text{.}$ Все четыре разности отрицательны: $|x-1|=1-x\text{,}$ $|x-2|=2-x\text{,}$ $|x-3|=3-x\text{,}$ $|x-4|=4-x\text{.}$ Тогда

$$|x-4|-|x-1|=(4-x)-(1-x)=3,|x-3|-|x-2|=(3-x)-(2-x)=1,$$ $$|x-3|+|x-2|=(3-x)+(2-x)=5-2x,|x-4|=4-x.$$

Поэтому

$$F(x)=\frac{3}{1}-\frac{5-2x}{4-x}=\frac{3(4-x)-(5-2x)}{4-x}=\frac{7-x}{4-x}=\frac{x-7}{x-4}.$$

При $x<1$ имеем $x-7<0$ и $x-4<0\text{,}$ значит $F(x)>0\text{.}$ Решений нет.

Промежуток $1<x<2\text{.}$ Здесь $x-1>0\text{,}$ остальные три разности отрицательны: $|x-1|=x-1\text{,}$ $|x-2|=2-x\text{,}$ $|x-3|=3-x\text{,}$ $|x-4|=4-x\text{.}$ Тогда

$$|x-4|-|x-1|=(4-x)-(x-1)=5-2x,|x-3|-|x-2|=(3-x)-(2-x)=1,$$ $$|x-3|+|x-2|=(3-x)+(2-x)=5-2x,|x-4|=4-x,$$ $$F(x)=(5-2x)-\frac{5-2x}{4-x}=(5-2x)\cdot \frac{(4-x)-1}{4-x}=(5-2x)\cdot \frac{3-x}{4-x}.$$

На промежутке $1<x<2$ множители: $5-2x>0$ (так как $x<\frac{5}{2}$), $3-x>0\text{,}$ $4-x>0\text{.}$ Поэтому $F(x)>0\text{.}$ Решений нет.

Промежуток $2<x<3$ (с выколотой точкой $x=\frac{5}{2}$). Теперь $x-1>0,x-2>0\text{,}$ а $x-3<0,x-4<0\text{:}$ $|x-1|=x-1\text{,}$ $|x-2|=x-2\text{,}$ $|x-3|=3-x\text{,}$ $|x-4|=4-x\text{.}$ Тогда

$$|x-4|-|x-1|=(4-x)-(x-1)=5-2x,|x-3|-|x-2|=(3-x)-(x-2)=5-2x,$$

и левая дробь равна $\frac{5-2x}{5-2x}=1$ (при $x\ne \frac{5}{2}\text{,}$ где знаменатель обнуляется). Далее

$$|x-3|+|x-2|=(3-x)+(x-2)=1,|x-4|=4-x,$$ $$F(x)=1-\frac{1}{4-x}=\frac{(4-x)-1}{4-x}=\frac{3-x}{4-x}=\frac{x-3}{x-4}.$$

На промежутке $2<x<3\text{:}$ $x-3<0$ и $x-4<0\text{,}$ значит $F(x)>0\text{.}$ Решений нет (точка $x=\frac{5}{2}$ исключена из ОДЗ и в любом случае дала бы $F>0$ на остальной части промежутка).

Промежуток $3<x<4\text{.}$ Здесь $x-1>0,x-2>0,x-3>0\text{,}$ но $x-4<0\text{:}$ $|x-1|=x-1\text{,}$ $|x-2|=x-2\text{,}$ $|x-3|=x-3\text{,}$ $|x-4|=4-x\text{.}$ Тогда

$$|x-4|-|x-1|=(4-x)-(x-1)=5-2x,|x-3|-|x-2|=(x-3)-(x-2)=-1,$$ $$|x-3|+|x-2|=(x-3)+(x-2)=2x-5,|x-4|=4-x,$$ $$F(x)=\frac{5-2x}{-1}-\frac{2x-5}{4-x}=(2x-5)-\frac{2x-5}{4-x}=(2x-5)\cdot \frac{(4-x)-1}{4-x}=(2x-5)\cdot \frac{3-x}{4-x}.$$

Приведём знак к стандартному виду:

$$F(x)=\frac{(2x-5)(3-x)}{4-x}=\frac{(2x-5)(x-3)}{x-4}.$$

На промежутке $3<x<4\text{:}$ $2x-5>0$ (ибо $x>\frac{5}{2}$), $x-3>0\text{,}$ а $x-4<0\text{.}$ Числитель положителен, знаменатель отрицателен, значит $F(x)<0\text{.}$ Весь промежуток $(3;4)$ входит в ответ.

Промежуток $x>4\text{.}$ Все четыре разности положительны: $|x-1|=x-1\text{,}$ $|x-2|=x-2\text{,}$ $|x-3|=x-3\text{,}$ $|x-4|=x-4\text{.}$ Тогда

$$|x-4|-|x-1|=(x-4)-(x-1)=-3,|x-3|-|x-2|=(x-3)-(x-2)=-1,$$

левая дробь равна $\frac{-3}{-1}=3\text{;}$ далее

$$|x-3|+|x-2|=(x-3)+(x-2)=2x-5,|x-4|=x-4,$$ $$F(x)=3-\frac{2x-5}{x-4}=\frac{3(x-4)-(2x-5)}{x-4}=\frac{x-7}{x-4}.$$

При $x>4$ знаменатель $x-4>0\text{,}$ поэтому знак $F$ совпадает со знаком числителя $x-7\text{.}$ Неравенство $F(x)<0$ выполняется при $x<7\text{.}$ С учётом $x>4$ получаем $4<x<7\text{.}$ Промежуток $(4;7)$ входит в ответ (точки $x=4$ нет в ОДЗ, точка $x=7$ даёт $F=0$ и не годится).

Проверка граничных точек. В точках $x=3$ и $x=7$ разность $F$ обращается в нуль (неравенство строгое, поэтому они не входят); точки $x=\frac{5}{2}$ и $x=4$ исключены из ОДЗ. Внутри $(3;4)$ и $(4;7)$ неравенство строго выполнено.

Объединяя результаты по всем промежуткам, получаем множество решений

$$\boxed{(3;4)\cup (4;7)}.$$