Найти все значения a, при каждом из которых сумма длин интервалов, составляющих решение неравенства (x^2+(2a^2+6)x-a^2+2a-3)/(x^2+(a^2+7a-7)x-a^2+2a-3)<0 не меньше 1.

Задача №18171: Сложная задача

Обозначим числитель и знаменатель дроби

N (x) = x^{2} + (2 a^{2} + 6) x + c, D (x) = x^{2} + (a^{2} + 7 a - 7) x + c,

где общий свободный член

c = - a^{2} + 2 a - 3 = - ((a - 1)^{2} + 2) < 0 при всех a .

Структура каждого из квадратных трёхчленов. У $N (x)$ и $D (x)$ старший коэффициент равен $1$ (ветви вверх), а произведение корней по теореме Виета равно свободному члену $c < 0 .$ Значит, у каждого трёхчлена два различных действительных корня противоположных знаков: один отрицательный, один положительный, и оба трёхчлена обращаются в нуль по разные стороны от нуля. Формально, дискриминанты

D_{N} = (2 a^{2} + 6)^{2} - 4 c, D_{D} = (a^{2} + 7 a - 7)^{2} - 4 c

строго положительны, так как $- 4 c = 4 a^{2} - 8 a + 12 > 0$ при всех $a$ (это сумма неотрицательного квадрата и положительного слагаемого). Поэтому корни всегда вещественные и различные.

Пусть $n_{1} < 0 < n_{2}$ — корни $N,$ а $d_{1} < 0 < d_{2}$ — корни $D .$ Тогда

N (x) < 0 на A = (n_{1}, n_{2}), D (x) < 0 на B = (d_{1}, d_{2}),

причём каждый из интервалов $A$ и $B$ содержит точку $0 .$

Решение неравенства как симметрическая разность. Дробь $\frac{N ( x )}{D ( x )} < 0$ ровно тогда, когда $N$ и $D$ имеют разные знаки, то есть на множестве, где ровно один из трёхчленов отрицателен. Это симметрическая разность интервалов $A$ и $B$ (точки $d_{1}, d_{2},$ где $D = 0,$ выкалываются, но на суммарную длину это не влияет). Поскольку оба интервала содержат общую точку $0,$ их симметрическая разность есть объединение двух «крайних» кусков, и её суммарная длина равна

L = ∣ n_{1} - d_{1} ∣ + ∣ n_{2} - d_{2} ∣.

Сравнение трёхчленов. Вычтем:

N (x) - D (x) = [(2 a^{2} + 6) - (a^{2} + 7 a - 7)] x = (a^{2} - 7 a + 13) x .

Дискриминант множителя $a^{2} - 7 a + 13$ равен $49 - 52 < 0,$ поэтому

k := a^{2} - 7 a + 13 > 0 при всех a

(минимум равен $\frac{3}{4}$ ). Значит, графики $N$ и $D$ пересекаются только в точке $x = 0$ (где $N = D = c \neq = 0$ ), и при $x > 0$ выполнено $N (x) > D (x),$ а при $x < 0$ — $N (x) < D (x) .$ Отсюда взаимное расположение корней:

для положительных корней: при $x > 0$ парабола $N$ лежит выше $D,$ поэтому $N$ достигает нуля раньше, и $n_{2} < d_{2};$
для отрицательных корней: при $x < 0$ парабола $N$ лежит ниже $D,$ поэтому её левый корень дальше слева, и $n_{1} < d_{1} .$

Так как $k > 0$ строго, обе разности строгие и совпадений корней нет. Поэтому

L = (d_{1} - n_{1}) + (d_{2} - n_{2}) = (d_{1} + d_{2}) - (n_{1} + n_{2}) .

По теореме Виета $n_{1} + n_{2} = - (2 a^{2} + 6)$ и $d_{1} + d_{2} = - (a^{2} + 7 a - 7),$ следовательно

L = - (a^{2} + 7 a - 7) - (- (2 a^{2} + 6)) = (2 a^{2} + 6) - (a^{2} + 7 a - 7) = a^{2} - 7 a + 13.

(Заметим, что это в точности тот же множитель $k :$ суммарная длина интервалов решения равна $a^{2} - 7 a + 13 .$ )

Условие задачи. Требуется $L \geq 1 :$

a^{2} - 7 a + 13 \geq 1 ⟺ a^{2} - 7 a + 12 \geq 0 ⟺ (a - 3) (a - 4) \geq 0.

Парабола с ветвями вверх неотрицательна вне отрезка между корнями $3$ и $4$ (включая их):

a \in (- \infty; 3] \cup [4; + \infty) .

При $a = 3$ и $a = 4$ суммарная длина равна ровно $1$ (условие «не меньше 1» выполнено, концы включаются), а при $a \in (3; 4)$ она меньше $1 .$

Ответ: $a \in (- \infty; 3] \cup [4; + \infty) .$