Перпендикуляр к боковой стороне AB трапеции ABCD, проходящий через её середину K, пересекает сторону CD в точке L. Известно, что площадь четырёхугольника AKLD в пять раз больше площади четырёхугольника BKLC, CL=3, DL=15, KC=4. Найти длину отрезка KD.

В трапеции ABCD боковыми (непараллельными) сторонами служат AB и CD, а основаниями — AD BC; именно при таком расположении прямая KL (где K — середина AB, а L лежит на CD) разбивает трапецию на два четырёхугольника AKLD и BKLC, о которых идёт речь. **Опорные факты о прямой KL.** По условию KL AB и K — середина AB. Значит, при отражении относительно прямой KL точка A переходит в B (точки A и B симметричны относительно K вдоль направления AB, а KL этому направлению перпендикулярна и проходит через K). Отсюда сразу следует, что треугольники AKL и BKL равны: у них общий катет KL, равные катеты KA=KB и прямые углы при K. Поэтому [AKL]=[BKL]=:S. **Разбиение четырёхугольников.** Проведём диагонали AL и BL. Тогда [AKLD]=[AKL]+[ALD]=S+[ALD], [BKLC]=[BKL]+[BLC]=S+[BLC]. Условие [AKLD]=5[BKLC] даёт S+[ALD]=5(S+[BLC]), то есть [ALD]-5[BLC]=4S. 1 **Выражение площадей.** Обозначим через h_A и h_B расстояния от точек A и B до прямой CD. Так как L, D, C лежат на одной прямой CD и LD=15, LC=3, то [ALD]=12LD* h_A=(15)/(2)h_A, [BLC]=12LC* h_B=(3)/(2)h_B. Кроме того, в прямоугольном треугольнике AKL с прямым углом при K имеем S=12KA* KL. **Координаты для аккуратного завершения.** Примем прямую CD за ось абсцисс и поместим начало в точку L; направим ось так, что C=(3,0), D=(-15,0) (точки C и D лежат по разные стороны от L, ведь LC+LD=18=CD и L — внутренняя точка отрезка CD). Пусть K=(p,m), где m>0 — расстояние от K до прямой CD, а p — абсцисса K. Тогда KL^2=p^2+m^2. Поскольку K — середина AB, а A и B симметричны относительно K вдоль направления, перпендикулярного KL, точки A и B лежат по одну сторону от CD и h_A+h_B=2m, h_A-h_B=2* KA*(p)/(KL), (второе равенство — проекция вектора BA длины 2KA, направленного перпендикулярно KL, на нормаль к CD). Подставляя в (1): (15)/(2)h_A-5*(3)/(2)h_B=(15)/(2)(h_A-h_B)=4S=4*12KA* KL=2KA* KL. Заменяя h_A-h_B=(2KA* p)/(KL), получаем (15)/(2)*(2KA* p)/(KL)=2KA* KL (15p)/(KL)=2KL 2KL^2=15p. Так как KL^2=p^2+m^2, приходим к ключевому соотношению 2(p^2+m^2)=15p. 2 **Использование KC=4.** Точка C=(3,0), поэтому KC^2=(p-3)^2+m^2=16. 3 Вычтем: из (2) имеем p^2+m^2=(15)/(2)p; подставив в (3) разложение (p-3)^2+m^2=p^2+m^2-6p+9, получаем (15)/(2)p-6p+9=16 (3)/(2)p=7 p=(14)/(3). Тогда из (2): p^2+m^2=(15)/(2)*(14)/(3)=35, откуда m^2=35-(196)/(9)=(119)/(9)>0 (конфигурация существует, m вещественно). **Искомая длина.** Точка D=(-15,0), значит KD^2=(p+15)^2+m^2=((14)/(3)+15)^2+(35-(196)/(9))=((59)/(3))^2+(119)/(9)=(3481+119)/(9)=(3600)/(9)=400, поэтому KD=20. Проверка непротиворечивости: при найденных p=(14)/(3), m^2=(119)/(9) получаем KA=KB=(sqrt(85))/(3), KL=sqrt(35); все условия CL=3, DL=15, KC=4, KL AB, AD BC выполнены, а отношение площадей [AKLD]:[BKLC] равно ровно 5:1.

\(20\)