Задача №18178

Вершины квадрата $PQRS$ со стороной $\frac{25}{4}$ лежат на сфере. Параллельные друг другу прямые проходят через точки $P\text{,}$ $Q\text{,}$ $R$ и $S$ и повторно пересекают сферу в точках $P_1\text{,}$ $Q_1\text{,}$ $R_1$ и $S_1$ соответственно. Известно, что $P{P}_1=2\text{,}$ $Q{Q}_1=10\text{,}$ $R{R}_1=6\text{.}$ Найти длину отрезка $S{S}_1\text{.}$

Пусть сфера имеет центр $O$ и радиус $R\text{,}$ а общее направление всех четырёх параллельных прямых задаётся единичным вектором $\mathbf{u}\text{.}$ Введём линейную функцию

равную проекции вектора $\overrightarrow{OX}$ на ось $\mathbf{u}\text{.}$

Длина хорды через её проекцию на ось. Пусть точка $X$ лежит на сфере, а прямая через $X$ в направлении $\mathbf{u}$ вторично пересекает сферу в точке $X_1=X+t\mathbf{u}\text{.}$ Подставляя в уравнение сферы $|X_1-O{|}^2=R^2$ и учитывая $|X-O{|}^2=R^2\text{,}$ получаем

откуда (для второй точки пересечения, $t\ne 0$) $t=-2\ell (X)\text{.}$ Значит,

Таким образом, длина каждого отрезка пропорциональна модулю значения линейной функции $\ell$ в исходной вершине. Из условия

и требуется найти $S{S}_1=2|\ell (S)|\text{.}$

Соотношение для квадрата. Диагонали квадрата $PQRS$ в порядке вершин пересекаются в общей середине, поэтому $P+R=Q+S\text{,}$ то есть $S=P+R-Q\text{.}$ Так как функция $\ell$ аффинна (линейна с точностью до постоянной), отсюда

Само по себе это даёт лишь несколько кандидатов в зависимости от знаков, поэтому нужен ещё один — геометрический — довод, фиксирующий знаки.

Ограничение на знаки из условия $|\mathbf{u}|=1\text{.}$ Введём в плоскости квадрата прямоугольные координаты $(s,t)$ с началом в $P\text{,}$ направив оси по сторонам $PQ$ и $PS\text{;}$ сторона равна $b=\frac{25}{4}\text{,}$ так что

Ограничение функции $\ell$ на плоскость квадрата — аффинная функция $\ell =\alpha s+\beta t+\gamma \text{.}$ Её градиент в этой плоскости есть проекция вектора $\mathbf{u}$ на плоскость квадрата, поэтому

Значения в трёх вершинах однозначно определяют $\alpha ,\beta ,\gamma \text{:}$

поскольку $\ell (Q)-\ell (P)=\alpha b$ и $\ell (R)-\ell (Q)=\beta b\text{.}$ Итак,

Перебираем знаки $\ell (P)=\pm 1,\ell (Q)=\pm 5,\ell (R)=\pm 3$ и проверяем условие ${\alpha }^2+{\beta }^2\le 1\text{.}$

Если знаки $\ell (P),\ell (Q),\ell (R)$ не совпадают, разности $\ell (Q)-\ell (P)$ и $\ell (R)-\ell (Q)$ по модулю слишком велики, и ${\alpha }^2+{\beta }^2>1$ — противоречие с $|\mathbf{u}|=1\text{.}$ Например, при $\ell (P)=1,\ell (Q)=5,\ell (R)=-3$ получаем $\alpha =\frac{16}{25}\cdot \frac{?}{}$… численно ${\alpha }^2+{\beta }^2$ превышает $1\text{.}$ Допустимы только два варианта — когда все три значения одного знака:

дающие $\alpha =\frac{4}{25}\cdot 4=0,64,\beta =-0,32$ (или противоположные), так что

При этом $u_z^2=1-{\alpha }^2-{\beta }^2=0,488>0$ — допустимое направление существует.

Вычисление $S{S}_1\text{.}$ В допустимом случае (с точностью до общего знака) $\ell (P)=1,\ell (Q)=5,\ell (R)=3\text{,}$ поэтому

и

Проверка реализуемостью. Возьмём $\mathbf{u}=(0,64,-0,32,\sqrt{0,488})\text{,}$ сферу радиуса $R=\sqrt{{\left(\frac{b}{\sqrt{2}}\right)}^2+c^2}\approx 5,27$ с центром на оси квадрата ($c\approx -2,86$). Тогда все вершины квадрата со стороной $\frac{25}{4}$ лежат на сфере, а хорды в направлении $\mathbf{u}$ дают ровно $P{P}_1=2,Q{Q}_1=10,R{R}_1=6$ и $S{S}_1=2\text{.}$ Конфигурация существует, ответ согласован.

Ответ: $S{S}_1=2\text{.}$