Задача №18169

При каких значениях $\phi$ все положительные корни уравнения

$$\cos \left(\frac{x}{2}+\phi \right)-\cos \left(\frac{3x}{2}+\phi \right)=\sin \frac{x}{2},$$

расположенные в порядке возрастания, образуют арифметическую прогрессию?

Преобразование уравнения. Применим к левой части формулу разности косинусов $\cos A-\cos B=-2\sin \frac{A+B}{2}\sin \frac{A-B}{2}$ при $A=\frac{x}{2}+\phi \text{,}$ $B=\frac{3x}{2}+\phi \text{.}$ Тогда

$$\frac{A+B}{2}=x+\phi ,\frac{A-B}{2}=-\frac{x}{2},$$

и левая часть равна

$$\cos \left(\frac{x}{2}+\phi \right)-\cos \left(\frac{3x}{2}+\phi \right)=-2\sin (x+\phi )\sin \left(-\frac{x}{2}\right)=2\sin (x+\phi )\sin \frac{x}{2}.$$

Уравнение принимает вид $2\sin (x+\phi )\sin \frac{x}{2}=\sin \frac{x}{2}\text{,}$ то есть

$$\sin \frac{x}{2}(2\sin (x+\phi )-1)=0.$$

Никаких ограничений ОДЗ нет: обе части определены при всех $x\text{.}$ Значит, множество всех корней есть объединение двух серий.

Серия A ($\sin \frac{x}{2}=0$):

$$\frac{x}{2}=\pi k\Rightarrow x=2\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

Положительные корни этой серии: $2\pi ,4\pi ,6\pi ,\dots$

Серия B ($\sin (x+\phi )=\frac{1}{2}$):

$$x+\phi =\frac{\pi }{6}+2\pi n\text{или}x+\phi =\frac{5\pi }{6}+2\pi n,$$

откуда

$$x=\frac{\pi }{6}-\phi +2\pi n\text{и}x=\frac{5\pi }{6}-\phi +2\pi n,n\in \mathbb{Z}.$$

Структура множества корней. Все три серии имеют общий период $2\pi \text{:}$ множество корней не меняется при сдвиге $x\mapsto x+2\pi \text{.}$ Поэтому удобно описывать корни их остатками по модулю $2\pi \text{.}$ Серия A даёт единственный остаток $0\text{.}$ Серия B даёт два остатка

$$r_1=\left(\frac{\pi }{6}-\phi \right)\mathrm{mod}2\pi ,r_2=\left(\frac{5\pi }{6}-\phi \right)\mathrm{mod}2\pi ,$$

причём $r_2-r_1=\frac{5\pi }{6}-\frac{\pi }{6}=\frac{2\pi }{3}\text{.}$ Таким образом, в общем случае на каждый период длины $2\pi$ приходится ровно три корня — с остатками $0,r_1,r_2\text{.}$

Когда получается прогрессия. Множество положительных корней — это бесконечная вправо последовательность, инвариантная относительно сдвига на $2\pi \text{.}$ Если эта возрастающая последовательность является арифметической прогрессией с разностью $d\text{,}$ то её инвариантность относительно сдвига на $2\pi$ означает, что $2\pi$ кратно $d\text{:}$ $2\pi =md$ при натуральном $m\text{.}$ При этом на каждый период длины $2\pi$ приходится ровно $m$ членов прогрессии, а у нас (при трёх различных остатках) их три. Значит,

$$m=3,d=\frac{2\pi }{3},$$

и три остатка по модулю $2\pi$ обязаны быть равноотстоящими: $\{0,\frac{2\pi }{3},\frac{4\pi }{3}\}\text{.}$

Остаток $0$ уже даёт серия A. Остаётся потребовать, чтобы остатки серии B совпали с двумя оставшимися:

$$\{r_1,r_2\}=\left\{\frac{2\pi }{3},\frac{4\pi }{3}\right\}.$$

Поскольку $r_2=r_1+\frac{2\pi }{3}\text{,}$ возможны два формальных случая.

1) $r_1=\frac{2\pi }{3}\text{,}$ тогда $r_2=\frac{4\pi }{3}$ — годится. Из $r_1=\frac{2\pi }{3}\text{:}$

$$\frac{\pi }{6}-\phi \equiv \frac{2\pi }{3}(\mathrm{mod}2\pi )\Rightarrow \phi \equiv \frac{\pi }{6}-\frac{2\pi }{3}=-\frac{\pi }{2}(\mathrm{mod}2\pi ),$$

то есть $\phi =-\frac{\pi }{2}+2\pi n\text{.}$

2) $r_1=\frac{4\pi }{3}\text{,}$ тогда $r_2=\frac{4\pi }{3}+\frac{2\pi }{3}=2\pi \equiv 0$ совпадает с остатком серии A. В этом случае различных остатков лишь два ($0$ и $\frac{4\pi }{3}$), на период приходится только два корня, и расстояния между ними чередуются ($\frac{4\pi }{3}$ и $\frac{2\pi }{3}$) — прогрессии не получается. Этот случай отпадает. (Аналогично отпадают вырождения, когда серия B налегает на серию A, например при $\phi =\frac{\pi }{6}\text{:}$ остаётся два остатка с чередующимися промежутками.)

Проверка найденного значения. При $\phi =-\frac{\pi }{2}$ серия B даёт

$$x=\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{2}+2\pi n=\frac{2\pi }{3}+2\pi n,x=\frac{5\pi }{6}+\frac{\pi }{2}+2\pi n=\frac{4\pi }{3}+2\pi n,$$

а серия A — корни $2\pi k\text{.}$ Объединяя и упорядочивая положительные корни, получаем

$$\frac{2\pi }{3},\frac{4\pi }{3},2\pi ,\frac{8\pi }{3},\frac{10\pi }{3},4\pi ,\dots$$

то есть $x_m=\frac{2\pi }{3}m$ при $m=1,2,3,\dots$ — арифметическая прогрессия с первым членом $\frac{2\pi }{3}$ и разностью $\frac{2\pi }{3}\text{.}$ На интервале $\left(0,\frac{2\pi }{3}\right)$ корней нет, так что прогрессия не нарушается у начала.

Ответ.

$$\boxed{\phi =-\frac{\pi }{2}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}.}$$