Задача №18172

Три шара радиусов 1, 2 и 5 расположены так, что каждый из них касается двух других шаров и двух данных плоскостей. Найти расстояние между точками касания первого из этих шаров с плоскостями.

Две данные плоскости пересекаются по прямой $\ell$ и образуют двугранный угол; обозначим его величину через $2\alpha \text{,}$ а биссекторную плоскость этого угла — через $\beta \text{.}$ Пусть $\alpha \in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ — угол между биссекторной плоскостью и каждой из данных плоскостей.

Где лежат центры шаров. Шар радиуса $r\text{,}$ касающийся обеих плоскостей, имеет центр, равноудалённый от них (на расстоянии $r$), поэтому центр лежит в биссекторной плоскости $\beta \text{.}$ Найдём положение центра относительно ребра $\ell \text{.}$ Рассмотрим сечение, перпендикулярное ребру: данные плоскости дают две стороны угла $2\alpha$ с вершиной $V$ на $\ell \text{,}$ а биссекторная плоскость — биссектрису. Центр $O$ лежит на биссектрисе, причём перпендикуляр из $O$ на сторону угла равен $r$ и образует с биссектрисой угол $\alpha \text{.}$ Значит, расстояние от центра до ребра $\ell$ (в плоскости $\beta$) равно

Координаты в биссекторной плоскости. Введём в плоскости $\beta$ две взаимно перпендикулярные оси: ось $z$ вдоль ребра $\ell$ и ось $t$ — перпендикуляр к ребру (внутри $\beta$). Тогда центр шара радиуса $r$ имеет координаты $(z,t)$ с $t=\frac{r}{\sin \alpha }\text{.}$ Поскольку обе оси ортогональны в пространстве, расстояние между центрами $i$ и $j$ равно $\sqrt{(\Delta z{)}^2+(\Delta t{)}^2}\text{.}$

Условия попарного касания. Шары касаются друг друга внешним образом, значит расстояние между центрами равно сумме радиусов:

откуда, обозначив $s=\sin \alpha \text{,}$

Подставляя радиусы $r_1=1,r_2=2,r_3=5\text{,}$ получаем для проекций центров на ребро:

Условие коллинеарности проекций. Три центра лежат в одной плоскости $\beta \text{,}$ и их проекции на прямую $\ell$ — три точки на одной прямой. Обозначим $a=\Delta z_{12},b=\Delta z_{13},c=\Delta z_{23}$ (длины). Числовая прикидка: при допустимых $s$ имеем $a,b<c\text{,}$ поэтому проекция первого (среднего по радиусу) центра лежит между проекциями второго и третьего, и должно выполняться

Возведём в квадрат: $c^2=a^2+b^2+2ab\text{,}$ то есть

После приведения подобных в левой части остаётся

Обозначим для краткости $u=\frac{1}{s^2}$ (по смыслу $u\ge 1\text{,}$ так как $s\le 1$). Тогда

Возводя в квадрат: $(2+4u{)}^2=(9-u)(36-16u)\text{,}$ то есть $4+16u+16u^2=324-180u+16u^2\text{,}$ откуда $16u+180u=320\text{,}$ $196u=320$ и

Проверим допустимость: $s^2=\frac{49}{80}=0,6125\in (0;1]\text{;}$ все подкоренные выражения $9-1/s^2=\frac{361}{49}>0\text{,}$ $36-16/s^2=\frac{484}{49}>0\text{,}$ $49-9/s^2=\frac{1681}{49}>0\text{,}$ и при возведении в квадрат правая часть $2+4u>0$ — посторонних решений не возникло. Значит конфигурация существует и определена однозначно.

Расстояние между точками касания первого шара. Рассмотрим первый шар (радиус $r=1$) и сечение, перпендикулярное ребру, проходящее через его центр $O\text{.}$ Точки касания $T_1,T_2$ этого шара с плоскостями — основания перпендикуляров из $O$ на стороны угла $2\alpha \text{.}$ В прямоугольных треугольниках $OV{T}_1$ и $OV{T}_2$ (где $V$ — вершина угла на ребре, $\angle OV{T}_i=\alpha$) имеем $O{T}_i=r\text{,}$ поэтому

Точки $T_1,T_2$ симметричны относительно биссектрисы, а $\angle T_{1}V{T}_2=2\alpha \text{.}$ Из равнобедренного треугольника $T_{1}V{T}_2\text{:}$

Так как $\cos \alpha =\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=\sqrt{1-\frac{49}{80}}=\sqrt{\frac{31}{80}}=\frac{\sqrt{155}}{20}\text{,}$ то при $r=1$

Ответ: искомое расстояние равно