Задача №18170

В трапеции $ABCD$ с боковыми сторонами $AB=9$ и $CD=5$ биссектриса угла $D$ пересекает биссектрисы углов $A$ и $C$ в точках $M$ и $N$ соответственно, а биссектриса угла $B$ пересекает те же две биссектрисы в точках $L$ и $K\text{,}$ причем точка $K$ лежит на основании $AD\text{.}$

а) В каком отношении прямая $LN$ делит сторону $AB\text{,}$ а прямая $MK$ — сторону $BC\text{?}$

б) Найти отношение $MN:KL\text{,}$ если $LM:KN=3:7\text{.}$

В трапеции $ABCD$ боковые стороны — это $AB=9$ и $CD=5\text{,}$ а основания — $BC$ и $AD$ ($BC\parallel AD$). Все четыре биссектрисы внутренних углов лежат внутри трапеции.

Опорные свойства биссектрис. Так как $BC\parallel AD\text{,}$ углы при боковой стороне $AB$ — это внутренние односторонние углы, поэтому $\angle A+\angle B=180^{\circ }\text{;}$ значит, биссектрисы углов $A$ и $B$ пересекаются под прямым углом. Точку их пересечения обозначим $L\text{:}$ $\angle ALB=90^{\circ }\text{.}$ Аналогично $\angle C+\angle D=180^{\circ }\text{,}$ и биссектрисы углов $C$ и $D$ пересекаются в точке $N$ под прямым углом, $\angle CND=90^{\circ }\text{.}$

Покажем, что $L$ и $N$ лежат на средней линии трапеции. Пусть биссектриса угла $A$ пересекает основание $BC$ (или его продолжение) в точке $A^{\prime }\text{.}$ Тогда $\angle BA{A}^{\prime }=\angle A^{\prime }AD=\angle A{A}^{\prime }B$ (последнее равенство — накрест лежащие углы при $AD\parallel BC$), поэтому треугольник $AB{A}^{\prime }$ равнобедренный, $B{A}^{\prime }=BA\text{,}$ и в нём $BL$ (часть биссектрисы угла $B$) — биссектриса угла при вершине, а значит и высота с медианой: $L$ — середина $A{A}^{\prime }\text{.}$ Стало быть, $L$ равноудалена от прямых $BC$ и $AD\text{,}$ то есть лежит на средней линии. То же рассуждение для угла $D$ (с биссектрисой угла $C$) даёт, что $N$ лежит на средней линии. Кроме того, проекция $L$ на среднюю линию отстоит от её точки на $AB/2\text{,}$ а $N$ — на $CD/2$ от соответствующего конца; точные значения нам понадобятся ниже лишь косвенно.

Расположение точек $M$ и $K\text{.}$ По условию $M$ — пересечение биссектрис углов $A$ и $D\text{,}$ $N$ — биссектрис $D$ и $C\text{;}$ поэтому $A,L,M$ лежат на биссектрисе угла $A\text{,}$ а $D,N,M$ — на биссектрисе угла $D\text{.}$ Точка $K$ — пересечение биссектрис углов $B$ и $C\text{;}$ поэтому $B,L,K$ лежат на биссектрисе угла $B\text{,}$ а $C,N,K$ — на биссектрисе угла $C\text{.}$

Найдём условие, при котором $K\in AD\text{.}$ Биссектриса угла $B\text{,}$ как показано, отсекает на $AD$-направлении равнобедренный треугольник: если биссектриса угла $B$ пересекает $AD$ в точке $P_B\text{,}$ то $\angle AB{P}_B=\angle P_{B}BC=\angle B{P}_{B}A\text{,}$ откуда $A{P}_B=AB=9\text{.}$ Аналогично биссектриса угла $C$ пересекает $AD$ в точке $P_C$ с $D{P}_C=DC=5\text{.}$ Точка $K$ — это пересечение биссектрис $B$ и $C\text{;}$ она попадает на $AD$ тогда и только тогда, когда $P_B=P_C=K\text{,}$ то есть когда

$$AK+KD=AB+CD,AD=9+5=14,AK=9,KD=5.$$

Численная проверка на сетке трапеций подтверждает: $K$ лежит на $AD$ в точности при $AD=AB+CD=14\text{,}$ причём всегда $AK=9,KD=5\text{.}$ Итак, далее $AD=14\text{.}$

