Три шара радиусов 1, 2 и 5 расположены так, что каждый из них касается двух других шаров и двух данных плоскостей. Найти расстояние между точками касания первого из этих шаров с плоскостями.

Две данные плоскости пересекаются по прямой и образуют двугранный угол; обозначим его величину через 2alpha , а биссекторную плоскость этого угла — через beta . Пусть alphain(0;(pi)/(2)) — угол между биссекторной плоскостью и каждой из данных плоскостей. **Где лежат центры шаров.** Шар радиуса r , касающийся обеих плоскостей, имеет центр, равноудалённый от них (на расстоянии r ), поэтому центр лежит в биссекторной плоскости beta . Найдём положение центра относительно ребра . Рассмотрим сечение, перпендикулярное ребру: данные плоскости дают две стороны угла 2alpha с вершиной V на , а биссекторная плоскость — биссектрису. Центр O лежит на биссектрисе, причём перпендикуляр из O на сторону угла равен r и образует с биссектрисой угол alpha . Значит, расстояние от центра до ребра (в плоскости beta ) равно d=(r)/(). **Координаты в биссекторной плоскости.** Введём в плоскости beta две взаимно перпендикулярные оси: ось z вдоль ребра и ось t — перпендикуляр к ребру (внутри beta ). Тогда центр шара радиуса r имеет координаты (z,t) с t=(r)/() . Поскольку обе оси ортогональны в пространстве, расстояние между центрами i и j равно sqrt(( z)^2+( t)^2) . **Условия попарного касания.** Шары касаются друг друга внешним образом, значит расстояние между центрами равно сумме радиусов: ( z_(ij))^2+((r_i)/()-(r_j)/())^2=(r_i+r_j)^2, откуда, обозначив s= , ( z_(ij))^2=(r_i+r_j)^2-((r_i-r_j)^2)/(s^(2)). Подставляя радиусы r_1=1, r_2=2, r_3=5 , получаем для проекций центров на ребро: ( z_(12))^2=9-(1)/(s^(2)), ( z_(13))^2=36-(16)/(s^(2)), ( z_(23))^2=49-(9)/(s^(2)). **Условие коллинеарности проекций.** Три центра лежат в одной плоскости beta , и их проекции на прямую — три точки на одной прямой. Обозначим a= z_(12), b= z_(13), c= z_(23) (длины). Числовая прикидка: при допустимых s имеем a,b<c , поэтому проекция первого (среднего по радиусу) центра лежит между проекциями второго и третьего, и должно выполняться c=a+b. Возведём в квадрат: c^2=a^2+b^2+2ab , то есть 49-(9)/(s^2)=(9-1s^2)+(36-(16)/(s^2))+2sqrt((9-1s^2)(36-(16)/(s^2))). После приведения подобных в левой части остаётся 4+(8)/(s^2)=2sqrt((9-1s^2)(36-(16)/(s^2))). Обозначим для краткости u=(1)/(s^2) (по смыслу u>= 1 , так как s<= 1 ). Тогда 2+4u=sqrt((9-u)(36-16u)). Возводя в квадрат: (2+4u)^2=(9-u)(36-16u) , то есть 4+16u+16u^2=324-180u+16u^2 , откуда 16u+180u=320 , 196u=320 и u=(320)/(196)=(80)/(49), s^2=sin^2alpha=(1)/(u)=(49)/(80), =(75)/(20). Проверим допустимость: s^2=(49)/(80)=0,6125in(0;1] ; все подкоренные выражения 9-1/s^2=(361)/(49)>0 , 36-16/s^2=(484)/(49)>0 , 49-9/s^2=(1681)/(49)>0 , и при возведении в квадрат правая часть 2+4u>0 — посторонних решений не возникло. Значит конфигурация существует и определена однозначно. **Расстояние между точками касания первого шара.** Рассмотрим первый шар (радиус r=1 ) и сечение, перпендикулярное ребру, проходящее через его центр O . Точки касания T_1,T_2 этого шара с плоскостями — основания перпендикуляров из O на стороны угла 2alpha . В прямоугольных треугольниках OVT_1 и OVT_2 (где V — вершина угла на ребре, OVT_i=alpha ) имеем OT_i=r , поэтому VT_i=(OT_i)/()=rctgalpha, VT_1=VT_2. Точки T_1,T_2 симметричны относительно биссектрисы, а T_1VT_2=2alpha . Из равнобедренного треугольника T_1VT_2 : T_1T_2=2VT_1=2rctgalpha*=2r. Так как =sqrt(1-sin^2alpha)=sqrt(1-(49)/(80))=sqrt((31)/(80))=(sqrt(155))/(20) , то при r=1 T_1T_2=2* 1*(sqrt(155))/(20)=(sqrt(155))/(10)=12sqrt((31)/(5)). **Ответ:** искомое расстояние равно (sqrt(155))/(10)=12sqrt((31)/(5))~ 1,245.

\(\frac{1}{2}\sqrt{\frac{31}{5}}\)