58:I[522016,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],""] 59:I[505014,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"default"] 5a:I[830789,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"CollectionDetailClient",1] 5b:T10a3,Все степени в неравенстве приведём к одному основанию $3$. Так как $27=3^3$, имеем $27^{2x+3}=3^{3(2x+3)}=3^{6x+9}$; кроме того $\dfrac{1}{9}=3^{-2}$. Раскроем квадрат в показателе: $(x+3)^2=x^2+6x+9$. Неравенство принимает вид \[3^{x^2+6x+9}+3^{-2}\leqslant 3^{x^2-2}+3^{6x+9}.\] Перенесём слагаемые так, чтобы слева и справа стояли разности с одинаковыми «добавками» к показателю $x^2$: \[3^{x^2+6x+9}-3^{6x+9}\leqslant 3^{x^2-2}-3^{-2}.\] В левой части вынесем общий множитель $3^{6x+9}$, а в правой — общий множитель $3^{-2}$: \[3^{6x+9}\left(3^{x^2}-1\right)\leqslant 3^{-2}\left(3^{x^2}-1\right).\] Здесь использованы тождества $3^{x^2+6x+9}=3^{6x+9}\cdot 3^{x^2}$ и $3^{x^2-2}=3^{-2}\cdot 3^{x^2}$. Перенося всё в одну сторону, получаем равносильное неравенство \[\left(3^{x^2}-1\right)\left(3^{6x+9}-3^{-2}\right)\leqslant 0.\] Исследуем знаки двух множителей. Первый множитель: показательная функция растёт, поэтому $3^{x^2}\geqslant 3^{0}=1$ при всех $x$ (так как $x^2\geqslant 0$), причём \[3^{x^2}-1\geqslant 0,\qquad 3^{x^2}-1=0\iff x^2=0\iff x=0.\] Значит, первый множитель неотрицателен всюду и обращается в нуль лишь в одной точке $x=0$. Второй множитель: ввиду монотонного возрастания функции $t\mapsto 3^{t}$ \[3^{6x+9}-3^{-2}\leqslant 0\iff 6x+9\leqslant -2\iff 6x\leqslant -11\iff x\leqslant -\frac{11}{6},\] причём равенство $3^{6x+9}-3^{-2}=0$ достигается ровно при $x=-\dfrac{11}{6}$. Произведение неотрицательного первого множителя и второго множителя не превосходит нуля в двух случаях. 1) Первый множитель обращается в нуль: тогда всё произведение равно $0$ независимо от знака второго множителя. Это даёт точку $x=0$ (при ней слева и справа стоит $0$, неравенство выполнено как равенство). 2) Первый множитель строго положителен (то есть $x\neq 0$), а второй множитель неположителен: $3^{6x+9}-3^{-2}\leqslant 0$, что равносильно $x\leqslant -\dfrac{11}{6}$. На этом луче условие $x\neq 0$ выполнено автоматически, так что подходит весь промежуток $\left(-\infty;\,-\dfrac{11}{6}\right]$. Правый конец $x=-\dfrac{11}{6}$ включается: там второй множитель равен нулю, и неравенство снова обращается в равенство. Остаётся проверить, что промежуток между $-\dfrac{11}{6}$ и $0$ (а также любое $x>0$) решением не является. Действительно, при $-\dfrac{11}{6}-2$); их произведение строго больше нуля, и нестрогое неравенство $\leqslant 0$ не выполнено. Объединяя оба случая, получаем \[\boxed{\,x\in\left(-\infty;\,-\frac{11}{6}\right]\cup\{0\}\,}.\] Точка $x=0$ — изолированное решение: ближайшие к ней точки слева (например, при $-\dfrac{11}{6}0,\qquad 1+|x+3|>0,\qquad 1-|x+3|>0.\] Первое условие даёт \(x>-\dfrac{7}{2}$. Второе выполнено всегда, поскольку $1+|x+3|\geqslant 1>0$. Третье равносильно $|x+3|<1$, то есть $-1-\dfrac{7}{2}$, получаем область определения \[-\frac{7}{2}0\) при всех $a$ (это сумма неотрицательного квадрата и положительного слагаемого). Поэтому корни всегда вещественные и различные. Пусть $n_1<00\quad\text{при всех }a \] (минимум равен \(\tfrac34$). Значит, графики $N$ и $D$ пересекаются только в точке $x=0$ (где $N=D=c\neq0$), и при $x>0$ выполнено $N(x)>D(x)$, а при $x<0$ — $N(x)0$ парабола $N$ лежит выше $D$, поэтому $N$ достигает нуля раньше, и $n_20$ строго, обе разности строгие и совпадений корней нет. Поэтому \[ L=(d_1-n_1)+(d_2-n_2)=(d_1+d_2)-(n_1+n_2). \] По теореме Виета $n_1+n_2=-(2a^2+6)$ и $d_1+d_2=-(a^2+7a-7)$, следовательно \[ L=-(a^2+7a-7)-\bigl(-(2a^2+6)\bigr)=(2a^2+6)-(a^2+7a-7)=a^2-7a+13. \] (Заметим, что это в точности тот же множитель $k$: суммарная длина интервалов решения равна $a^2-7a+13$.) **Условие задачи.