Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Геометрия
Мехмат МГУ (архив)
Основанием пирамиды SABCD является трапеция ABCD с основаниями BC и AD такими, что BC:AD=2:5. Диагонали трапеции пересекаются в точке E, а центр O вписанной в пирамиду сферы лежит на отрезке SE и делит его в отношении SO:OE=7:2. Найти площадь полной поверхности пирамиды, если площадь боковой грани SBC равна 8.
Обозначим вершины так, что ABCD — трапеция с параллельными основаниями BC и AD, BC:AD=2:5, а S — вершина пирамиды. Пусть h — высота трапеции (расстояние между прямыми BC и AD), а H — высота пирамиды (расстояние от S до плоскости основания). Сфера, вписанная в пирамиду, касается основания и всех боковых граней; её радиус обозначим r. Центр сферы O удалён от плоскости основания ровно на r.
Шаг 1. Связь радиуса сферы и высоты пирамиды.
Точка E лежит в плоскости основания (высота 0), вершина S — на высоте H. Высота — аффинная координата вдоль отрезка SE, поэтому для точки O, делящей SE в отношении SO:OE=7:2 (считая от S), её высота равна
r=H+SESO(0−H)=H(1−97)=92H,откудаrH=29.Шаг 2. Полная поверхность через объём.
Объём пирамиды считается двумя способами: через высоту и площадь основания, а также через радиус вписанной сферы и полную поверхность (сфера касается всех граней, поэтому каждая грань «отсекает» пирамидку высоты r):
V=31HSосн=31rSполн.Следовательно
Sполн=rHSосн=29Sосн.Таким образом, достаточно найти площадь основания.
Шаг 3. Боковой вид вдоль оснований и отношение апофем.
Спроецируем пирамиду на плоскость, перпендикулярную прямым BC и AD (то есть вдоль их общего направления). Так как плоскости основания, грани SAD и грани SBC содержат это направление, они проецируются в три прямые, а вписанная сфера — в окружность, касающуюся всех трёх прямых, то есть во вписанную окружность треугольника, образованного боковым видом. Обозначим через
lAD=ρ(S,AD),lBC=ρ(S,BC)апофемы (перпендикуляры из вершины к прямым оснований); в боковом виде это длины наклонных сторон треугольника, а нижняя сторона имеет длину h.
Центр O проецируется в центр этой вписанной окружности. Условие «O лежит на SE» означает, что в боковом виде центр окружности лежит на чевиане из проекции вершины в проекцию точки E; но центр вписанной окружности лежит на биссектрисе угла при вершине. Значит, эта биссектриса попадает в проекцию точки E. По свойству биссектрисы основание делит нижнюю сторону в отношении прилежащих сторон:
ρ(E,BC)ρ(E,AD)=lBClAD.Диагонали трапеции делятся точкой E в отношении оснований: треугольники EBC и EDA подобны с коэффициентом BC:AD=2:5, поэтому
ρ(E,BC):ρ(E,AD)=2:5,то естьρ(E,AD)=75h, ρ(E,BC)=72h.Отсюда
lBClAD=ρ(E,BC)ρ(E,AD)=25.Шаг 4. Длины апофем.
Радиус вписанной окружности бокового треугольника (он же радиус сферы r) равен отношению его площади к полупериметру. Площадь равна 21⋅h⋅H, полупериметр — 21(h+lAD+lBC), поэтому
r=21(h+lAD+lBC)21hH=h+lAD+lBChH.Приравнивая к r=92H, получаем
h+lAD+lBC=29h,то естьlAD+lBC=27h.Вместе с lAD:lBC=5:2 это даёт
lBC=h,lAD=25h.Шаг 5. Площади.
Пусть BC=2k, AD=5k. Грани над основаниями трапеции — треугольники с апофемами lBC,lAD:
SSBC=21⋅BC⋅lBC=21⋅2k⋅h=kh,SSAD=21⋅AD⋅lAD=21⋅5k⋅25h=425kh.Площадь основания:
Sосн=2BC+ADh=27kh=27kh.По условию SSBC=8, то есть kh=8. Тогда
Sосн=27⋅8=28,и по результату Шага 2
Sполн=29Sосн=29⋅28=126.(Заметим попутно, что суммарная площадь боковых граней над боковыми сторонами трапеции равна Sполн−Sосн−SSBC−SSAD=449kh−kh−425kh=5kh=40, что согласуется с разбиением полной поверхности.)