При каких значениях все положительные корни уравнения cos((x)/(2)+)-cos((3x)/(2)+)=sin(x)/(2), расположенные в порядке возрастания, образуют арифметическую прогрессию?

**Преобразование уравнения.** Применим к левой части формулу разности косинусов cos A-cos B=-2sin(A+B)/(2)sin(A-B)/(2) при A=(x)/(2)+, B=(3x)/(2)+. Тогда (A+B)/(2)=x+, (A-B)/(2)=-(x)/(2), и левая часть равна cos((x)/(2)+)-cos((3x)/(2)+)=-2sin(x+)sin(-(x)/(2))=2sin(x+)sin(x)/(2). Уравнение принимает вид 2sin(x+)sin(x)/(2)=sin(x)/(2), то есть sin(x)/(2)(2sin(x+)-1)=0. Никаких ограничений ОДЗ нет: обе части определены при всех x. Значит, множество всех корней есть объединение двух серий. **Серия A** (sin(x)/(2)=0): (x)/(2)=pi k => x=2pi k, kinZ. Положительные корни этой серии: 2pi, 4pi, 6pi, **Серия B** (sin(x+)=12): x+=(pi)/(6)+2pi n или x+=(5pi)/(6)+2pi n, откуда x=(pi)/(6)-+2pi n и x=(5pi)/(6)-+2pi n, ninZ. **Структура множества корней.** Все три серии имеют общий период 2pi: множество корней не меняется при сдвиге x x+2pi. Поэтому удобно описывать корни их остатками по модулю 2pi. Серия A даёт единственный остаток 0. Серия B даёт два остатка r_1=((pi)/(6)-) 2pi, r_2=((5pi)/(6)-) 2pi, причём r_2-r_1=(5pi)/(6)-(pi)/(6)=(2pi)/(3). Таким образом, в общем случае на каждый период длины 2pi приходится ровно три корня — с остатками 0, r_1, r_2. **Когда получается прогрессия.** Множество положительных корней — это бесконечная вправо последовательность, инвариантная относительно сдвига на 2pi. Если эта возрастающая последовательность является арифметической прогрессией с разностью d, то её инвариантность относительно сдвига на 2pi означает, что 2pi кратно d: 2pi=md при натуральном m. При этом на каждый период длины 2pi приходится ровно m членов прогрессии, а у нас (при трёх различных остатках) их три. Значит, m=3, d=(2pi)/(3), и три остатка по модулю 2pi обязаны быть равноотстоящими: 0, (2pi)/(3), (4pi)/(3). Остаток 0 уже даёт серия A. Остаётся потребовать, чтобы остатки серии B совпали с двумя оставшимися: r_1, r_2=(2pi)/(3), (4pi)/(3). Поскольку r_2=r_1+(2pi)/(3), возможны два формальных случая. 1) r_1=(2pi)/(3), тогда r_2=(4pi)/(3) — годится. Из r_1=(2pi)/(3): (pi)/(6)-===(2pi)/(3)+-od2pi => ===(pi)/(6)-(2pi)/(3)=-(pi)/(2)+-od2pi, то есть =-(pi)/(2)+2pi n. 2) r_1=(4pi)/(3), тогда r_2=(4pi)/(3)+(2pi)/(3)=2pi=== 0 совпадает с остатком серии A. В этом случае различных остатков лишь два (0 и (4pi)/(3)), на период приходится только два корня, и расстояния между ними чередуются ((4pi)/(3) и (2pi)/(3)) — прогрессии не получается. Этот случай отпадает. (Аналогично отпадают вырождения, когда серия B налегает на серию A, например при =(pi)/(6): остаётся два остатка с чередующимися промежутками.) **Проверка найденного значения.** При =-(pi)/(2) серия B даёт x=(pi)/(6)+(pi)/(2)+2pi n=(2pi)/(3)+2pi n, x=(5pi)/(6)+(pi)/(2)+2pi n=(4pi)/(3)+2pi n, а серия A — корни 2pi k. Объединяя и упорядочивая положительные корни, получаем (2pi)/(3), (4pi)/(3), 2pi, (8pi)/(3), (10pi)/(3), 4pi, то есть x_m=(2pi)/(3)m при m=1,2,3, — арифметическая прогрессия с первым членом (2pi)/(3) и разностью (2pi)/(3). На интервале (0,(2pi)/(3)) корней нет, так что прогрессия не нарушается у начала. **Ответ.** =-(pi)/(2)+2pi n, ninZ.