** Требуется $L\ge1$: \[ a^2-7a+13\ge1\iff a^2-7a+12\ge0\iff (a-3)(a-4)\ge0. \] Парабола с ветвями вверх неотрицательна вне отрезка между корнями $3$ и $4$ (включая их): \[ a\in(-\infty;\,3]\cup[4;\,+\infty). \] При $a=3$ и $a=4$ суммарная длина равна ровно $1$ (условие «не меньше 1» выполнено, концы включаются), а при $a\in(3;4)$ она меньше $1$. **Ответ:** $a\in(-\infty;\,3]\cup[4;\,+\infty)$.60:T191a,Две данные плоскости пересекаются по прямой $ \ell $ и образуют двугранный угол; обозначим его величину через $ 2\alpha $, а биссекторную плоскость этого угла — через $ \beta $. Пусть $ \alpha\in\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right) $ — угол между биссекторной плоскостью и каждой из данных плоскостей. **Где лежат центры шаров.** Шар радиуса $ r $, касающийся обеих плоскостей, имеет центр, равноудалённый от них (на расстоянии $ r $), поэтому центр лежит в биссекторной плоскости $ \beta $. Найдём положение центра относительно ребра $ \ell $. Рассмотрим сечение, перпендикулярное ребру: данные плоскости дают две стороны угла $ 2\alpha $ с вершиной $ V $ на $ \ell $, а биссекторная плоскость — биссектрису. Центр $ O $ лежит на биссектрисе, причём перпендикуляр из $ O $ на сторону угла равен $ r $ и образует с биссектрисой угол $ \alpha $. Значит, расстояние от центра до ребра $ \ell $ (в плоскости $ \beta $) равно \[ d=\frac{r}{\sin\alpha}. \] **Координаты в биссекторной плоскости.** Введём в плоскости $ \beta $ две взаимно перпендикулярные оси: ось $ z $ вдоль ребра $ \ell $ и ось $ t $ — перпендикуляр к ребру (внутри $ \beta $). Тогда центр шара радиуса $ r $ имеет координаты $ (z,\,t) $ с $ t=\dfrac{r}{\sin\alpha} $. Поскольку обе оси ортогональны в пространстве, расстояние между центрами $ i $ и $ j $ равно $ \sqrt{(\Delta z)^2+(\Delta t)^2} $. **Условия попарного касания.** Шары касаются друг друга внешним образом, значит расстояние между центрами равно сумме радиусов: \[ (\Delta z_{ij})^2+\Big(\tfrac{r_i}{\sin\alpha}-\tfrac{r_j}{\sin\alpha}\Big)^2=(r_i+r_j)^2, \] откуда, обозначив $ s=\sin\alpha $, \[ (\Delta z_{ij})^2=(r_i+r_j)^2-\frac{(r_i-r_j)^2}{s^{2}}. \] Подставляя радиусы $ r_1=1,\ r_2=2,\ r_3=5 $, получаем для проекций центров на ребро: \[ (\Delta z_{12})^2=9-\frac{1}{s^{2}},\qquad (\Delta z_{13})^2=36-\frac{16}{s^{2}},\qquad (\Delta z_{23})^2=49-\frac{9}{s^{2}}. \] **Условие коллинеарности проекций.** Три центра лежат в одной плоскости $ \beta $, и их проекции на прямую $ \ell $ — три точки на одной прямой. Обозначим $ a=\Delta z_{12},\ b=\Delta z_{13},\ c=\Delta z_{23} $ (длины). Числовая прикидка: при допустимых $ s $ имеем $ a,b0 $, $ 36-16/s^2=\dfrac{484}{49}>0 $, $ 49-9/s^2=\dfrac{1681}{49}>0 $, и при возведении в квадрат правая часть $ 2+4u>0 $ — посторонних решений не возникло. Значит конфигурация существует и определена однозначно. **Расстояние между точками касания первого шара.