58:I[522016,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],""] 59:I[505014,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"default"] 5a:I[830789,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"CollectionDetailClient",1] 5b:T12dc,Запишем уравнение \[\left(x^2+4\right)\lg\left(\sin^2 3x\right)+x^2\lg\left(\cos^2 2x\right)=4\lg\left(\cos 2x\,\sin^3 3x\right).\] **Область определения.** Аргументы логарифмов должны быть положительны. Слева требуются $\sin^2 3x>0$ и $\cos^2 2x>0$, то есть $\sin 3x\neq0$ и $\cos 2x\neq0$. Справа требуется $\cos 2x\,\sin^3 3x>0$. Поскольку $\sin^3 3x$ имеет тот же знак, что и $\sin 3x$, последнее условие означает, что $\cos 2x$ и $\sin 3x$ одного знака (и оба не равны нулю). На всей этой области выполнены и левые ограничения, поэтому ОДЗ задаётся одним условием \[\cos 2x\,\sin 3x>0.\] **Сведение к множителям.** Введём обозначения $u=\lg\left(\sin^2 3x\right)=2\lg|\sin 3x|$ и $v=\lg\left(\cos^2 2x\right)=2\lg|\cos 2x|$. На ОДЗ $\cos 2x\,\sin^3 3x>0$, поэтому правую часть можно раскрыть по модулю: \[4\lg\left(\cos 2x\,\sin^3 3x\right)=4\Big(\lg|\cos 2x|+3\lg|\sin 3x|\Big)=4\left(\tfrac12 v+\tfrac32 u\right)=2v+6u.\] Левая часть равна $(x^2+4)u+x^2 v$. Уравнение превращается в \[(x^2+4)u+x^2v=6u+2v,\] то есть \[(x^2-2)u+(x^2-2)v=0\quad\Longleftrightarrow\quad (x^2-2)\big(u+v\big)=0.\] Таким образом, на ОДЗ исходное уравнение равносильно совокупности \[x^2-2=0\qquad\text{или}\qquad u+v=0.\] **Случай A: $x^2-2=0$.** Отсюда $x=\pm\sqrt2$. Проверяем ОДЗ $\cos 2x\,\sin 3x>0$. При $x=\sqrt2$: $2x=2\sqrt2\approx3{,}464$ лежит во второй четверти, $\cos 2x<0$; $3x=3\sqrt2\approx4{,}243$ лежит в третьей четверти, $\sin 3x<0$. Знаки совпадают, произведение положительно — точка входит в ОДЗ, и при ней оба сомножителя $(x^2-2)$ и весь левый множитель обращают уравнение в верное равенство. Значит, $x=\sqrt2$ — корень. При $x=-\sqrt2$: в силу нечётности $\sin 3x$ меняет знак ($\sin(-3\sqrt2)>0$), а $\cos 2x$ чётна и остаётся отрицательной; знаки противоположны, $\cos 2x\,\sin 3x<0$ — точка не входит в ОДЗ. Корень посторонний. Итак, из случая A остаётся единственное значение $x=\sqrt2$. **Случай B: $u+v=0$.** Здесь \[\lg\left(\sin^2 3x\right)+\lg\left(\cos^2 2x\right)=0\quad\Longleftrightarrow\quad \lg\left(\sin^2 3x\,\cos^2 2x\right)=0\quad\Longleftrightarrow\quad \sin^2 3x\,\cos^2 2x=1.\] Так как $0\le\sin^2 3x\le1$ и $0\le\cos^2 2x\le1$, произведение равно $1$ лишь когда оба сомножителя равны $1$: \[\sin^2 3x=1\quad\text{и}\quad\cos^2 2x=1.\] Первое даёт $3x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k$, то есть $x=\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi k}{3}$; второе даёт $2x=\pi m$, то есть $x=\dfrac{\pi m}{2}$. Совмещая, получаем $\dfrac{1}{6}+\dfrac{k}{3}=\dfrac{m}{2}$, откуда $2k-3m=-1$; решения этого уравнения дают \[x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad n\in\mathbb{Z}\] (нечётные кратные $\pi/2$). Осталось отсеять по ОДЗ $\cos 2x\,\sin 3x>0$. В этих точках $\cos 2x=\cos(\pi+2\pi n)=-1<0$, поэтому для положительности произведения нужно $\sin 3x<0$. Имеем $\sin 3x=\sin\!\left(\dfrac{3\pi}{2}+3\pi n\right)=-\cos(3\pi n)=-(-1)^{\,n}$. Условие $\sin 3x<0$ выполнено ровно при чётном $n$. Следовательно, в ОДЗ остаются только значения с чётным номером, то есть \[x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb{Z}.\] (При нечётных $n$ имеем $\sin 3x=+1$, $\cos 2x=-1$, и $\cos 2x\,\sin^3 3x=-1<0$ — правая часть не определена, такие точки посторонние.) **Объединение.** Собирая случаи A и B, получаем \[\boxed{\,x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z};\qquad x=\sqrt{2}\,.}\] *Примечание.* Ответ в печатном сборнике содержал неточность; приведённый ответ получен независимым решением и проверен.5c:Td24,Пусть прогрессия содержит $ n $ членов, её первый член равен $ 1 $, а знаменатель $ q>0 $. Тогда члены прогрессии суть $ 1,\ q,\ q^2,\ \dots,\ q^{n-1} $, и по условию \[ S=1+q+q^2+\dots+q^{n-1}=\frac{40}{27}, \] а сумма тех же членов с чередующимися знаками равна \[ S'=1-q+q^2-q^3+\dots\pm q^{n-1}=\frac{20}{27}. \] **Разделение на чётные и нечётные позиции.** Обозначим через $ E $ сумму членов, стоящих на нечётных местах (с чётными показателями степени $ q $), а через $ O $ — сумму членов на чётных местах (с нечётными показателями): \[ E=1+q^2+q^4+\dots,\qquad O=q+q^3+q^5+\dots \] Тогда обычная и знакочередующаяся суммы записываются как \[ S=E+O,\qquad S'=E-O. \] Складывая и вычитая эти равенства, находим $ E $ и $ O $ численно: \[ E=\frac{S+S'}{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{40}{27}+\frac{20}{27}\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{60}{27}=\frac{10}{9}, \] \[ O=\frac{S-S'}{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{40}{27}-\frac{20}{27}\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{20}{27}=\frac{10}{27}. \] **Связь между $ O $ и $ E $.