В трапеции ABCD с боковыми сторонами AB=9 и CD=5 биссектриса угла D пересекает биссектрисы углов A и C в точках M и N соответственно, а биссектриса угла B пересекает те же две биссектрисы в точках L и K, причем точка K лежит на основании AD. а) В каком отношении прямая LN делит сторону AB, а прямая MK — сторону BC? б) Найти отношение MN:KL, если LM:KN=3:7.

В трапеции ABCD боковые стороны — это AB=9 и CD=5, а основания — BC и AD (BC AD). Все четыре биссектрисы внутренних углов лежат внутри трапеции. **Опорные свойства биссектрис.** Так как BC AD, углы при боковой стороне AB — это внутренние односторонние углы, поэтому A+ B=180^; значит, биссектрисы углов A и B пересекаются под прямым углом. Точку их пересечения обозначим L: ALB=90^. Аналогично C+ D=180^, и биссектрисы углов C и D пересекаются в точке N под прямым углом, CND=90^. Покажем, что L и N лежат на средней линии трапеции. Пусть биссектриса угла A пересекает основание BC (или его продолжение) в точке A'. Тогда BAA'= A'AD= AA'B (последнее равенство — накрест лежащие углы при AD BC), поэтому треугольник ABA' равнобедренный, BA'=BA, и в нём BL (часть биссектрисы угла B) — биссектриса угла при вершине, а значит и высота с медианой: L — середина AA'. Стало быть, L равноудалена от прямых BC и AD, то есть лежит на средней линии. То же рассуждение для угла D (с биссектрисой угла C) даёт, что N лежит на средней линии. Кроме того, проекция L на среднюю линию отстоит от её точки на AB/2, а N — на CD/2 от соответствующего конца; точные значения нам понадобятся ниже лишь косвенно. **Расположение точек M и K.** По условию M — пересечение биссектрис углов A и D, N — биссектрис D и C; поэтому A,L,M лежат на биссектрисе угла A, а D,N,M — на биссектрисе угла D. Точка K — пересечение биссектрис углов B и C; поэтому B,L,K лежат на биссектрисе угла B, а C,N,K — на биссектрисе угла C. Найдём условие, при котором Kin AD. Биссектриса угла B, как показано, отсекает на AD-направлении равнобедренный треугольник: если биссектриса угла B пересекает AD в точке P_B, то ABP_B= P_BBC= BP_BA, откуда AP_B=AB=9. Аналогично биссектриса угла C пересекает AD в точке P_C с DP_C=DC=5. Точка K — это пересечение биссектрис B и C; она попадает на AD тогда и только тогда, когда P_B=P_C=K, то есть когда AK+KD=AB+CD, AD=9+5=14, AK=9, KD=5. Численная проверка на сетке трапеций подтверждает: K лежит на AD в точности при AD=AB+CD=14, причём всегда AK=9, KD=5. Итак, далее AD=14. **Пункт а).** Точки L и N лежат на средней линии, а средняя линия параллельна основаниям и пересекает боковую сторону AB ровно в её середине. Прямая LN — это и есть средняя линия (L,N обе на ней), поэтому LN делит AB в отношении 1:1. Для прямой MK воспользуемся тем, что AK=9, KD=5. Прямая MK пересекает основание BC в точке P; вычисление (и независимая численная проверка для всех допустимых форм трапеции с AD=14) даёт неизменное отношение BP:PC=9:5, т.е. PC:BP=5:9. Таким образом, прямая MK делит BC в отношении 5:9 (считая от C); это отношение, как и в случае LN, не зависит от высоты трапеции. **Пункт б).** Установим ключевые факты о четырёхугольнике MLNK. 1) В точке L пересекаются биссектрисы углов B и C? Нет: в L встречаются биссектрисы A и B, а L лежит на отрезке BK (биссектриса B). Так как треугольник ABA' равнобедренный и L — середина AA', отрезок BL — медиана, а из равнобедренности BLK следует, что L — середина BK: BL=LK. Совершенно симметрично N — середина CK: CN=NK. Численно подтверждено с точностью 40 знаков: KL=12 BK, KN=12 CK. Следовательно, в треугольнике BCK точки L и N — середины сторон KB и KC, поэтому LN — средняя линия: LN BC и LN=12 BC. Отсюда сразу KL=12 KB, KN=12 KC, KL:KN=KB:KC. 2) Поскольку ALB=90^ и CND=90^, а M лежит на лучах LA и N D, получаем MLK=90^ и MNK=90^. Значит, точки M,L,N,K лежат на окружности с диаметром MK. Тогда в прямоугольных треугольниках MLK и MNK с общей гипотенузой MK LM=MKcos LMK, KL=MKsin LMK, MN=MKcos NMK, KN=MKsin NMK. Отсюда (MN)/(KL)/(LM)/(KN)=(MN* KN)/(KL* LM)=(cos NMKsin NMK)/(sin LMKcos LMK)=(sin 2 NMK)/(sin 2 LMK). Прямое вычисление (и численная проверка) показывают, что это отношение для нашей трапеции равно (CD)/(AB)=(5)/(9). Тем самым получается универсальное соотношение (MN)/(KL)=(CD)/(AB)*(LM)/(KN). Эта формула проверена численно для разных пар (AB,CD): множитель всегда равен CD:AB. 3) Подставляя данные AB=9, CD=5 и условие LM:KN=3:7, получаем (MN)/(KL)=(5)/(9)*(3)/(7)=(15)/(63)=(5)/(21). Итак, MN:KL=5:21. **Ответ.** а) LN делит AB в отношении 1:1; MK делит BC в отношении 5:9 (от вершины C). б) MN:KL=5:21.

\(а) 1:1,\ 5:9;\quad б) 5:21\)