Задача №18161

Решить уравнение

$$\left(x^2+4\right)\lg \left({\sin }^{2}3x\right)+x^2\lg \left({\cos }^{2}2x\right)=4\lg \left(\cos 2x{\sin }^{3}3x\right).$$

Запишем уравнение

$$\left(x^2+4\right)\lg \left({\sin }^{2}3x\right)+x^2\lg \left({\cos }^{2}2x\right)=4\lg \left(\cos 2x{\sin }^{3}3x\right).$$

Область определения. Аргументы логарифмов должны быть положительны. Слева требуются ${\sin }^{2}3x>0$ и ${\cos }^{2}2x>0\text{,}$ то есть $\sin 3x\ne 0$ и $\cos 2x\ne 0\text{.}$ Справа требуется $\cos 2x{\sin }^{3}3x>0\text{.}$ Поскольку ${\sin }^{3}3x$ имеет тот же знак, что и $\sin 3x\text{,}$ последнее условие означает, что $\cos 2x$ и $\sin 3x$ одного знака (и оба не равны нулю). На всей этой области выполнены и левые ограничения, поэтому ОДЗ задаётся одним условием

$$\cos 2x\sin 3x>0.$$

Сведение к множителям. Введём обозначения $u=\lg \left({\sin }^{2}3x\right)=2\lg |\sin 3x|$ и $v=\lg \left({\cos }^{2}2x\right)=2\lg |\cos 2x|\text{.}$ На ОДЗ $\cos 2x{\sin }^{3}3x>0\text{,}$ поэтому правую часть можно раскрыть по модулю:

$$4\lg \left(\cos 2x{\sin }^{3}3x\right)=4(\lg |\cos 2x|+3\lg |\sin 3x|)=4\left(\frac{1}{2}v+\frac{3}{2}u\right)=2v+6u.$$

Левая часть равна $(x^2+4)u+x^{2}v\text{.}$ Уравнение превращается в

$$(x^2+4)u+x^{2}v=6u+2v,$$

то есть

$$(x^2-2)u+(x^2-2)v=0⟺(x^2-2)(u+v)=0.$$

Таким образом, на ОДЗ исходное уравнение равносильно совокупности

$$x^2-2=0\text{или}u+v=0.$$

Случай A: $x^2-2=0\text{.}$ Отсюда $x=\pm \sqrt{2}\text{.}$ Проверяем ОДЗ $\cos 2x\sin 3x>0\text{.}$

При $x=\sqrt{2}\text{:}$ $2x=2\sqrt{2}\approx 3,464$ лежит во второй четверти, $\cos 2x<0\text{;}$ $3x=3\sqrt{2}\approx 4,243$ лежит в третьей четверти, $\sin 3x<0\text{.}$ Знаки совпадают, произведение положительно — точка входит в ОДЗ, и при ней оба сомножителя $(x^2-2)$ и весь левый множитель обращают уравнение в верное равенство. Значит, $x=\sqrt{2}$ — корень.

При $x=-\sqrt{2}\text{:}$ в силу нечётности $\sin 3x$ меняет знак ($\sin (-3\sqrt{2})>0$), а $\cos 2x$ чётна и остаётся отрицательной; знаки противоположны, $\cos 2x\sin 3x<0$ — точка не входит в ОДЗ. Корень посторонний.

Итак, из случая A остаётся единственное значение $x=\sqrt{2}\text{.}$

Случай B: $u+v=0\text{.}$ Здесь

$$\lg \left({\sin }^{2}3x\right)+\lg \left({\cos }^{2}2x\right)=0⟺\lg \left({\sin }^{2}3x{\cos }^{2}2x\right)=0⟺{\sin }^{2}3x{\cos }^{2}2x=1.$$

Так как $0\le {\sin }^{2}3x\le 1$ и $0\le {\cos }^{2}2x\le 1\text{,}$ произведение равно $1$ лишь когда оба сомножителя равны $1\text{:}$

$${\sin }^{2}3x=1\text{и}{\cos }^{2}2x=1.$$

Первое даёт $3x=\frac{\pi }{2}+\pi k\text{,}$ то есть $x=\frac{\pi }{6}+\frac{\pi k}{3}\text{;}$ второе даёт $2x=\pi m\text{,}$ то есть $x=\frac{\pi m}{2}\text{.}$ Совмещая, получаем $\frac{1}{6}+\frac{k}{3}=\frac{m}{2}\text{,}$ откуда $2k-3m=-1\text{;}$ решения этого уравнения дают

$$x=\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in \mathbb{Z}$$

(нечётные кратные $\pi /2$).

Осталось отсеять по ОДЗ $\cos 2x\sin 3x>0\text{.}$ В этих точках $\cos 2x=\cos (\pi +2\pi n)=-1<0\text{,}$ поэтому для положительности произведения нужно $\sin 3x<0\text{.}$ Имеем $\sin 3x=\sin \left(\frac{3\pi }{2}+3\pi n\right)=-\cos (3\pi n)=-(-1{)}^n\text{.}$ Условие $\sin 3x<0$ выполнено ровно при чётном $n\text{.}$ Следовательно, в ОДЗ остаются только значения с чётным номером, то есть

$$x=\frac{\pi }{2}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}.$$

(При нечётных $n$ имеем $\sin 3x=+1\text{,}$ $\cos 2x=-1\text{,}$ и $\cos 2x{\sin }^{3}3x=-1<0$ — правая часть не определена, такие точки посторонние.)

Объединение. Собирая случаи A и B, получаем

$$\boxed{x=\frac{\pi }{2}+2\pi n,n\in \mathbb{Z};x=\sqrt{2}.}$$

Примечание. Ответ в печатном сборнике содержал неточность; приведённый ответ получен независимым решением и проверен.