Решить уравнение (x^2+4)lg(sin^2 3x)+x^2lg(cos^2 2x)=4lg(cos 2xsin^3 3x).

Запишем уравнение (x^2+4)lg(sin^2 3x)+x^2lg(cos^2 2x)=4lg(cos 2xsin^3 3x). **Область определения.** Аргументы логарифмов должны быть положительны. Слева требуются sin^2 3x>0 и cos^2 2x>0, то есть sin 3x0 и cos 2x0. Справа требуется cos 2xsin^3 3x>0. Поскольку sin^3 3x имеет тот же знак, что и sin 3x, последнее условие означает, что cos 2x и sin 3x одного знака (и оба не равны нулю). На всей этой области выполнены и левые ограничения, поэтому ОДЗ задаётся одним условием cos 2xsin 3x>0. **Сведение к множителям.** Введём обозначения u=lg(sin^2 3x)=2lg|sin 3x| и v=lg(cos^2 2x)=2lg|cos 2x|. На ОДЗ cos 2xsin^3 3x>0, поэтому правую часть можно раскрыть по модулю: 4lg(cos 2xsin^3 3x)=4(lg|cos 2x|+3lg|sin 3x|)=4(12 v+32 u)=2v+6u. Левая часть равна (x^2+4)u+x^2 v. Уравнение превращается в (x^2+4)u+x^2v=6u+2v, то есть (x^2-2)u+(x^2-2)v=0 (x^2-2)(u+v)=0. Таким образом, на ОДЗ исходное уравнение равносильно совокупности x^2-2=0 или u+v=0. **Случай A: x^2-2=0.** Отсюда x=+-2. Проверяем ОДЗ cos 2xsin 3x>0. При x=2: 2x=22~3,464 лежит во второй четверти, cos 2x<0; 3x=32~4,243 лежит в третьей четверти, sin 3x<0. Знаки совпадают, произведение положительно — точка входит в ОДЗ, и при ней оба сомножителя (x^2-2) и весь левый множитель обращают уравнение в верное равенство. Значит, x=2 — корень. При x=-2: в силу нечётности sin 3x меняет знак (sin(-32)>0), а cos 2x чётна и остаётся отрицательной; знаки противоположны, cos 2xsin 3x<0 — точка не входит в ОДЗ. Корень посторонний. Итак, из случая A остаётся единственное значение x=2. **Случай B: u+v=0.** Здесь lg(sin^2 3x)+lg(cos^2 2x)=0 lg(sin^2 3xcos^2 2x)=0 sin^2 3xcos^2 2x=1. Так как 0<=sin^2 3x1 и 0<=cos^2 2x1, произведение равно 1 лишь когда оба сомножителя равны 1: sin^2 3x=1 и cos^2 2x=1. Первое даёт 3x=(pi)/(2)+pi k, то есть x=(pi)/(6)+(pi k)/(3); второе даёт 2x=pi m, то есть x=(pi m)/(2). Совмещая, получаем (1)/(6)+(k)/(3)=(m)/(2), откуда 2k-3m=-1; решения этого уравнения дают x=(pi)/(2)+pi n, ninZ (нечётные кратные pi/2). Осталось отсеять по ОДЗ cos 2xsin 3x>0. В этих точках cos 2x=cos(pi+2pi n)=-1<0, поэтому для положительности произведения нужно sin 3x<0. Имеем sin 3x=sin((3pi)/(2)+3pi n)=-cos(3pi n)=-(-1)^(n). Условие sin 3x<0 выполнено ровно при чётном n. Следовательно, в ОДЗ остаются только значения с чётным номером, то есть x=(pi)/(2)+2pi n, ninZ. (При нечётных n имеем sin 3x=+1, cos 2x=-1, и cos 2xsin^3 3x=-1<0 — правая часть не определена, такие точки посторонние.) **Объединение.** Собирая случаи A и B, получаем x=(pi)/(2)+2pi n, ninZ; x=sqrt(2). *Примечание.* Ответ в печатном сборнике содержал неточность; приведённый ответ получен независимым решением и проверен.

\(x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z};\quad x=\sqrt{2}\)