** Рассмотрим первый шар (радиус $ r=1 $) и сечение, перпендикулярное ребру, проходящее через его центр $ O $. Точки касания $ T_1,T_2 $ этого шара с плоскостями — основания перпендикуляров из $ O $ на стороны угла $ 2\alpha $. В прямоугольных треугольниках $ OVT_1 $ и $ OVT_2 $ (где $ V $ — вершина угла на ребре, $ \angle OVT_i=\alpha $) имеем $ OT_i=r $, поэтому \[ VT_i=\frac{OT_i}{\tan\alpha}=r\,\mathrm{ctg}\,\alpha,\qquad VT_1=VT_2. \] Точки $ T_1,T_2 $ симметричны относительно биссектрисы, а $ \angle T_1VT_2=2\alpha $. Из равнобедренного треугольника $ T_1VT_2 $: \[ T_1T_2=2\,VT_1\sin\alpha=2\,r\,\mathrm{ctg}\,\alpha\cdot\sin\alpha=2r\cos\alpha. \] Так как $ \cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\sqrt{1-\dfrac{49}{80}}=\sqrt{\dfrac{31}{80}}=\dfrac{\sqrt{155}}{20} $, то при $ r=1 $ \[ T_1T_2=2\cdot 1\cdot\frac{\sqrt{155}}{20}=\frac{\sqrt{155}}{10}=\frac12\sqrt{\frac{31}{5}}. \] **Ответ:** искомое расстояние равно \[ \boxed{\,\dfrac{\sqrt{155}}{10}=\dfrac12\sqrt{\dfrac{31}{5}}\approx 1{,}245\,.} \]41:[["$","script",null,{"id":"collection-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"Course\",\"name\":\"Мехмат МГУ — июль 1999\",\"description\":\"Коллекция \\\"Мехмат МГУ — июль 1999\\\" для подготовки к экзамену. Содержит 6 задач. Готовьтесь к экзаменам онлайн.\",\"url\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections/mehmat-1999-07\",\"provider\":{\"@type\":\"Organization\",\"name\":\"SdamEx\",\"url\":\"https://sdamex.com\"},\"educationalLevel\":{\"@type\":\"EducationalOccupationalCredential\",\"credentialCategory\":\"ЕГЭ\"},\"hasCourseInstance\":{\"@type\":\"CourseInstance\",\"courseMode\":\"online\"},\"dateCreated\":\"2026-06-10T01:00:00.000Z\"}"}}],["$","script",null,{"id":"breadcrumb-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Математика\",\"item\":\"https://sdamex.com/math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"ДВИ МГУ (математика)\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":3,\"name\":\"Коллекции\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":4,\"name\":\"Мехмат МГУ — июль 1999\"}]}"}}],["$","nav",null,{"aria-label":"Хлебные крошки","className":"min-w-0 mb-4","children":["$","ol",null,{"className":"flex flex-wrap items-center gap-x-1 gap-y-0.5 text-xs text-muted-foreground","children":[["$","li","Математика-0",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[false,["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Математика"}]]}],["$","li","ДВИ МГУ (математика)-1",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":[["path",{"d":"m9 18 6-6-6-6","key":"mthhwq"}]],"className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"ДВИ МГУ (математика)"}]]}],["$","li","Коллекции-2",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math/collections","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Коллекции"}]]}],["$","li","Мехмат МГУ — июль 1999-3",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","span",null,{"className":"truncate text-foreground/80","aria-current":"page","children":"Мехмат МГУ — июль 1999"}]]}]]}]}],["$","$L5a",null,{"subject":"math","examCode":"dvi-math","collectionId":"mehmat-1999-07","serverCollection":{"id":"5f1fdcdf-f55a-4e91-b8e8-96516b54103f","name":"Мехмат МГУ — июль 