** Каждый член с нечётным показателем получается из предшествующего члена с чётным показателем умножением на $ q $: именно, $ q=q\cdot 1 $, $ q^3=q\cdot q^2 $, $ q^5=q\cdot q^4 $ и т. д. Следовательно, если число членов $ n $ чётно (а только тогда нечётных и чётных позиций поровну), сумма $ O $ почленно равна $ q\cdot E $: \[ O=q+q^3+\dots+q^{n-1}=q\left(1+q^2+\dots+q^{n-2}\right)=q\,E. \] Отсюда \[ q=\frac{O}{E}=\frac{10/27}{10/9}=\frac{10}{27}\cdot\frac{9}{10}=\frac{9}{27}=\frac{1}{3}. \] **Определение числа членов и проверка.** Подставив $ q=\dfrac{1}{3} $ в выражение для полной суммы, найдём $ n $. Для конечной прогрессии \[ S=\frac{1-q^{\,n}}{1-q}=\frac{1-(1/3)^{n}}{1-1/3}=\frac{3}{2}\left(1-\frac{1}{3^{\,n}}\right). \] Приравнивая к $ \dfrac{40}{27} $: \[ \frac{3}{2}\left(1-\frac{1}{3^{\,n}}\right)=\frac{40}{27}\ \Longrightarrow\ 1-\frac{1}{3^{\,n}}=\frac{80}{81}\ \Longrightarrow\ \frac{1}{3^{\,n}}=\frac{1}{81}\ \Longrightarrow\ 3^{\,n}=81, \] то есть $ n=4 $. Число членов чётно, значит использованное равенство $ O=qE $ законно. Прямой подсчёт при $ q=\dfrac{1}{3} $ и $ n=4 $ подтверждает оба условия: \[ S=1+\frac13+\frac19+\frac1{27}=\frac{27+9+3+1}{27}=\frac{40}{27}, \] \[ S'=1-\frac13+\frac19-\frac1{27}=\frac{27-9+3-1}{27}=\frac{20}{27}. \] Оба значения совпали с данными в условии. Условие $ q>0 $ выполнено. **Ответ:** знаменатель прогрессии равен $ \dfrac{1}{3} $.5d:T1276,Обозначим два данных выражения \[ A(x)=|x-3|\,\bigl(|x-5|-|x-3|\bigr)-6x,\qquad B(x)=|x|\,\bigl(|x|-|x-8|\bigr)+24. \] Условие задачи требует найти все $x$, при которых хотя бы для одного из этих выражений одновременно выполнено: само выражение неположительно и его модуль не меньше модуля другого. То есть искомое множество — это объединение \[ \bigl(A\le 0\ \text{и}\ |A|\ge |B|\bigr)\quad\text{или}\quad\bigl(B\le 0\ \text{и}\ |B|\ge |A|\bigr). \] Модули раскрываются в точках $0,\ 3,\ 5,\ 8$, поэтому разобьём числовую прямую на участки $(-\infty;0)$, $[0;3)$, $[3;5]$, $(5;8)$, $[8;+\infty)$ и на каждом запишем $A$ и $B$ многочленами. **Раскрытие модулей по участкам.** | Участок | $A(x)$ | $B(x)$ | |---|---|---| | $x<0$ | $6-8x$ | $8x+24$ | | $0\le x<3$ | $6-8x$ | $2x^2-8x+24$ | | $3\le x\le 5$ | $-2x^2+8x-24$ | $2x^2-8x+24$ | | $5< x<8$ | $6-8x$ | $2x^2-8x+24$ | | $x\ge 8$ | $6-8x$ | $8x+24$ | Сразу отметим знак $B$. На отрезке $[0;8]$ имеем $B(x)=2x^2-8x+24=2\bigl((x-2)^2+8\bigr)\ge 16>0$. При $x\ge 8$ выражение $B=8x+24\ge 88>0$. При $x<0$ выражение $B=8x+24$ обращается в нуль в точке $x=-3$ и отрицательно лишь при $x<-3$. Значит, единственное место, где может выполняться $B\le 0$, — это луч $x\le -3$. **Ключевое наблюдение на отрезке $[3;5]$.** Здесь \[ A(x)=-2x^2+8x-24,\qquad B(x)=2x^2-8x+24, \] то есть $B(x)=-A(x)$. При этом \[ A(x)=-2x^2+8x-24=-2\bigl((x-2)^2+8\bigr)<0 \] для всех $x$ (дискриминант квадратного трёхчлена $x^2-4x+12$ отрицателен, а старший коэффициент $-2$). Следовательно, на всём отрезке $[3;5]$ выполнено $A(x)<0\le 0$ и, так как $B=-A$, имеем $|A|=|B|$, то есть $|A|\ge |B|$. Значит, первая скобка в условии выполнена для каждого $x\in[3;5]$ (включая концы, поскольку требуется «не меньше», и равенство модулей это требование удовлетворяет). Таким образом, весь отрезок $[3;5]$ входит в ответ. **Проверим, не добавляются ли точки вне $[3;5]$.** Заметим, что вне отрезка $[3;5]$ (а именно при $0\le x<3$, $5< x<8$ и $x\ge 8$) выражение $B$ строго положительно, поэтому вторая скобка условия $\bigl(B\le 0\bigr)$ там невозможна, и остаётся проверять только первую скобку с $A$. Рассмотрим участки, где $A(x)=6-8x$, а $B(x)>0$ (это $0\le x<3$, $56>0$, так что условие $A\le 0$ не выполняется, и первая скобка отпадает. Для второй скобки нужно $B\le 0$, что возможно лишь при $x\le -3$; тогда $|B|=-(8x+24)$, $|A|=6-8x$, и неравенство $|B|\ge |A|$ принимает вид \[ -(8x+24)\ \ge\ 6-8x \quad\Longleftrightarrow\quad -24\ \ge\ 6, \] что неверно. Стало быть, и на луче $x<0$ решений нет. **Итог.** Условию удовлетворяют ровно точки отрезка $[3;5]$: \[ \boxed{x\in[3;5]}. \]5e:T1297,Пусть первая окружность проходит через точки $A$, $B$, $C$, а вторая — через $A$, $B$, $D$; точки $C$ и $D$ лежат на секущей, проходящей через $B$, по разные стороны от прямой $AB$. Прямая $CE$ касается первой окружности в точке $C$, прямая $DE$ касается второй окружности в точке $D$, а $E$ — точка их пересечения. **Угол между касательной и хордой.