Решить неравенство 3^((x+3)^2)+(1)/(9) 3^(x^2-2)+27^(2x+3).

Все степени в неравенстве приведём к одному основанию 3. Так как 27=3^3, имеем 27^(2x+3)=3^(3(2x+3))=3^(6x+9); кроме того (1)/(9)=3^(-2). Раскроем квадрат в показателе: (x+3)^2=x^2+6x+9. Неравенство принимает вид 3^(x^2+6x+9)+3^(-2) 3^(x^2-2)+3^(6x+9). Перенесём слагаемые так, чтобы слева и справа стояли разности с одинаковыми «добавками» к показателю x^2: 3^(x^2+6x+9)-3^(6x+9) 3^(x^2-2)-3^(-2). В левой части вынесем общий множитель 3^(6x+9), а в правой — общий множитель 3^(-2): 3^(6x+9)(3^(x^2)-1) 3^(-2)(3^(x^2)-1). Здесь использованы тождества 3^(x^2+6x+9)=3^(6x+9)* 3^(x^2) и 3^(x^2-2)=3^(-2)* 3^(x^2). Перенося всё в одну сторону, получаем равносильное неравенство (3^(x^2)-1)(3^(6x+9)-3^(-2)) 0. Исследуем знаки двух множителей. Первый множитель: показательная функция растёт, поэтому 3^(x^2) 3^(0)=1 при всех x (так как x^2 0), причём 3^(x^2)-1 0, 3^(x^2)-1=0 x^2=0 x=0. Значит, первый множитель неотрицателен всюду и обращается в нуль лишь в одной точке x=0. Второй множитель: ввиду монотонного возрастания функции t 3^(t) 3^(6x+9)-3^(-2) 0 6x+9 -2 6x -11 x -(11)/(6), причём равенство 3^(6x+9)-3^(-2)=0 достигается ровно при x=-(11)/(6). Произведение неотрицательного первого множителя и второго множителя не превосходит нуля в двух случаях. 1) Первый множитель обращается в нуль: тогда всё произведение равно 0 независимо от знака второго множителя. Это даёт точку x=0 (при ней слева и справа стоит 0, неравенство выполнено как равенство). 2) Первый множитель строго положителен (то есть x!= 0), а второй множитель неположителен: 3^(6x+9)-3^(-2) 0, что равносильно x -(11)/(6). На этом луче условие x!= 0 выполнено автоматически, так что подходит весь промежуток (-inf;-(11)/(6)]. Правый конец x=-(11)/(6) включается: там второй множитель равен нулю, и неравенство снова обращается в равенство. Остаётся проверить, что промежуток между -(11)/(6) и 0 (а также любое x>0) решением не является. Действительно, при -(11)/(6)<x и x!= 0 первый множитель строго положителен, а второй строго положителен (поскольку 6x+9>-2); их произведение строго больше нуля, и нестрогое неравенство 0 не выполнено. Объединяя оба случая, получаем xin(-inf;-(11)/(6)]U0. Точка x=0 — изолированное решение: ближайшие к ней точки слева (например, при -(11)/(6)<x<0) решениями не являются, что подтверждает корректность отдельного включения 0.

\(x \in \left(-\infty;\,-\frac{11}{6}\right]\cup\{0\}\)