1999","code":"mehmat-1999-07","collection_type":"system_variant","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","exam_code":"dvi-math","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","hidden_problem_count":0,"session":"07","session_label":"Письменный экзамен, 1999 год (июль)","solved_count":0,"source":"Мехмат МГУ (архив, mathus.ru)","source_url":"https://mathus.ru/olymp/mm1999-07.pdf","total_problem_count":6,"variant_batch":"mehmat-1993-2010-v1","visible_problem_count":6,"year":1999},"created_at":"2026-06-10T01:00:00Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem_count":6,"visible_count":6,"total_count":6,"pdf_unlocked":false},"serverCollectionProblems":{"items":[{"problem_id":"b7b9fed5-3c08-49aa-bf48-cfe098533163","collection_id":"5f1fdcdf-f55a-4e91-b8e8-96516b54103f","display_order":1,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"b7b9fed5-3c08-49aa-bf48-cfe098533163","short_id":18167,"task_number":16,"topic_id":"5bec8268-22ed-431c-af0b-14f090028c64","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":6,"content_text":"Решить неравенство\n\\[3^{(x+3)^2}+\\frac{1}{9}\\leqslant 3^{x^2-2}+27^{2x+3}.\\]","answer_text":"\$x \\in \\left(-\\infty;\\,-\\frac{11}{6}\\right]\\cup\\{0\\}\$","answer":"\$x \\in \\left(-\\infty;\\,-\\frac{11}{6}\\right]\\cup\\{0\\}\$","solution_text":"$5b","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":1,"session":"07","variant_key":"mm1999-07","year":1999},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"5bec8268-22ed-431c-af0b-14f090028c64","name":"Показательные неравенства","description":null},"tags":[{"id":"01f67e1b-7c60-4a01-aa9f-38a44d86ef0e","code":"tag-3","name":"Неравенства первой и второй степени относительно показательной функции"},{"id":"1561837c-f5e6-4e19-9d89-ecdaba78d70c","code":"tag-19","name":"Показательные уравнения, свойства степени"},{"id":"2c55495d-5b54-461b-8a9b-3567966b9d28","code":"tag-40","name":"Метод интервалов"},{"id":"71f19a1a-c6b7-4320-9e0b-3cb73213fa41","code":"tag-104","name":"Показательные неравенства"}]}},{"problem_id":"0b2373d0-7b0f-42eb-a2ea-8f47d75a54e9","collection_id":"5f1fdcdf-f55a-4e91-b8e8-96516b54103f","display_order":2,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"0b2373d0-7b0f-42eb-a2ea-8f47d75a54e9","short_id":18168,"task_number":17,"topic_id":"57c71533-3578-44db-89b2-cbb8140c30a6","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":6,"content_text":"Решить уравнение\n\\[|\\log_2(2x+7)|=\\log_2(1+|x+3|)+\\log_2(1-|x+3|).\\]","answer_text":"\$-3\$","answer":"\$-3\$","solution_text":"$5c","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":2,"session":"07","variant_key":"mm1999-07","year":1999},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"57c71533-3578-44db-89b2-cbb8140c30a6","name":"Логарифмические уравнения","description":null},"tags":[{"id":"562d9797-2caf-4ba7-9fa3-a4c33d8cc0a6","code":"tag-80","name":"Область определения уравнения"},{"id":"c8cd9c24-fac7-48ab-b79b-6c5fbd73b985","code":"tag-189","name":"Логарифмические уравнения"},{"id":"cbfcdc3f-7c60-42fd-8b0c-b0e16a570b75","code":"tag-195","name":"Уравнение с модулем"},{"id":"f69451d0-02df-42b8-a45e-481a03558513","code":"tag-234","name":"Логарифм произведения, частного, степени"}]}},{"problem_id":"a0f08063-0504-4959-9ef8-1a8e2148b395","collection_id":"5f1fdcdf-f55a-4e91-b8e8-96516b54103f","display_order":3,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"a0f08063-0504-4959-9ef8-1a8e2148b395","short_id":18169,"task_number":19,"topic_id":"7ee08b18-18e8-42f5-8ad4-c094688c771d","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":8,"content_text":"При