** Воспользуемся тем, что угол между касательной к окружности и хордой, проведённой из точки касания, равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду из противоположной дуги. Для первой окружности касательная $CE$ и хорда $CB$ дают \[ \angle(EC,\,CB)=\angle BAC, \] поскольку вписанный угол $\angle BAC$ опирается на хорду $BC$ из дуги, не содержащей точку $C$ у касательной. Аналогично, рассматривая ту же касательную $CE$ и хорду $CA$, получаем \[ \angle ECA=\angle ABC, \] так как $\angle ABC$ — вписанный угол, опирающийся на хорду $AC$. Для второй окружности касательная $DE$ и хорда $DB$ дают точно так же \[ \angle(ED,\,DB)=\angle BAD,\qquad \angle EDA=\angle ABD . \] **Подобие треугольников.** Сравним треугольники $AED$ и $ACB$. Рассмотрим угол при вершине $A$. По доказанному угол между касательной $DE$ и секущей в точке $D$ равен $\angle BAD$, а угол между касательной $CE$ и секущей в точке $C$ равен $\angle BAC$. Прямое угловое преследование в полученной конфигурации (с учётом того, что $C$ и $D$ лежат по разные стороны от $AB$) показывает, что точки $A,\,C,\,E,\,D$ лежат на одной окружности: действительно, \[ \angle ACE+\angle ADE=\angle ABC+\angle ABD=180^\circ, \] ведь углы $\angle ABC$ и $\angle ABD$ — это углы, под которыми отрезок $AB$ виден из точек $C$ и $D$, лежащих по разные стороны от $AB$ на секущей через $B$, и потому они дополняют друг друга до $180^\circ$. Равенство суммы противоположных углов четырёхугольника $ACED$ числу $180^\circ$ означает, что он вписанный. Из вписанности $ACED$ следует равенство углов, опирающихся на одни и те же дуги: \[ \angle AED=\angle ACD=\angle ACB,\qquad \angle AEC=\angle ADC=\angle ADB . \] Кроме того, для углов при вершине $A$ получаем \[ \angle DAE=\angle DCE \quad\text{и}\quad \angle DAE=\angle BAC, \] последнее — снова из равенства касательно-хордовых и вписанных углов в указанной конфигурации. Таким образом, в треугольниках $AED$ и $ACB$ \[ \angle DAE=\angle CAB,\qquad \angle AED=\angle ACB . \] По двум углам треугольники подобны: \[ \triangle AED\ \sim\ \triangle ACB . \] **Вычисление $AE$.** Из подобия следует пропорциональность соответственных сторон. Углу $\angle DAE=\angle CAB$ противолежат стороны $ED$ и $CB$, углу $\angle AED=\angle ACB$ — стороны $AD$ и $AB$, а третьему углу — стороны $AE$ и $AC$. Значит, \[ \frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}. \] Отсюда \[ AE=\frac{AC\cdot AD}{AB}. \] Подставляя данные $AB=10$, $AC=16$, $AD=15$, получаем \[ AE=\frac{16\cdot 15}{10}=\frac{240}{10}=24 . \] (То же значение даёт и симметричное подобие $\triangle AEC\sim\triangle ADB$, приводящее к $\dfrac{AE}{AD}=\dfrac{AC}{AB}$, то есть снова $AE=\dfrac{AC\cdot AD}{AB}=24$.) **Ответ:** $AE=\boxed{24}$.5f:T1b83,Введём замену $ t=2^{x} $. Так как показательная функция строго возрастает и принимает все положительные значения, отображение $ x\mapsto t=2^{x} $ — это возрастающая биекция числовой прямой на луч $ (0;+\infty) $. При этом $ 2^{x-2}=\dfrac{t}{4} $. **Сведение к рациональному неравенству по $ t $.** Перенесём всё в левую часть и приведём к общему знаменателю: \[ \frac{a+2-\dfrac{t}{4}}{a+3}-\frac{5a+5}{2\,(t+3a+3)}\geqslant 0 . \] Приводя к общему знаменателю $ 4(a+3)(t+3a+3) $, числитель после раскрытия скобок и приведения подобных равен \[ -t^{2}+(a+5)t+2a^{2}-4a-6=-(t-2a-2)(t+a-3)=(2a+2-t)(t+a-3). \] Поэтому исходное неравенство равносильно (при $ t=2^{x} $) неравенству \[ F(t):=\frac{(2a+2-t)(t+a-3)}{4\,(a+3)\,(t+3a+3)}\geqslant 0 . \] Здесь обязательно $ a\neq -3 $ (иначе левая часть исходного неравенства вообще не определена ни при каком $ x $, и решений нет), а также должно быть $ t+3a+3\neq 0 $. У дроби $ F(t) $ (как функции от $ t $) есть два нуля числителя $ t=2a+2 $ и $ t=3-a $ и один полюс $ t=-3a-3 $. **Что значит «содержит луч».** Множество решений по $ x $ содержит луч тогда и только тогда, когда оно содержит луч одного из двух видов: $ [M;+\infty) $ (правый луч) или $ (-\infty;M] $ (левый луч). В силу монотонности замены: — правому лучу $ x\to+\infty $ отвечает $ t\to+\infty $; значит, правый луч в решении существует тогда и только тогда, когда $ F(t)\geqslant 0 $ при всех достаточно больших $ t>0 $; — левому лучу $ x\to-\infty $ отвечает $ t\to 0^{+} $; значит, левый луч существует тогда и только тогда, когда $ F(t)\geqslant 0 $ при всех достаточно малых $ t>0 $. Разберём оба случая. **1. Правый луч (поведение при $ t\to+\infty $).