О первых семи членах убывающей арифметической прогрессии известно, что сумма пятых степеней всех этих членов равна нулю, а сумма их четвёртых степеней равна 51. Найти седьмой член этой прогрессии.

Запишем семь членов убывающей арифметической прогрессии симметрично относительно её центрального (четвёртого) члена. Обозначим четвёртый член через m, а разность прогрессии через d; тогда члены прогрессии суть m-3d, m-2d, m-d, m, m+d, m+2d, m+3d. Поскольку прогрессия убывающая, d<0 (и, в частности, d!= 0). Седьмой (последний) член равен m+3d. **Сумма пятых степеней.** При возведении в нечётную (пятую) степень и сложении слагаемые, симметричные относительно центра, дают вклады, удобно группируемые по парам +- kd. Прямое раскрытие даёт _(k=-3)^(3)(m+kd)^5=7m^5+280m^3d^2+980m d^4=7m(m^4+40m^2d^2+140d^4). По условию эта сумма равна нулю: 7m(m^4+40m^2d^2+140d^4)=0. Рассмотрим второй множитель как квадратный трёхчлен относительно m^2: m^4+40d^2* m^2+140d^4. Его корни относительно m^2 равны m^2=(-20+-sqrt(260))d^2. Так как sqrt(260)<sqrt(400)=20, оба числа -20+-sqrt(260) отрицательны, поэтому при d!= 0 выражение m^4+40m^2d^2+140d^4 строго положительно (оно представляет собой сумму положительных слагаемых при любом вещественном m и d!= 0). Значит, второй множитель в нуль обратиться не может, и равенство возможно лишь при m=0. Итак, центральный (четвёртый) член прогрессии равен нулю — что естественно: у симметричной относительно центра прогрессии нечётные степенные суммы обращаются в нуль ровно тогда, когда центр равен нулю. **Сумма четвёртых степеней.** При m=0 члены прогрессии суть -3d,-2d,-d,0,d,2d,3d, и _(k=-3)^(3)(kd)^4=2d^4(1^4+2^4+3^4)=2d^4(1+16+81)=196d^4. (Тот же результат даёт общая формула _(k=-3)^(3)(m+kd)^4=7m^4+168m^2d^2+196d^4 при m=0.) По условию эта сумма равна 51: 196d^4=51 d^4=(51)/(196). Отсюда d=+-[4](51)/(196). Так как прогрессия убывающая, берём отрицательное значение: d=-[4](51)/(196). **Седьмой член.** При m=0 он равен a_7=m+3d=3d=-3[4](51)/(196). Численно d=-[4]51/196~-0,7142, прогрессия 2,1426; 1,4284; 0,7142; 0; -0,7142; -1,4284; -2,1426 действительно убывает; сумма пятых степеней её членов равна нулю (слагаемые попарно сокращаются), сумма четвёртых степеней равна 51. **Ответ:** седьмой член равен -3[4](51)/(196)~-2,143.

\(-3\sqrt[4]{\dfrac{51}{196}}\)