Задача №18174

О первых семи членах убывающей арифметической прогрессии известно, что сумма пятых степеней всех этих членов равна нулю, а сумма их четвёртых степеней равна 51. Найти седьмой член этой прогрессии.

Запишем семь членов убывающей арифметической прогрессии симметрично относительно её центрального (четвёртого) члена. Обозначим четвёртый член через $m\text{,}$ а разность прогрессии через $d\text{;}$ тогда члены прогрессии суть

Поскольку прогрессия убывающая, $d<0$ (и, в частности, $d\ne 0$). Седьмой (последний) член равен $m+3d\text{.}$

Сумма пятых степеней. При возведении в нечётную (пятую) степень и сложении слагаемые, симметричные относительно центра, дают вклады, удобно группируемые по парам $\pm kd\text{.}$ Прямое раскрытие даёт

По условию эта сумма равна нулю:

Рассмотрим второй множитель как квадратный трёхчлен относительно $m^2\text{:}$

Его корни относительно $m^2$ равны $m^2=(-20\pm \sqrt{260})d^2\text{.}$ Так как $\sqrt{260}<\sqrt{400}=20\text{,}$ оба числа $-20\pm \sqrt{260}$ отрицательны, поэтому при $d\ne 0$ выражение $m^4+40m^2{d}^2+140d^4$ строго положительно (оно представляет собой сумму положительных слагаемых при любом вещественном $m$ и $d\ne 0$). Значит, второй множитель в нуль обратиться не может, и равенство возможно лишь при

Итак, центральный (четвёртый) член прогрессии равен нулю — что естественно: у симметричной относительно центра прогрессии нечётные степенные суммы обращаются в нуль ровно тогда, когда центр равен нулю.

Сумма четвёртых степеней. При $m=0$ члены прогрессии суть $-3d,-2d,-d,0,d,2d,3d\text{,}$ и

(Тот же результат даёт общая формула ${\sum }_{k=-3}^3(m+kd{)}^4=7m^4+168m^2{d}^2+196d^4$ при $m=0\text{.}$) По условию эта сумма равна $51\text{:}$

Отсюда $d=\pm \sqrt[4]{\frac{51}{196}}\text{.}$ Так как прогрессия убывающая, берём отрицательное значение:

Седьмой член. При $m=0$ он равен

Численно $d=-\sqrt[4]{51/196}\approx -0,7142\text{,}$ прогрессия

действительно убывает; сумма пятых степеней её членов равна нулю (слагаемые попарно сокращаются), сумма четвёртых степеней равна $51\text{.}$

Ответ: седьмой член равен $-3\sqrt[4]{\frac{51}{196}}\approx -2,143\text{.}$