** При больших $ t $ числитель ведёт себя как $ -t^{2} $, а знаменатель — как $ 4(a+3)\,t $, поэтому \[ F(t)\sim \frac{-t^{2}}{4(a+3)\,t}=-\frac{t}{4(a+3)}\qquad (t\to+\infty). \] Следовательно $ F(t)\to+\infty $ при $ a+3<0 $ и $ F(t)\to-\infty $ при $ a+3>0 $. Полюс $ t=-3a-3 $ конечен и при больших $ t $ уже пройден, знак не меняет. Значит, $ F(t)\geqslant 0 $ при всех достаточно больших $ t $ тогда и только тогда, когда \[ a+3<0\quad\Longleftrightarrow\quad a<-3 . \] Итак, правый луч в множестве решений существует ровно при $ a<-3 $. **2. Левый луч (поведение при $ t\to 0^{+} $).** Если полюс $ t=-3a-3 $ не находится в нуле, то знак $ F $ около $ t=0^{+} $ определяется значением \[ F(0)=\frac{(2a+2)(a-3)}{4(a+3)(3a+3)}=\frac{2(a+1)(a-3)}{12(a+3)(a+1)}=\frac{a-3}{6(a+3)}, \] где сокращение на $ (a+1) $ законно при $ a\neq -1 $. Это выражение неотрицательно тогда и только тогда, когда $ (a-3) $ и $ (a+3) $ одного знака (или $ a=3 $), то есть при $ a<-3 $ или $ a\geqslant 3 $. Кроме того, надо убедиться, что вблизи нуля знак сохраняется, а не только в пределе: — при $ a<-3 $ имеем $ F(0)>0 $ и ближайшие к нулю особые точки расположены далеко ($ 3-a>0 $ велико, полюс $ -3a-3>0 $ тоже велик), поэтому $ F(t)>0 $ на всём промежутке $ (0;\,\min(2a+2,\;-3a-3)) $, который непуст; левый луч есть (он, впрочем, уже учтён в правом случае); — при $ a>3 $ имеем $ F(0)>0 $, а ближайший положительный нуль числителя $ t=3-a<0 $ или $ t=2a+2>0 $ (велик), полюс $ -3a-3<0 $ — все вне малой окрестности нуля, поэтому $ F(t)>0 $ для всех малых $ t>0 $; левый луч есть; — при $ a=3 $ дробь принимает вид $ F(t)=\dfrac{t(8-t)}{24(t+12)} $, что неотрицательно при $ 00 $, то есть $ F(0)<0 $, и около нуля $ F(t)<0 $; левого луча нет (правого тоже нет, так как $ a>-3 $). **Особый случай $ a=-1 $.** Здесь одновременно обнуляются множитель числителя $ 2a+2=0 $ и полюс $ -3a-3=0 $. Подставляя $ a=-1 $ в дробь до сокращения, получаем \[ F(t)=\frac{(-t)(t-4)}{4\cdot 2\cdot t}=\frac{4-t}{8}\qquad (t>0), \] причём сокращение на $ t $ законно, ведь $ t=2^{x}>0 $ и значение $ t=0 $ не достигается. Тогда $ F(t)\geqslant 0 $ при $ 00 $ — левый луч есть. (При больших $ t $ дробь отрицательна, правого луча нет, но одного левого достаточно.) Поэтому $ a=-1 $ подходит. Это изолированная точка: при $ a=-0{,}999 $ и $ a=-1{,}001 $ ни одного луча уже нет. **Объединение.** Луч в множестве решений существует тогда и только тогда, когда есть правый или левый луч: \[ \underbrace{a<-3}_{\text{правый луч}}\quad\text{или}\quad \underbrace{a=-1}_{\text{особая точка}}\quad\text{или}\quad \underbrace{a\geqslant 3}_{\text{левый луч}} . \] Значение $ a=-3 $ исключено (неравенство не определено). Окончательно \[ \boxed{\,a\in(-\infty;-3)\cup\{-1\}\cup[3;+\infty)\,}. \]60:T1860,Обозначим вершины так, что $ABCD$ — трапеция с параллельными основаниями $BC$ и $AD$, $BC:AD=2:5$, а $S$ — вершина пирамиды. Пусть $h$ — высота трапеции (расстояние между прямыми $BC$ и $AD$), а $H$ — высота пирамиды (расстояние от $S$ до плоскости основания). Сфера, вписанная в пирамиду, касается основания и всех боковых граней; её радиус обозначим $r$. Центр сферы $O$ удалён от плоскости основания ровно на $r$. **Шаг 1. Связь радиуса сферы и высоты пирамиды.** Точка $E$ лежит в плоскости основания (высота $0$), вершина $S$ — на высоте $H$. Высота — аффинная координата вдоль отрезка $SE$, поэтому для точки $O$, делящей $SE$ в отношении $SO:OE=7:2$ (считая от $S$), её высота равна \[ r=H+\frac{SO}{SE}\,(0-H)=H\left(1-\frac{7}{9}\right)=\frac{2}{9}H,\qquad\text{откуда}\quad \frac{H}{r}=\frac{9}{2}. \] **Шаг 2. Полная поверхность через объём.** Объём пирамиды считается двумя способами: через высоту и площадь основания, а также через радиус вписанной сферы и полную поверхность (сфера касается всех граней, поэтому каждая грань «отсекает» пирамидку высоты $r$): \[ V=\frac{1}{3}\,H\,S_{\text{осн}}=\frac{1}{3}\,r\,S_{\text{полн}}. \] Следовательно \[ S_{\text{полн}}=\frac{H}{r}\,S_{\text{осн}}=\frac{9}{2}\,S_{\text{осн}}. \] Таким образом, достаточно найти площадь основания. **Шаг 3. Боковой вид вдоль оснований и отношение апофем.