каких значениях \$\\varphi\$ все положительные корни уравнения\n\\[\\cos\\left(\\frac{x}{2}+\\varphi\\right)-\\cos\\left(\\frac{3x}{2}+\\varphi\\right)=\\sin\\frac{x}{2},\\]\nрасположенные в порядке возрастания, образуют арифметическую прогрессию?","answer_text":"\$\\varphi = -\\frac{\\pi}{2}+2\\pi n,\\ n\\in\\mathbb{Z}\$","answer":"\$\\varphi = -\\frac{\\pi}{2}+2\\pi n,\\ n\\in\\mathbb{Z}\$","solution_text":"$5d","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":3,"session":"07","variant_key":"mm1999-07","year":1999},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"7ee08b18-18e8-42f5-8ad4-c094688c771d","name":"Задачи с параметрами","description":null},"tags":[{"id":"63383330-9060-4445-8f93-c53c52a03571","code":"tag-89","name":"Уравнения с параметром"},{"id":"9564a83d-ccf3-4211-91ed-f6f568873b0e","code":"tag-131","name":"Тригонометрические уравнения"},{"id":"cac715c7-756d-4aa2-91ef-8ac2fd2653b6","code":"tag-193","name":"Последовательности и прогрессии"},{"id":"ec133604-ce66-4c15-84f7-9262bb200a7a","code":"tag-227","name":"Задачи на прогрессии"}]}},{"problem_id":"19f1afb9-1e09-4106-9260-5c22e6ff39c8","collection_id":"5f1fdcdf-f55a-4e91-b8e8-96516b54103f","display_order":4,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"19f1afb9-1e09-4106-9260-5c22e6ff39c8","short_id":18170,"task_number":18,"topic_id":"3951be60-fc16-47ee-ab3f-9e0a9e85807d","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":7,"content_text":"В трапеции \$ABCD\$ с боковыми сторонами \$AB=9\$ и \$CD=5\$ биссектриса угла \$D\$ пересекает биссектрисы углов \$A\$ и \$C\$ в точках \$M\$ и \$N\$ соответственно, а биссектриса угла \$B\$ пересекает те же две биссектрисы в точках \$L\$ и \$K\$, причем точка \$K\$ лежит на основании \$AD\$.\n\nа) В каком отношении прямая \$LN\$ делит сторону \$AB\$, а прямая \$MK\$ — сторону \$BC\$?\n\nб) Найти отношение \$MN:KL\$, если \$LM:KN=3:7\$.","answer_text":"а) \$1:1,\\ 5:9\$; б) \$5:21\$","answer":"а) \$1:1,\\ 5:9\$; б) \$5:21\$","solution_text":"$5e","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":4,"session":"07","variant_key":"mm1999-07","year":1999},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"3951be60-fc16-47ee-ab3f-9e0a9e85807d","name":"Четырёхугольники","description":null},"tags":[{"id":"0d5fdf8a-7b8f-41ed-9e90-56f1f2ffe049","code":"tag-10","name":"Замечательное свойство трапеции"},{"id":"a1e9cba9-7ee1-4f19-a92d-5b6033d1395a","code":"tag-146","name":"Трапеция"},{"id":"a42676d8-721d-416b-9509-d365704bb645","code":"tag-151","name":"Треугольник"},{"id":"c3764b6b-774c-4605-a8a4-82907a006dd2","code":"tag-184","name":"Деление отрезка"}]}},{"problem_id":"e717539f-e981-4a6c-93d8-d96274560377","collection_id":"5f1fdcdf-f55a-4e91-b8e8-96516b54103f","display_order":5,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"e717539f-e981-4a6c-93d8-d96274560377","short_id":18171,"task_number":19,"topic_id":"7ee08b18-18e8-42f5-8ad4-c094688c771d","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":8,"content_text":"Найти все значения \$a\$, при каждом из которых сумма длин интервалов, составляющих решение неравенства\n\\[\\frac{x^2+(2a^2+6)x-a^2+2a-3}{x^2+(a^2+7a-7)x-a^2+2a-3}<0\\]\nне меньше 1.","answer_text":"\$a \\in (-\\infty;\\,3]\\cup[4;\\,+\\infty)\$","answer":"\$a \\in (-\\infty;\\,3]\\cup[4;\\,+\\infty)\$","solution_text":"$5f","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":5,"session":"07","variant_key":"mm1999-07","year":1999},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"7ee08b18-18e8-42f5-8ad4-c094688c771d","name":"Задачи с параметрами","description":null},"tags":[{"id":"0d415d8d-9948-4dac-b334-754c0dd54013","code":"tag-9","name":"Расположение корней квадратного трехчлена"},{"id":"2c55495d-5b54-461b-8a9b-3567966b9d28","code":"tag-40","name":"Метод интервалов"},{"id":"a310e1e9-64c5-40c5-9928-aeb385bdeb13","code":"tag-149","name":"Рациональные неравенства"},{"id":"d049c81a-1ded-4ac2-9392-9a84869c2975","code":"tag-197","name":"Неравенства с параметром"}]}},{"problem_id":"fc95fa04-704a-4a25-a15d-c07281cdea86","collection_id":"5f1fdcdf-f55a-4e91-b8e8-96516b54103f","display_order":6,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"fc95fa04-704a-4a25-a15d-c07281cdea86","short_id":18172,"task_number":20,"topic_id":"b37141ac-ec06-41ef-977b-401cb8faa903","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":7,"content_text":"Три шара радиусов 1, 2 и 5 расположены так, что каждый из них касается двух других шаров и двух данных плоскостей. Найти расстояние между точками касания первого из этих шаров с плоскостями.","answer_text":"\$\\frac{1}{2}\\sqrt{\\frac{31}{5}}\$","answer":"\$\\frac{1}{2}\\sqrt{\\frac{31}{5}}\$","solution_text":"$60","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":6,"session":"07","variant_key":"mm1999-07","year":1999},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"b37141ac-ec06-41ef-977b-401cb8faa903","name":"Сферы","description":null},"tags":[{"id":"16ed6d76-9afe-45ae-a1ef-59cfaa5ba43d","code":"tag-24","name":"Шар и сфера, их сечения"},{"id":"3b97625c-be8d-4f55-ad67-ea93390b646a","code":"tag-55","name":"Система шаров"},{"id":"ac363015-7c47-47f2-be45-7c955578a6ab","code":"tag-160","name":"Расстояние между точками"},{"id":"b08fa4e2-4af6-40f5-ad34-408bf3068be7","code":"tag-165","name":"Шар"}]}}],"total":6},"serverExams":[{"id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","code":"dvi-math","name":"ДВИ МГУ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"1aed6121-06cc-4a5a-87f5-77de484ebb36","program_code":"dvi","exam_type":"ДВИ","description":"Дополнительное вступительное испытание МГУ им. М.В. Ломоносова по математике. С 2026 года экзамен состоит из двух частей: лёгкий тест с кратким ответом и традиционная письменная часть с полным решением.","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-07-11","metadata":{"duration_minutes":180,"max_secondary_score":100,"mock_exam_enabled":true,"part2_tasks":6,"parts":[{"answer_format":"detailed","part":1,"scale":"linear","slots_in_variant":10,"tasks":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13],"weight":30},{"answer_format":"detailed","part":2,"scale":"score_conversion","slots_in_variant":6,"tasks":[14,15,16,17,18,19,20],"weight":70}],"score_conversion":[2,30,30,35,35,35,35,35,40,40,40,40,40,45,45,45,45,45,50,50,50,50,50,55,55,55,55,55,60,60,60,60,60,65,65,65,65,65,70,70,70,70,70,75,75,75,75,75,80,80,80,80,80,85,85,85,85,85,90,90,90,90,90,95,95,95,95,95,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":10,"15":10,"16":10,"17":10,"18":10,"19":10,"20":10},"structure_2026":{"consultation_video_url":"https://disk.360.yandex.ru/d/NbP139HUZpCPDA","exam_2026":{"exam_date":"2026-07-11","note":"Реальный