Основанием пирамиды SABCD является трапеция ABCD с основаниями BC и AD такими, что BC:AD=2:5. Диагонали трапеции пересекаются в точке E, а центр O вписанной в пирамиду сферы лежит на отрезке SE и делит его в отношении SO:OE=7:2. Найти площадь полной поверхности пирамиды, если площадь боковой грани SBC равна 8.

Обозначим вершины так, что ABCD — трапеция с параллельными основаниями BC и AD, BC:AD=2:5, а S — вершина пирамиды. Пусть h — высота трапеции (расстояние между прямыми BC и AD), а H — высота пирамиды (расстояние от S до плоскости основания). Сфера, вписанная в пирамиду, касается основания и всех боковых граней; её радиус обозначим r. Центр сферы O удалён от плоскости основания ровно на r. **Шаг 1. Связь радиуса сферы и высоты пирамиды.** Точка E лежит в плоскости основания (высота 0), вершина S — на высоте H. Высота — аффинная координата вдоль отрезка SE, поэтому для точки O, делящей SE в отношении SO:OE=7:2 (считая от S), её высота равна r=H+(SO)/(SE)(0-H)=H(1-(7)/(9))=(2)/(9)H, откуда (H)/(r)=(9)/(2). **Шаг 2. Полная поверхность через объём.** Объём пирамиды считается двумя способами: через высоту и площадь основания, а также через радиус вписанной сферы и полную поверхность (сфера касается всех граней, поэтому каждая грань «отсекает» пирамидку высоты r): V=(1)/(3)HS_(осн)=(1)/(3)rS_(полн). Следовательно S_(полн)=(H)/(r)S_(осн)=(9)/(2)S_(осн). Таким образом, достаточно найти площадь основания. **Шаг 3. Боковой вид вдоль оснований и отношение апофем.** Спроецируем пирамиду на плоскость, перпендикулярную прямым BC и AD (то есть вдоль их общего направления). Так как плоскости основания, грани SAD и грани SBC содержат это направление, они проецируются в три прямые, а вписанная сфера — в окружность, касающуюся всех трёх прямых, то есть во вписанную окружность треугольника, образованного боковым видом. Обозначим через l_(AD)=(S,AD), l_(BC)=(S,BC) апофемы (перпендикуляры из вершины к прямым оснований); в боковом виде это длины наклонных сторон треугольника, а нижняя сторона имеет длину h. Центр O проецируется в центр этой вписанной окружности. Условие «O лежит на SE» означает, что в боковом виде центр окружности лежит на чевиане из проекции вершины в проекцию точки E; но центр вписанной окружности лежит на биссектрисе угла при вершине. Значит, эта биссектриса попадает в проекцию точки E. По свойству биссектрисы основание делит нижнюю сторону в отношении прилежащих сторон: ((E,AD))/((E,BC))=(l_(AD))/(l_(BC)). Диагонали трапеции делятся точкой E в отношении оснований: треугольники EBC и EDA подобны с коэффициентом BC:AD=2:5, поэтому (E,BC):(E,AD)=2:5, то есть (E,AD)=(5)/(7)h, (E,BC)=(2)/(7)h. Отсюда (l_(AD))/(l_(BC))=((E,AD))/((E,BC))=(5)/(2). **Шаг 4. Длины апофем.** Радиус вписанной окружности бокового треугольника (он же радиус сферы r) равен отношению его площади к полупериметру. Площадь равна 12* h* H, полупериметр — 12(h+l_(AD)+l_(BC)), поэтому r=(12 hH)/(12(h+l_(AD)+l_(BC)))=(hH)/(h+l_(AD)+l_(BC)). Приравнивая к r=(2)/(9)H, получаем h+l_(AD)+l_(BC)=(9)/(2)h, то есть l_(AD)+l_(BC)=(7)/(2)h. Вместе с l_(AD):l_(BC)=5:2 это даёт l_(BC)=h, l_(AD)=(5)/(2)h. **Шаг 5. Площади.** Пусть BC=2k, AD=5k. Грани над основаниями трапеции — треугольники с апофемами l_(BC),l_(AD): S_(SBC)=12* BC* l_(BC)=12* 2k* h=kh, S_(SAD)=12* AD* l_(AD)=12* 5k*(5)/(2)h=(25)/(4)kh. Площадь основания: S_(осн)=(BC+AD)/(2)h=(7k)/(2)h=(7)/(2)kh. По условию S_(SBC)=8, то есть kh=8. Тогда S_(осн)=(7)/(2)* 8=28, и по результату Шага 2 S_(полн)=(9)/(2)S_(осн)=(9)/(2)* 28=126. (Заметим попутно, что суммарная площадь боковых граней над боковыми сторонами трапеции равна S_(полн)-S_(осн)-S_(SBC)-S_(SAD)=(49)/(4)kh-kh-(25)/(4)kh=5kh=40, что согласуется с разбиением полной поверхности.)

\(126\)