** Спроецируем пирамиду на плоскость, перпендикулярную прямым $BC$ и $AD$ (то есть вдоль их общего направления). Так как плоскости основания, грани $SAD$ и грани $SBC$ содержат это направление, они проецируются в три прямые, а вписанная сфера — в окружность, касающуюся всех трёх прямых, то есть во вписанную окружность треугольника, образованного боковым видом. Обозначим через \[ l_{AD}=\rho(S,AD),\qquad l_{BC}=\rho(S,BC) \] апофемы (перпендикуляры из вершины к прямым оснований); в боковом виде это длины наклонных сторон треугольника, а нижняя сторона имеет длину $h$. Центр $O$ проецируется в центр этой вписанной окружности. Условие «$O$ лежит на $SE$» означает, что в боковом виде центр окружности лежит на чевиане из проекции вершины в проекцию точки $E$; но центр вписанной окружности лежит на биссектрисе угла при вершине. Значит, эта биссектриса попадает в проекцию точки $E$. По свойству биссектрисы основание делит нижнюю сторону в отношении прилежащих сторон: \[ \frac{\rho(E,AD)}{\rho(E,BC)}=\frac{l_{AD}}{l_{BC}}. \] Диагонали трапеции делятся точкой $E$ в отношении оснований: треугольники $EBC$ и $EDA$ подобны с коэффициентом $BC:AD=2:5$, поэтому \[ \rho(E,BC):\rho(E,AD)=2:5,\qquad\text{то есть}\quad \rho(E,AD)=\frac{5}{7}h,\ \ \rho(E,BC)=\frac{2}{7}h. \] Отсюда \[ \frac{l_{AD}}{l_{BC}}=\frac{\rho(E,AD)}{\rho(E,BC)}=\frac{5}{2}. \] **Шаг 4. Длины апофем.** Радиус вписанной окружности бокового треугольника (он же радиус сферы $r$) равен отношению его площади к полупериметру. Площадь равна $\tfrac12\cdot h\cdot H$, полупериметр — $\tfrac12\bigl(h+l_{AD}+l_{BC}\bigr)$, поэтому \[ r=\frac{\tfrac12 hH}{\tfrac12\bigl(h+l_{AD}+l_{BC}\bigr)}=\frac{hH}{\,h+l_{AD}+l_{BC}\,}. \] Приравнивая к $r=\tfrac{2}{9}H$, получаем \[ h+l_{AD}+l_{BC}=\frac{9}{2}h,\qquad\text{то есть}\quad l_{AD}+l_{BC}=\frac{7}{2}h. \] Вместе с $l_{AD}:l_{BC}=5:2$ это даёт \[ l_{BC}=h,\qquad l_{AD}=\frac{5}{2}h. \] **Шаг 5. Площади.** Пусть $BC=2k$, $AD=5k$. Грани над основаниями трапеции — треугольники с апофемами $l_{BC},l_{AD}$: \[ S_{SBC}=\frac12\cdot BC\cdot l_{BC}=\frac12\cdot 2k\cdot h=kh, \qquad S_{SAD}=\frac12\cdot AD\cdot l_{AD}=\frac12\cdot 5k\cdot\frac{5}{2}h=\frac{25}{4}kh. \] Площадь основания: \[ S_{\text{осн}}=\frac{BC+AD}{2}\,h=\frac{7k}{2}\,h=\frac{7}{2}\,kh. \] По условию $S_{SBC}=8$, то есть $kh=8$. Тогда \[ S_{\text{осн}}=\frac{7}{2}\cdot 8=28, \] и по результату Шага 2 \[ S_{\text{полн}}=\frac{9}{2}\,S_{\text{осн}}=\frac{9}{2}\cdot 28=\boxed{126}. \] (Заметим попутно, что суммарная площадь боковых граней над боковыми сторонами трапеции равна $S_{\text{полн}}-S_{\text{осн}}-S_{SBC}-S_{SAD}=\tfrac{49}{4}kh-kh-\tfrac{25}{4}kh=5kh=40$, что согласуется с разбиением полной поверхности.)41:[["$","script",null,{"id":"collection-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"Course\",\"name\":\"Мехмат МГУ — май 1999\",\"description\":\"Коллекция \\\"Мехмат МГУ — май 1999\\\" для подготовки к экзамену. Содержит 6 задач. Готовьтесь к экзаменам онлайн.\",\"url\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections/mehmat-1999-05\",\"provider\":{\"@type\":\"Organization\",\"name\":\"SdamEx\",\"url\":\"https://sdamex.com\"},\"educationalLevel\":{\"@type\":\"EducationalOccupationalCredential\",\"credentialCategory\":\"ЕГЭ\"},\"hasCourseInstance\":{\"@type\":\"CourseInstance\",\"courseMode\":\"online\"},\"dateCreated\":\"2026-06-10T00:50:00.000Z\"}"}}],["$","script",null,{"id":"breadcrumb-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Математика\",\"item\":\"https://sdamex.com/math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"ДВИ МГУ (математика)\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":3,\"name\":\"Коллекции\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":4,\"name\":\"Мехмат МГУ — май 1999\"}]}"}}],["$","nav",null,{"aria-label":"Хлебные крошки","className":"min-w-0 mb-4","children":["$","ol",null,{"className":"flex flex-wrap items-center gap-x-1 gap-y-0.5 text-xs text-muted-foreground","children":[["$","li","Математика-0",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[false,["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Математика"}]]}],["$","li","ДВИ МГУ (математика)-1",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":[["path",{"d":"m9 18 6-6-6-6","key":"mthhwq"}]],"className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"ДВИ МГУ (математика)"}]]}],["$","li","Коллекции-2",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math/collections","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Коллекции"}]]}],["$","li","Мехмат МГУ — май 1999-3",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","span",null,{"className":"truncate text-foreground/80","aria-current":"page","children":"Мехмат МГУ — май 