Задача №18167

Решить неравенство

$$3^{(x+3{)}^2}+\frac{1}{9}⩽3^{x^2-2}+27^{2x+3}.$$

Все степени в неравенстве приведём к одному основанию $3\text{.}$ Так как $27=3^3\text{,}$ имеем $27^{2x+3}=3^{3(2x+3)}=3^{6x+9}\text{;}$ кроме того $\frac{1}{9}=3^{-2}\text{.}$ Раскроем квадрат в показателе: $(x+3{)}^2=x^2+6x+9\text{.}$ Неравенство принимает вид

$$3^{x^2+6x+9}+3^{-2}⩽3^{x^2-2}+3^{6x+9}.$$

Перенесём слагаемые так, чтобы слева и справа стояли разности с одинаковыми «добавками» к показателю $x^2\text{:}$

$$3^{x^2+6x+9}-3^{6x+9}⩽3^{x^2-2}-3^{-2}.$$

В левой части вынесем общий множитель $3^{6x+9}\text{,}$ а в правой — общий множитель $3^{-2}\text{:}$

$$3^{6x+9}\left(3^{x^2}-1\right)⩽3^{-2}\left(3^{x^2}-1\right).$$

Здесь использованы тождества $3^{x^2+6x+9}=3^{6x+9}\cdot 3^{x^2}$ и $3^{x^2-2}=3^{-2}\cdot 3^{x^2}\text{.}$ Перенося всё в одну сторону, получаем равносильное неравенство

$$\left(3^{x^2}-1\right)\left(3^{6x+9}-3^{-2}\right)⩽0.$$

Исследуем знаки двух множителей.

Первый множитель: показательная функция растёт, поэтому $3^{x^2}⩾3^0=1$ при всех $x$ (так как $x^2⩾0$), причём

$$3^{x^2}-1⩾0,3^{x^2}-1=0⟺x^2=0⟺x=0.$$

Значит, первый множитель неотрицателен всюду и обращается в нуль лишь в одной точке $x=0\text{.}$

Второй множитель: ввиду монотонного возрастания функции $t\mapsto 3^t$

$$3^{6x+9}-3^{-2}⩽0⟺6x+9⩽-2⟺6x⩽-11⟺x⩽-\frac{11}{6},$$

причём равенство $3^{6x+9}-3^{-2}=0$ достигается ровно при $x=-\frac{11}{6}\text{.}$

Произведение неотрицательного первого множителя и второго множителя не превосходит нуля в двух случаях.

1) Первый множитель обращается в нуль: тогда всё произведение равно $0$ независимо от знака второго множителя. Это даёт точку $x=0$ (при ней слева и справа стоит $0\text{,}$ неравенство выполнено как равенство).

2) Первый множитель строго положителен (то есть $x\ne 0$), а второй множитель неположителен: $3^{6x+9}-3^{-2}⩽0\text{,}$ что равносильно $x⩽-\frac{11}{6}\text{.}$ На этом луче условие $x\ne 0$ выполнено автоматически, так что подходит весь промежуток $\left(-\infty ;-\frac{11}{6}\right]\text{.}$ Правый конец $x=-\frac{11}{6}$ включается: там второй множитель равен нулю, и неравенство снова обращается в равенство.

Остаётся проверить, что промежуток между $-\frac{11}{6}$ и $0$ (а также любое $x>0$) решением не является. Действительно, при $-\frac{11}{6}<x$ и $x\ne 0$ первый множитель строго положителен, а второй строго положителен (поскольку $6x+9>-2$); их произведение строго больше нуля, и нестрогое неравенство $⩽0$ не выполнено.

Объединяя оба случая, получаем

$$\boxed{x\in \left(-\infty ;-\frac{11}{6}\right]\cup \{0\}}.$$

Точка $x=0$ — изолированное решение: ближайшие к ней точки слева (например, при $-\frac{11}{6}<x<0$) решениями не являются, что подтверждает корректность отдельного включения $\{0\}\text{.}$