Найти все значения a, при каждом из которых множество решений неравенства (a+2-2^(x-2))/(a+3)(5a+5)/(2(2^x+3a+3)) содержит какой-либо луч на числовой прямой.

Введём замену t=2^(x) . Так как показательная функция строго возрастает и принимает все положительные значения, отображение x t=2^(x) — это возрастающая биекция числовой прямой на луч (0;+inf) . При этом 2^(x-2)=(t)/(4) . **Сведение к рациональному неравенству по t .** Перенесём всё в левую часть и приведём к общему знаменателю: (a+2-(t)/(4))/(a+3)-(5a+5)/(2(t+3a+3)) 0 . Приводя к общему знаменателю 4(a+3)(t+3a+3) , числитель после раскрытия скобок и приведения подобных равен -t^(2)+(a+5)t+2a^(2)-4a-6=-(t-2a-2)(t+a-3)=(2a+2-t)(t+a-3). Поэтому исходное неравенство равносильно (при t=2^(x) ) неравенству F(t):=((2a+2-t)(t+a-3))/(4(a+3)(t+3a+3)) 0 . Здесь обязательно a!= -3 (иначе левая часть исходного неравенства вообще не определена ни при каком x , и решений нет), а также должно быть t+3a+3!= 0 . У дроби F(t) (как функции от t ) есть два нуля числителя t=2a+2 и t=3-a и один полюс t=-3a-3 . **Что значит «содержит луч».** Множество решений по x содержит луч тогда и только тогда, когда оно содержит луч одного из двух видов: [M;+inf) (правый луч) или (-inf;M] (левый луч). В силу монотонности замены: — правому лучу x+inf отвечает t+inf ; значит, правый луч в решении существует тогда и только тогда, когда F(t) 0 при всех достаточно больших t>0 ; — левому лучу x-inf отвечает t 0^(+) ; значит, левый луч существует тогда и только тогда, когда F(t) 0 при всех достаточно малых t>0 . Разберём оба случая. **1. Правый луч (поведение при t+inf ).** При больших t числитель ведёт себя как -t^(2) , а знаменатель — как 4(a+3)t , поэтому F(t) (-t^(2))/(4(a+3)t)=-(t)/(4(a+3)) (t+inf). Следовательно F(t)+inf при a+3<0 и F(t)-inf при a+3>0 . Полюс t=-3a-3 конечен и при больших t уже пройден, знак не меняет. Значит, F(t) 0 при всех достаточно больших t тогда и только тогда, когда a+3<0 a<-3 . Итак, правый луч в множестве решений существует ровно при a<-3 . **2. Левый луч (поведение при t 0^(+) ).** Если полюс t=-3a-3 не находится в нуле, то знак F около t=0^(+) определяется значением F(0)=((2a+2)(a-3))/(4(a+3)(3a+3))=(2(a+1)(a-3))/(12(a+3)(a+1))=(a-3)/(6(a+3)), где сокращение на (a+1) законно при a!= -1 . Это выражение неотрицательно тогда и только тогда, когда (a-3) и (a+3) одного знака (или a=3 ), то есть при a<-3 или a 3 . Кроме того, надо убедиться, что вблизи нуля знак сохраняется, а не только в пределе: — при a<-3 имеем F(0)>0 и ближайшие к нулю особые точки расположены далеко ( 3-a>0 велико, полюс -3a-3>0 тоже велик), поэтому F(t)>0 на всём промежутке (0;(2a+2,-3a-3)) , который непуст; левый луч есть (он, впрочем, уже учтён в правом случае); — при a>3 имеем F(0)>0 , а ближайший положительный нуль числителя t=3-a<0 или t=2a+2>0 (велик), полюс -3a-3<0 — все вне малой окрестности нуля, поэтому F(t)>0 для всех малых t>0 ; левый луч есть; — при a=3 дробь принимает вид F(t)=(t(8-t))/(24(t+12)) , что неотрицательно при 0<t 8 ; левый луч есть; — при -3<a<3 (и a!= -1 ) имеем a-3<0 , a+3>0 , то есть F(0)<0 , и около нуля F(t)<0 ; левого луча нет (правого тоже нет, так как a>-3 ). **Особый случай a=-1 .** Здесь одновременно обнуляются множитель числителя 2a+2=0 и полюс -3a-3=0 . Подставляя a=-1 в дробь до сокращения, получаем F(t)=((-t)(t-4))/(4* 2* t)=(4-t)/(8) (t>0), причём сокращение на t законно, ведь t=2^(x)>0 и значение t=0 не достигается. Тогда F(t) 0 при 0<t 4 , то есть неравенство выполнено для всех достаточно малых t>0 — левый луч есть. (При больших t дробь отрицательна, правого луча нет, но одного левого достаточно.) Поэтому a=-1 подходит. Это изолированная точка: при a=-0,999 и a=-1,001 ни одного луча уже нет. **Объединение.** Луч в множестве решений существует тогда и только тогда, когда есть правый или левый луч: a<-3_(правый луч) или a=-1_(особая точка) или a 3_(левый луч) . Значение a=-3 исключено (неравенство не определено). Окончательно ain(-inf;-3)U-1[3;+inf).