1999"}]]}]]}]}],["$","$L5a",null,{"subject":"math","examCode":"dvi-math","collectionId":"mehmat-1999-05","serverCollection":{"id":"d4605ef9-3850-4e0f-bf23-f5255e79456c","name":"Мехмат МГУ — май 1999","code":"mehmat-1999-05","collection_type":"system_variant","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","exam_code":"dvi-math","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","hidden_problem_count":0,"session":"05","session_label":"Олимпиада «Абитуриент-1999», май (механико-математический факультет МГУ)","solved_count":0,"source":"Мехмат МГУ (архив, mathus.ru)","source_url":"https://mathus.ru/olymp/mm1999-05.pdf","total_problem_count":6,"variant_batch":"mehmat-1993-2010-v1","visible_problem_count":6,"year":1999},"created_at":"2026-06-10T00:50:00Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem_count":6,"visible_count":6,"total_count":6,"pdf_unlocked":false},"serverCollectionProblems":{"items":[{"problem_id":"61b32de9-48fc-47ad-9c84-85b1c9a58008","collection_id":"d4605ef9-3850-4e0f-bf23-f5255e79456c","display_order":1,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"61b32de9-48fc-47ad-9c84-85b1c9a58008","short_id":18161,"task_number":17,"topic_id":"57c71533-3578-44db-89b2-cbb8140c30a6","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":7,"content_text":"Решить уравнение\n\\[\\left(x^2+4\\right)\\lg\\left(\\sin^2 3x\\right)+x^2\\lg\\left(\\cos^2 2x\\right)=4\\lg\\left(\\cos 2x\\sin^3 3x\\right).\\]","answer_text":"\$x=\\dfrac{\\pi}{2}+2\\pi n,\\ n\\in\\mathbb{Z};\\quad x=\\sqrt{2}\$","answer":"\$x=\\dfrac{\\pi}{2}+2\\pi n,\\ n\\in\\mathbb{Z};\\quad x=\\sqrt{2}\$","solution_text":"$5b","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":1,"session":"05","variant_key":"mm1999-05","year":1999},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"57c71533-3578-44db-89b2-cbb8140c30a6","name":"Логарифмические уравнения","description":null},"tags":[{"id":"9564a83d-ccf3-4211-91ed-f6f568873b0e","code":"tag-131","name":"Тригонометрические уравнения"},{"id":"c04c64eb-0a91-459f-8a98-25e089aa4372","code":"tag-181","name":"Уравнения смешанного типа"},{"id":"c8cd9c24-fac7-48ab-b79b-6c5fbd73b985","code":"tag-189","name":"Логарифмические уравнения"},{"id":"f69451d0-02df-42b8-a45e-481a03558513","code":"tag-234","name":"Логарифм произведения, частного, степени"}]}},{"problem_id":"00e43f9e-93be-41b6-907c-12d40491f8cb","collection_id":"d4605ef9-3850-4e0f-bf23-f5255e79456c","display_order":2,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"00e43f9e-93be-41b6-907c-12d40491f8cb","short_id":18162,"task_number":15,"topic_id":"df51d0dd-1877-4622-8eb8-50a8151bbd7d","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":4,"content_text":"Сумма членов конечной геометрической прогрессии с первым членом 1 и положительным знаменателем равна \$\\dfrac{40}{27}\$, а сумма тех же членов с чередующимися знаками (первый — со знаком «плюс», второй — со знаком «минус» и т. д.) равна \$\\dfrac{20}{27}\$. Найти знаменатель прогрессии.","answer_text":"\$\\dfrac{1}{3}\$","answer":"\$\\dfrac{1}{3}\$","solution_text":"$5c","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":2,"session":"05","variant_key":"mm1999-05","year":1999},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"df51d0dd-1877-4622-8eb8-50a8151bbd7d","name":"Прогрессии","description":null},"tags":[{"id":"4b7dfc01-ef7d-43d7-baec-c5f58da87aa6","code":"tag-75","name":"Системы уравнений"},{"id":"cac715c7-756d-4aa2-91ef-8ac2fd2653b6","code":"tag-193","name":"Последовательности и прогрессии"},{"id":"ec133604-ce66-4c15-84f7-9262bb200a7a","code":"tag-227","name":"Задачи на прогрессии"}]}},{"problem_id":"ed824ea4-0985-4ce3-a405-49601ec84efd","collection_id":"d4605ef9-3850-4e0f-bf23-f5255e79456c","display_order":3,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"ed824ea4-0985-4ce3-a405-49601ec84efd","short_id":18163,"task_number":93,"topic_id":"1e9ccb7a-30e8-4e35-bdf3-332cafa41d38","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":7,"content_text":"Найти все \$x\$, при которых хотя бы одно из двух выражений\n\\[|x-3|\\,(|x-5|-|x-3|)-6x \\quad\\text{и}\\quad |x|\\,(|x|-|x-8|)+24\\]\nнеположительно и при этом его модуль не меньше модуля другого.","answer_text":"\$x\\in[3;5]\$","answer":"\$x\\in[3;5]\$","solution_text":"$5d","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":3,"session":"05","variant_key":"mm1999-05","year":1999},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"1e9ccb7a-30e8-4e35-bdf3-332cafa41d38","name":"Неравенства с модулем","description":null},"tags":[{"id":"0148c122-19f0-472b-b8c1-162241eb57d1","code":"tag-2","name":"Модуль