Вершины квадрата PQRS со стороной (25)/(4) лежат на сфере. Параллельные друг другу прямые проходят через точки P, Q, R и S и повторно пересекают сферу в точках P_1, Q_1, R_1 и S_1 соответственно. Известно, что PP_1=2, QQ_1=10, RR_1=6. Найти длину отрезка SS_1.

Пусть сфера имеет центр O и радиус R, а общее направление всех четырёх параллельных прямых задаётся единичным вектором u. Введём линейную функцию (X)=u*(X-O), равную проекции вектора OX на ось u. **Длина хорды через её проекцию на ось.** Пусть точка X лежит на сфере, а прямая через X в направлении u вторично пересекает сферу в точке X_1=X+tu. Подставляя в уравнение сферы |X_1-O|^2=R^2 и учитывая |X-O|^2=R^2, получаем |X-O|^2+2tu*(X-O)+t^2=R^2 t^2+2t(X)=0, откуда (для второй точки пересечения, t0) t=-2(X). Значит, XX_1=|t|=2|(X)|. Таким образом, длина каждого отрезка пропорциональна модулю значения линейной функции в исходной вершине. Из условия |(P)|=(PP_1)/(2)=1, |(Q)|=(QQ_1)/(2)=5, |(R)|=(RR_1)/(2)=3, и требуется найти SS_1=2|(S)|. **Соотношение для квадрата.** Диагонали квадрата PQRS в порядке вершин пересекаются в общей середине, поэтому P+R=Q+S, то есть S=P+R-Q. Так как функция аффинна (линейна с точностью до постоянной), отсюда (S)=(P)+(R)-(Q). Само по себе это даёт лишь несколько кандидатов в зависимости от знаков, поэтому нужен ещё один — геометрический — довод, фиксирующий знаки. **Ограничение на знаки из условия |u|=1.** Введём в плоскости квадрата прямоугольные координаты (s,t) с началом в P, направив оси по сторонам PQ и PS; сторона равна b=(25)/(4), так что P=(0,0), Q=(b,0), R=(b,b), S=(0,b). Ограничение функции на плоскость квадрата — аффинная функция =alpha s+beta t+gamma. Её градиент в этой плоскости есть проекция вектора u на плоскость квадрата, поэтому alpha^2+beta^2=||^2<=|u|^2=1. Значения в трёх вершинах однозначно определяют alpha,beta,gamma: gamma=(P), alpha b=(Q)-(P), beta b=(R)-(Q), поскольку (Q)-(P)=alpha b и (R)-(Q)=beta b. Итак, alpha=((Q)-(P))/(b), beta=((R)-(Q))/(b), b=(25)/(4). Перебираем знаки (P)=+-1, (Q)=+-5, (R)=+-3 и проверяем условие alpha^2+beta^21. Если знаки (P),(Q),(R) **не** совпадают, разности (Q)-(P) и (R)-(Q) по модулю слишком велики, и alpha^2+beta^2>1 — противоречие с |u|=1. Например, при (P)=1, (Q)=5, (R)=-3 получаем alpha=(16)/(25)*(?)/()… численно alpha^2+beta^2 превышает 1. Допустимы только два варианта — когда все три значения одного знака: ((P),(Q),(R))=(1,5,3) или (-1,-5,-3), дающие alpha=(4)/(25)* 4=0,64, beta=-0,32 (или противоположные), так что alpha^2+beta^2=0,64^2+0,32^2=0,5121. При этом u_z^2=1-alpha^2-beta^2=0,488>0 — допустимое направление существует. **Вычисление SS_1.** В допустимом случае (с точностью до общего знака) (P)=1, (Q)=5, (R)=3, поэтому (S)=(P)+(R)-(Q)=1+3-5=-1, и SS_1=2|(S)|=2*1=2. **Проверка реализуемостью.** Возьмём u=(0,64,-0,32,sqrt(0,488)), сферу радиуса R=sqrt(((b)/(2))^2+c^2)~5,27 с центром на оси квадрата (c~-2,86). Тогда все вершины квадрата со стороной (25)/(4) лежат на сфере, а хорды в направлении u дают ровно PP_1=2, QQ_1=10, RR_1=6 и SS_1=2. Конфигурация существует, ответ согласован. **Ответ:** SS_1=2.