основной день; в образце Ш12622 тест был из 15 задач.","test_task_count":10,"written_task_count":6},"exam_portal":"https://exam.msu.ru/","official_exam_page":"https://cpk.msu.ru/exam/101","parts":["base","written"],"test_task_count":15},"task_count":7,"task_numbering":"part_relative","year":2026},"created_at":"2026-06-10T20:49:34.08312Z","updated_at":"2026-09-01T00:33:23.788959Z","problem_count":1008,"theory_count":36,"system_collection_count":190},{"id":"3a8471c5-2a11-4932-ba3e-7ab7d1ae7a1d","code":"ege-base","name":"Математика (база) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_base","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Базовый ЕГЭ по математике для получения аттестата","has_part2":false,"max_task_number":21,"exam_date":"2026-06-04","metadata":{"duration_minutes":180,"max_score":21,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":21,"part2_tasks":0,"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":1,"21":1},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","problem_count":8561,"theory_count":85,"system_collection_count":111},{"id":"23f00ba7-bd19-4ca8-9349-5134d88397cf","code":"ege-prof","name":"Математика (профиль) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_prof","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Профильный ЕГЭ по математике для поступающих в технические вузы","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-06-08","metadata":{"duration_minutes":235,"max_score":33,"max_secondary_score":100,"max_task_number":20,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":13,"part2_tasks":7,"score_conversion":[0,6,11,17,22,27,34,40,46,52,58,64,70,72,74,76,78,80,82,84,86,88,90,92,94,95,96,97,98,99,100,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":2,"15":3,"16":2,"17":2,"18":3,"19":4,"20":4},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2026-08-30T23:51:20.728833Z","problem_count":2491,"theory_count":123,"system_collection_count":255},{"id":"b0db9506-ddcf-4200-8815-7a709ea0dc4e","code":"oge-math","name":"ОГЭ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"ff8f63b8-bfcc-47f3-9d55-bc666ee30237","program_code":"oge","exam_type":"ОГЭ","description":"Основной государственный экзамен по математике (9 класс): 25 заданий, 235 минут. Часть 1 — задания 1-19 с кратким ответом (1 балл), часть 2 — задания 20-25 с развёрнутым ответом (2 балла). Максимум 31 первичный балл, итоговая отметка 2-5.","has_part2":true,"max_task_number":25,"metadata":{"duration_minutes":235,"geometry_min_points":2,"geometry_min_points_note":"Для отметки выше 2 необходимо >=2 первичных баллов за геометрию (задания 15-19, 23-25); кодируется в скоринге пробника через geometry_tasks + geometry_min_points (0423)","geometry_tasks":[15,16,17,18,19,23,24,25],"hidden":false,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":19,"part2_tasks":[20,21,22,23,24,25],"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":2,"21":2,"22":2,"23":2,"24":2,"25":2},"task_count":25,"year":2026},"created_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","updated_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","problem_count":2181,"theory_count":104,"system_collection_count":89}]}]]

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