Найти все значения a, при каждом из которых сумма длин интервалов, составляющих решение неравенства (x^2+(2a^2+6)x-a^2+2a-3)/(x^2+(a^2+7a-7)x-a^2+2a-3)<0 не меньше 1.

Обозначим числитель и знаменатель дроби N(x)=x^2+(2a^2+6)x+c, D(x)=x^2+(a^2+7a-7)x+c, где общий свободный член c=-a^2+2a-3=-((a-1)^2+2)<0 при всех a. **Структура каждого из квадратных трёхчленов.** У N(x) и D(x) старший коэффициент равен 1 (ветви вверх), а произведение корней по теореме Виета равно свободному члену c<0. Значит, у каждого трёхчлена два различных действительных корня противоположных знаков: один отрицательный, один положительный, и оба трёхчлена обращаются в нуль по разные стороны от нуля. Формально, дискриминанты D_N=(2a^2+6)^2-4c, D_D=(a^2+7a-7)^2-4c строго положительны, так как -4c=4a^2-8a+12>0 при всех a (это сумма неотрицательного квадрата и положительного слагаемого). Поэтому корни всегда вещественные и различные. Пусть n_1<0<n_2 — корни N, а d_1<0<d_2 — корни D. Тогда N(x)<0 на A=(n_1,n_2), D(x)<0 на B=(d_1,d_2), причём каждый из интервалов A и B содержит точку 0. **Решение неравенства как симметрическая разность.** Дробь (N(x))/(D(x))<0 ровно тогда, когда N и D имеют разные знаки, то есть на множестве, где ровно один из трёхчленов отрицателен. Это симметрическая разность интервалов A и B (точки d_1,d_2, где D=0, выкалываются, но на суммарную длину это не влияет). Поскольку оба интервала содержат общую точку 0, их симметрическая разность есть объединение двух «крайних» кусков, и её суммарная длина равна L=|n_1-d_1|+|n_2-d_2|. **Сравнение трёхчленов.** Вычтем: N(x)-D(x)=[(2a^2+6)-(a^2+7a-7)]x=(a^2-7a+13)x. Дискриминант множителя a^2-7a+13 равен 49-52<0, поэтому k:=a^2-7a+13>0 при всех a (минимум равен 34). Значит, графики N и D пересекаются только в точке x=0 (где N=D=c0), и при x>0 выполнено N(x)>D(x), а при x<0 — N(x)<D(x). Отсюда взаимное расположение корней: - для положительных корней: при x>0 парабола N лежит выше D, поэтому N достигает нуля раньше, и n_2<d_2; - для отрицательных корней: при x<0 парабола N лежит ниже D, поэтому её левый корень дальше слева, и n_1<d_1. Так как k>0 строго, обе разности строгие и совпадений корней нет. Поэтому L=(d_1-n_1)+(d_2-n_2)=(d_1+d_2)-(n_1+n_2). По теореме Виета n_1+n_2=-(2a^2+6) и d_1+d_2=-(a^2+7a-7), следовательно L=-(a^2+7a-7)-(-(2a^2+6))=(2a^2+6)-(a^2+7a-7)=a^2-7a+13. (Заметим, что это в точности тот же множитель k: суммарная длина интервалов решения равна a^2-7a+13.) **Условие задачи.** Требуется L1: a^2-7a+131 a^2-7a+120 (a-3)(a-4)0. Парабола с ветвями вверх неотрицательна вне отрезка между корнями 3 и 4 (включая их): ain(-inf;3]U[4;+inf). При a=3 и a=4 суммарная длина равна ровно 1 (условие «не меньше 1» выполнено, концы включаются), а при ain(3;4) она меньше 1. **Ответ:** ain(-inf;3]U[4;+inf).

\(a \in (-\infty;\,3]\cup[4;\,+\infty)\)