Задача №18168

Решить уравнение

$$|{\log }_2(2x+7)|={\log }_2(1+|x+3|)+{\log }_2(1-|x+3|).$$

Решаем уравнение

$$|{\log }_2(2x+7)|={\log }_2(1+|x+3|)+{\log }_2(1-|x+3|).$$

Область допустимых значений. Аргументы всех логарифмов должны быть положительны:

$$2x+7>0,1+|x+3|>0,1-|x+3|>0.$$

Первое условие даёт $x>-\frac{7}{2}\text{.}$ Второе выполнено всегда, поскольку $1+|x+3|⩾1>0\text{.}$ Третье равносильно $|x+3|<1\text{,}$ то есть $-1<x+3<1\text{,}$ откуда $-4<x<-2\text{.}$ Пересекая с условием $x>-\frac{7}{2}\text{,}$ получаем область определения

$$-\frac{7}{2}<x<-2.$$

Заметим, что на этом промежутке $x+3\in \left(-\frac{1}{2};1\right)\text{,}$ поэтому $|x+3|<1$ — третье условие действительно выполнено внутри всей области.

Оценка правой части. Введём $t=|x+3|\text{;}$ на области определения $0⩽t<1\text{.}$ Произведение аргументов под логарифмами свернём по формуле разности квадратов:

$$(1+|x+3|)(1-|x+3|)=1-|x+3{|}^2=1-t^2.$$

Поэтому правая часть равна

$${\log }_2(1+|x+3|)+{\log }_2(1-|x+3|)={\log }_2(1-t^2).$$

Так как $0⩽t<1\text{,}$ то $0<1-t^2⩽1\text{,}$ а значит

$$\text{правая часть}={\log }_2(1-t^2)⩽{\log }_{2}1=0,$$

причём равенство достигается только при $t=0\text{,}$ то есть при $x=-3\text{.}$

Оценка левой части. Левая часть — модуль, поэтому

$$\text{левая часть}=|{\log }_2(2x+7)|⩾0,$$

причём равенство достигается только тогда, когда ${\log }_2(2x+7)=0\text{,}$ то есть $2x+7=1\text{,}$ откуда снова $x=-3\text{.}$

Сопоставление. Для всех допустимых $x$ имеем

$$|{\log }_2(2x+7)|⩾0⩾{\log }_2(1-t^2),$$

то есть левая часть не меньше нуля, а правая не больше нуля. Равенство левой и правой частей возможно лишь когда обе они обращаются в нуль одновременно. Левая часть равна нулю только при $x=-3\text{;}$ в этой же точке $t=|-3+3|=0\text{,}$ и правая часть тоже равна нулю. Проверим прямой подстановкой $x=-3\text{:}$

$$2x+7=1,{\log }_{2}1=0,|0|=0;1+|x+3|=1,1-|x+3|=1,{\log }_{2}1+{\log }_{2}1=0.$$

Получаем $0=0$ — равенство выполнено, и $x=-3$ лежит в области определения $\left(-\frac{7}{2};-2\right)\text{.}$

В любой другой допустимой точке левая часть строго положительна, а правая строго отрицательна, поэтому равенство невозможно.

Ответ: $\boxed{x=-3}\text{.}$