числа"},{"id":"2c55495d-5b54-461b-8a9b-3567966b9d28","code":"tag-40","name":"Метод интервалов"},{"id":"bdc218ab-0917-4a7d-9ebf-df1a98e2ace6","code":"tag-180","name":"Системы неравенств"},{"id":"f8a306b8-8780-43ef-a835-654813949c7a","code":"tag-236","name":"Неравенства с модулями"}]}},{"problem_id":"936ad970-7144-4bf7-b3c5-65ea2439b8fa","collection_id":"d4605ef9-3850-4e0f-bf23-f5255e79456c","display_order":4,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"936ad970-7144-4bf7-b3c5-65ea2439b8fa","short_id":18164,"task_number":18,"topic_id":"1148d06d-7ecc-4ba9-b2d9-947ac91b9c9d","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":7,"content_text":"Две окружности пересекаются в точках \$A\$ и \$B\$. Через точку \$B\$ проведена прямая, пересекающая окружности в точках \$C\$ и \$D\$, лежащих по разные стороны от прямой \$AB\$. Касательные к этим окружностям в точках \$C\$ и \$D\$ пересекаются в точке \$E\$. Найти \$AE\$, если \$AB=10\$, \$AC=16\$, \$AD=15\$.","answer_text":"\$24\$","answer":"\$24\$","solution_text":"$5e","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":4,"session":"05","variant_key":"mm1999-05","year":1999},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"1148d06d-7ecc-4ba9-b2d9-947ac91b9c9d","name":"Окружность","description":null},"tags":[{"id":"9cea34fa-faa0-4a81-91ea-1e59dbb45b17","code":"tag-138","name":"Окружности"},{"id":"ac363015-7c47-47f2-be45-7c955578a6ab","code":"tag-160","name":"Расстояние между точками"},{"id":"c289978d-0619-415d-b931-ca8286c4546b","code":"tag-182","name":"Окружности и треугольники"},{"id":"f8c015b6-cb48-4711-a78c-7b5ceaaf5d71","code":"tag-237","name":"Окружности и системы окружностей"}]}},{"problem_id":"e74e3916-ca9f-49c4-bf63-dd238cdc9462","collection_id":"d4605ef9-3850-4e0f-bf23-f5255e79456c","display_order":5,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"e74e3916-ca9f-49c4-bf63-dd238cdc9462","short_id":18165,"task_number":19,"topic_id":"7ee08b18-18e8-42f5-8ad4-c094688c771d","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":8,"content_text":"Найти все значения \$a\$, при каждом из которых множество решений неравенства\n\\[\\frac{a+2-2^{x-2}}{a+3}\\geqslant\\frac{5a+5}{2\\left(2^x+3a+3\\right)}\\]\nсодержит какой-либо луч на числовой прямой.","answer_text":"\$a\\in(-\\infty;-3)\\cup\\{-1\\}\\cup[3;+\\infty)\$","answer":"\$a\\in(-\\infty;-3)\\cup\\{-1\\}\\cup[3;+\\infty)\$","solution_text":"$5f","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":5,"session":"05","variant_key":"mm1999-05","year":1999},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"7ee08b18-18e8-42f5-8ad4-c094688c771d","name":"Задачи с параметрами","description":null},"tags":[{"id":"71f19a1a-c6b7-4320-9e0b-3cb73213fa41","code":"tag-104","name":"Показательные неравенства"},{"id":"d049c81a-1ded-4ac2-9392-9a84869c2975","code":"tag-197","name":"Неравенства с параметром"},{"id":"f013b7ee-7ebe-4efa-ac38-3a5cbeb6aa9c","code":"tag-231","name":"Неравенства рациональные относительно показательной функции"}]}},{"problem_id":"b57ba65e-b385-479b-a3e6-c430b267a894","collection_id":"d4605ef9-3850-4e0f-bf23-f5255e79456c","display_order":6,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"b57ba65e-b385-479b-a3e6-c430b267a894","short_id":18166,"task_number":20,"topic_id":"b37141ac-ec06-41ef-977b-401cb8faa903","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":8,"content_text":"Основанием пирамиды \$SABCD\$ является трапеция \$ABCD\$ с основаниями \$BC\$ и \$AD\$ такими, что \$BC:AD=2:5\$. Диагонали трапеции пересекаются в точке \$E\$, а центр \$O\$ вписанной в пирамиду сферы лежит на отрезке \$SE\$ и делит его в отношении \$SO:OE=7:2\$. Найти площадь полной поверхности пирамиды, если площадь боковой грани \$SBC\$ равна 8.","answer_text":"\$126\$","answer":"\$126\$","solution_text":"$60","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":6,"session":"05","variant_key":"mm1999-05","year":1999},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"b37141ac-ec06-41ef-977b-401cb8faa903","name":"Сферы","description":null},"tags":[{"id":"6ccb9bb5-b6c0-496f-9c20-89c67048d639","code":"tag-97","name":"Пирамида"},{"id":"a1e9cba9-7ee1-4f19-a92d-5b6033d1395a","code":"tag-146","name":"Трапеция"},{"id":"d763ec72-67f6-41da-a57d-460064ed2688","code":"tag-204","name":"Площадь поверхности"},{"id":"efe23998-8e8a-4d60-ace9-a559b7ded5cb","code":"tag-229","name":"Вписанный шар"}]}}],"total":6},"serverExams":[{"id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","code":"dvi-math","name":"ДВИ МГУ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"1aed6121-06cc-4a5a-87f5-77de484ebb36","program_code":"dvi","exam_type":"ДВИ","description":"Дополнительное вступительное испытание МГУ им. М.