Решить уравнение |_2(2x+7)|=_2(1+|x+3|)+_2(1-|x+3|).

Решаем уравнение |_2(2x+7)|=_2(1+|x+3|)+_2(1-|x+3|). **Область допустимых значений.** Аргументы всех логарифмов должны быть положительны: 2x+7>0, 1+|x+3|>0, 1-|x+3|>0. Первое условие даёт x>-(7)/(2). Второе выполнено всегда, поскольку 1+|x+3| 1>0. Третье равносильно |x+3|<1, то есть -1<x+3<1, откуда -4<x<-2. Пересекая с условием x>-(7)/(2), получаем область определения -(7)/(2)<x<-2. Заметим, что на этом промежутке x+3in(-12;1), поэтому |x+3|<1 — третье условие действительно выполнено внутри всей области. **Оценка правой части.** Введём t=|x+3|; на области определения 0 t<1. Произведение аргументов под логарифмами свернём по формуле разности квадратов: (1+|x+3|)(1-|x+3|)=1-|x+3|^2=1-t^2. Поэтому правая часть равна _2(1+|x+3|)+_2(1-|x+3|)=_2(1-t^2). Так как 0 t<1, то 0<1-t^2 1, а значит правая часть=_2(1-t^2)_2 1=0, причём равенство достигается **только** при t=0, то есть при x=-3. **Оценка левой части.** Левая часть — модуль, поэтому левая часть=|_2(2x+7)| 0, причём равенство достигается **только** тогда, когда _2(2x+7)=0, то есть 2x+7=1, откуда снова x=-3. **Сопоставление.** Для всех допустимых x имеем |_2(2x+7)| 0_2(1-t^2), то есть левая часть не меньше нуля, а правая не больше нуля. Равенство левой и правой частей возможно лишь когда обе они обращаются в нуль одновременно. Левая часть равна нулю только при x=-3; в этой же точке t=|-3+3|=0, и правая часть тоже равна нулю. Проверим прямой подстановкой x=-3: 2x+7=1, _2 1=0, |0|=0; 1+|x+3|=1, 1-|x+3|=1, _2 1+_2 1=0. Получаем 0=0 — равенство выполнено, и x=-3 лежит в области определения (-72;-2). В любой другой допустимой точке левая часть строго положительна, а правая строго отрицательна, поэтому равенство невозможно. **Ответ:** x=-3.

\(-3\)