Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку B проведена прямая, пересекающая окружности в точках C и D, лежащих по разные стороны от прямой AB. Касательные к этим окружностям в точках C и D пересекаются в точке E. Найти AE, если AB=10, AC=16, AD=15.

Пусть первая окружность проходит через точки A, B, C, а вторая — через A, B, D; точки C и D лежат на секущей, проходящей через B, по разные стороны от прямой AB. Прямая CE касается первой окружности в точке C, прямая DE касается второй окружности в точке D, а E — точка их пересечения. **Угол между касательной и хордой.** Воспользуемся тем, что угол между касательной к окружности и хордой, проведённой из точки касания, равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду из противоположной дуги. Для первой окружности касательная CE и хорда CB дают (EC,CB)= BAC, поскольку вписанный угол BAC опирается на хорду BC из дуги, не содержащей точку C у касательной. Аналогично, рассматривая ту же касательную CE и хорду CA, получаем ECA= ABC, так как ABC — вписанный угол, опирающийся на хорду AC. Для второй окружности касательная DE и хорда DB дают точно так же (ED,DB)= BAD, EDA= ABD . **Подобие треугольников.** Сравним треугольники AED и ACB. Рассмотрим угол при вершине A. По доказанному угол между касательной DE и секущей в точке D равен BAD, а угол между касательной CE и секущей в точке C равен BAC. Прямое угловое преследование в полученной конфигурации (с учётом того, что C и D лежат по разные стороны от AB) показывает, что точки A,C,E,D лежат на одной окружности: действительно, ACE+ ADE= ABC+ ABD=180^, ведь углы ABC и ABD — это углы, под которыми отрезок AB виден из точек C и D, лежащих по разные стороны от AB на секущей через B, и потому они дополняют друг друга до 180^. Равенство суммы противоположных углов четырёхугольника ACED числу 180^ означает, что он вписанный. Из вписанности ACED следует равенство углов, опирающихся на одни и те же дуги: AED= ACD= ACB, AEC= ADC= ADB . Кроме того, для углов при вершине A получаем DAE= DCE и DAE= BAC, последнее — снова из равенства касательно-хордовых и вписанных углов в указанной конфигурации. Таким образом, в треугольниках AED и ACB DAE= CAB, AED= ACB . По двум углам треугольники подобны: AED ACB . **Вычисление AE.** Из подобия следует пропорциональность соответственных сторон. Углу DAE= CAB противолежат стороны ED и CB, углу AED= ACB — стороны AD и AB, а третьему углу — стороны AE и AC. Значит, (AE)/(AC)=(AD)/(AB). Отсюда AE=(AC* AD)/(AB). Подставляя данные AB=10, AC=16, AD=15, получаем AE=(16* 15)/(10)=(240)/(10)=24 . (То же значение даёт и симметричное подобие AEC ADB, приводящее к (AE)/(AD)=(AC)/(AB), то есть снова AE=(AC* AD)/(AB)=24.) **Ответ:** AE=24.

\(24\)