Задача №18176

Перпендикуляр к боковой стороне $AB$ трапеции $ABCD\text{,}$ проходящий через её середину $K\text{,}$ пересекает сторону $CD$ в точке $L\text{.}$ Известно, что площадь четырёхугольника $AKLD$ в пять раз больше площади четырёхугольника $BKLC\text{,}$ $CL=3\text{,}$ $DL=15\text{,}$ $KC=4\text{.}$ Найти длину отрезка $KD\text{.}$

В трапеции $ABCD$ боковыми (непараллельными) сторонами служат $AB$ и $CD\text{,}$ а основаниями — $AD\parallel BC\text{;}$ именно при таком расположении прямая $KL$ (где $K$ — середина $AB\text{,}$ а $L$ лежит на $CD$) разбивает трапецию на два четырёхугольника $AKLD$ и $BKLC\text{,}$ о которых идёт речь.

Опорные факты о прямой $KL\text{.}$ По условию $KL\perp AB$ и $K$ — середина $AB\text{.}$ Значит, при отражении относительно прямой $KL$ точка $A$ переходит в $B$ (точки $A$ и $B$ симметричны относительно $K$ вдоль направления $AB\text{,}$ а $KL$ этому направлению перпендикулярна и проходит через $K$). Отсюда сразу следует, что треугольники $AKL$ и $BKL$ равны: у них общий катет $KL\text{,}$ равные катеты $KA=KB$ и прямые углы при $K\text{.}$ Поэтому

Разбиение четырёхугольников. Проведём диагонали $AL$ и $BL\text{.}$ Тогда

Условие $[AKLD]=5[BKLC]$ даёт

Выражение площадей. Обозначим через $h_A$ и $h_B$ расстояния от точек $A$ и $B$ до прямой $CD\text{.}$ Так как $L\text{,}$ $D\text{,}$ $C$ лежат на одной прямой $CD$ и $LD=15\text{,}$ $LC=3\text{,}$ то

Кроме того, в прямоугольном треугольнике $AKL$ с прямым углом при $K$ имеем $S=\frac{1}{2}KA\cdot KL\text{.}$

Координаты для аккуратного завершения. Примем прямую $CD$ за ось абсцисс и поместим начало в точку $L\text{;}$ направим ось так, что $C=(3,0)\text{,}$ $D=(-15,0)$ (точки $C$ и $D$ лежат по разные стороны от $L\text{,}$ ведь $LC+LD=18=CD$ и $L$ — внутренняя точка отрезка $CD$). Пусть $K=(p,m)\text{,}$ где $m>0$ — расстояние от $K$ до прямой $CD\text{,}$ а $p$ — абсцисса $K\text{.}$ Тогда $K{L}^2=p^2+m^2\text{.}$

Поскольку $K$ — середина $AB\text{,}$ а $A$ и $B$ симметричны относительно $K$ вдоль направления, перпендикулярного $KL\text{,}$ точки $A$ и $B$ лежат по одну сторону от $CD$ и

(второе равенство — проекция вектора $\overrightarrow{BA}$ длины $2KA\text{,}$ направленного перпендикулярно $KL\text{,}$ на нормаль к $CD$). Подставляя в $(1)\text{:}$

Заменяя $h_A-h_B=\frac{2KA\cdot p}{KL}\text{,}$ получаем

Так как $K{L}^2=p^2+m^2\text{,}$ приходим к ключевому соотношению

Использование $KC=4\text{.}$ Точка $C=(3,0)\text{,}$ поэтому

Вычтем: из $(2)$ имеем $p^2+m^2=\frac{15}{2}p\text{;}$ подставив в $(3)$ разложение $(p-3{)}^2+m^2=p^2+m^2-6p+9\text{,}$ получаем

Тогда из $(2)\text{:}$ $p^2+m^2=\frac{15}{2}\cdot \frac{14}{3}=35\text{,}$ откуда $m^2=35-\frac{196}{9}=\frac{119}{9}>0$ (конфигурация существует, $m$ вещественно).

Искомая длина. Точка $D=(-15,0)\text{,}$ значит

поэтому

Проверка непротиворечивости: при найденных $p=\frac{14}{3}\text{,}$ $m^2=\frac{119}{9}$ получаем $KA=KB=\frac{\sqrt{85}}{3}\text{,}$ $KL=\sqrt{35}\text{;}$ все условия $CL=3\text{,}$ $DL=15\text{,}$ $KC=4\text{,}$ $KL\perp AB\text{,}$ $AD\parallel BC$ выполнены, а отношение площадей $[AKLD]:[BKLC]$ равно ровно $5:1\text{.}$