В. Ломоносова по математике. С 2026 года экзамен состоит из двух частей: лёгкий тест с кратким ответом и традиционная письменная часть с полным решением.","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-07-11","metadata":{"duration_minutes":180,"max_secondary_score":100,"mock_exam_enabled":true,"part2_tasks":6,"parts":[{"answer_format":"detailed","part":1,"scale":"linear","slots_in_variant":10,"tasks":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13],"weight":30},{"answer_format":"detailed","part":2,"scale":"score_conversion","slots_in_variant":6,"tasks":[14,15,16,17,18,19,20],"weight":70}],"score_conversion":[2,30,30,35,35,35,35,35,40,40,40,40,40,45,45,45,45,45,50,50,50,50,50,55,55,55,55,55,60,60,60,60,60,65,65,65,65,65,70,70,70,70,70,75,75,75,75,75,80,80,80,80,80,85,85,85,85,85,90,90,90,90,90,95,95,95,95,95,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":10,"15":10,"16":10,"17":10,"18":10,"19":10,"20":10},"structure_2026":{"consultation_video_url":"https://disk.360.yandex.ru/d/NbP139HUZpCPDA","exam_2026":{"exam_date":"2026-07-11","note":"Реальный основной день; в образце Ш12622 тест был из 15 задач.","test_task_count":10,"written_task_count":6},"exam_portal":"https://exam.msu.ru/","official_exam_page":"https://cpk.msu.ru/exam/101","parts":["base","written"],"test_task_count":15},"task_count":7,"task_numbering":"part_relative","year":2026},"created_at":"2026-06-10T20:49:34.08312Z","updated_at":"2026-09-01T00:33:23.788959Z","problem_count":1008,"theory_count":36,"system_collection_count":190},{"id":"3a8471c5-2a11-4932-ba3e-7ab7d1ae7a1d","code":"ege-base","name":"Математика (база) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_base","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Базовый ЕГЭ по математике для получения аттестата","has_part2":false,"max_task_number":21,"exam_date":"2026-06-04","metadata":{"duration_minutes":180,"max_score":21,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":21,"part2_tasks":0,"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":1,"21":1},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","problem_count":8561,"theory_count":85,"system_collection_count":111},{"id":"23f00ba7-bd19-4ca8-9349-5134d88397cf","code":"ege-prof","name":"Математика (профиль) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_prof","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Профильный ЕГЭ по математике для поступающих в технические вузы","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-06-08","metadata":{"duration_minutes":235,"max_score":33,"max_secondary_score":100,"max_task_number":20,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":13,"part2_tasks":7,"score_conversion":[0,6,11,17,22,27,34,40,46,52,58,64,70,72,74,76,78,80,82,84,86,88,90,92,94,95,96,97,98,99,100,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":2,"15":3,"16":2,"17":2,"18":3,"19":4,"20":4},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2026-08-30T23:51:20.728833Z","problem_count":2491,"theory_count":123,"system_collection_count":255},{"id":"b0db9506-ddcf-4200-8815-7a709ea0dc4e","code":"oge-math","name":"ОГЭ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"ff8f63b8-bfcc-47f3-9d55-bc666ee30237","program_code":"oge","exam_type":"ОГЭ","description":"Основной государственный экзамен по математике (9 класс): 25 заданий, 235 минут. Часть 1 — задания 1-19 с кратким ответом (1 балл), часть 2 — задания 20-25 с развёрнутым ответом (2 балла). Максимум 31 первичный балл, итоговая отметка 2-5.","has_part2":true,"max_task_number":25,"metadata":{"duration_minutes":235,"geometry_min_points":2,"geometry_min_points_note":"Для отметки выше 2 необходимо >=2 первичных баллов за геометрию (задания 15-19, 23-25); кодируется в скоринге пробника через geometry_tasks + geometry_min_points (0423)","geometry_tasks":[15,16,17,18,19,23,24,25],"hidden":false,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":19,"part2_tasks":[20,21,22,23,24,25],"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":2,"21":2,"22":2,"23":2,"24":2,"25":2},"task_count":25,"year":2026},"created_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","updated_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","problem_count":2181,"theory_count":104,"system_collection_count":89}]}]]

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