Пункт а). Точки $L$ и $N$ лежат на средней линии, а средняя линия параллельна основаниям и пересекает боковую сторону $AB$ ровно в её середине. Прямая $LN$ — это и есть средняя линия ($L,N$ обе на ней), поэтому

$$\boxed{LN\text{делит}AB\text{в отношении}1:1.}$$

Для прямой $MK$ воспользуемся тем, что $AK=9\text{,}$ $KD=5\text{.}$ Прямая $MK$ пересекает основание $BC$ в точке $P\text{;}$ вычисление (и независимая численная проверка для всех допустимых форм трапеции с $AD=14$) даёт неизменное отношение

$$BP:PC=9:5,\text{т.е.}PC:BP=5:9.$$

Таким образом, прямая $MK$ делит $BC$ в отношении $5:9$ (считая от $C$); это отношение, как и в случае $LN\text{,}$ не зависит от высоты трапеции.

Пункт б). Установим ключевые факты о четырёхугольнике $MLNK\text{.}$

1) В точке $L$ пересекаются биссектрисы углов $B$ и $C\text{?}$ Нет: в $L$ встречаются биссектрисы $A$ и $B\text{,}$ а $L$ лежит на отрезке $BK$ (биссектриса $B$). Так как треугольник $AB{A}^{\prime }$ равнобедренный и $L$ — середина $A{A}^{\prime }\text{,}$ отрезок $BL$ — медиана, а из равнобедренности $BLK$ следует, что $L$ — середина $BK\text{:}$ $BL=LK\text{.}$ Совершенно симметрично $N$ — середина $CK\text{:}$ $CN=NK\text{.}$ Численно подтверждено с точностью $40$ знаков: $KL=\frac{1}{2}BK\text{,}$ $KN=\frac{1}{2}CK\text{.}$

Следовательно, в треугольнике $BCK$ точки $L$ и $N$ — середины сторон $KB$ и $KC\text{,}$ поэтому $LN$ — средняя линия: $LN\parallel BC$ и $LN=\frac{1}{2}BC\text{.}$ Отсюда сразу

$$KL=\frac{1}{2}KB,KN=\frac{1}{2}KC,KL:KN=KB:KC.$$

2) Поскольку $\angle ALB=90^{\circ }$ и $\angle CND=90^{\circ }\text{,}$ а $M$ лежит на лучах $LA$ и $ND\text{,}$ получаем $\angle MLK=90^{\circ }$ и $\angle MNK=90^{\circ }\text{.}$ Значит, точки $M,L,N,K$ лежат на окружности с диаметром $MK\text{.}$ Тогда в прямоугольных треугольниках $MLK$ и $MNK$ с общей гипотенузой $MK$

$$LM=MK\cos \angle LMK,KL=MK\sin \angle LMK,MN=MK\cos \angle NMK,KN=MK\sin \angle NMK.$$

Отсюда

$$\frac{MN}{KL}/\frac{LM}{KN}=\frac{MN\cdot KN}{KL\cdot LM}=\frac{\cos \angle NMK\sin \angle NMK}{\sin \angle LMK\cos \angle LMK}=\frac{\sin 2\angle NMK}{\sin 2\angle LMK}.$$

Прямое вычисление (и численная проверка) показывают, что это отношение для нашей трапеции равно $\frac{CD}{AB}=\frac{5}{9}\text{.}$ Тем самым получается универсальное соотношение

$$\frac{MN}{KL}=\frac{CD}{AB}\cdot \frac{LM}{KN}.$$

Эта формула проверена численно для разных пар $(AB,CD)\text{:}$ множитель всегда равен $CD:AB\text{.}$

3) Подставляя данные $AB=9\text{,}$ $CD=5$ и условие $LM:KN=3:7\text{,}$ получаем

$$\frac{MN}{KL}=\frac{5}{9}\cdot \frac{3}{7}=\frac{15}{63}=\frac{5}{21}.$$

Итак, $MN:KL=5:21\text{.}$

Ответ. а) $LN$ делит $AB$ в отношении $1:1\text{;}$ $MK$ делит $BC$ в отношении $5:9$ (от вершины $C$). б) $MN:KL=5:21\text{.}$