Задача №18164

Две окружности пересекаются в точках $A$ и $B\text{.}$ Через точку $B$ проведена прямая, пересекающая окружности в точках $C$ и $D\text{,}$ лежащих по разные стороны от прямой $AB\text{.}$ Касательные к этим окружностям в точках $C$ и $D$ пересекаются в точке $E\text{.}$ Найти $AE\text{,}$ если $AB=10\text{,}$ $AC=16\text{,}$ $AD=15\text{.}$

Пусть первая окружность проходит через точки $A\text{,}$ $B\text{,}$ $C\text{,}$ а вторая — через $A\text{,}$ $B\text{,}$ $D\text{;}$ точки $C$ и $D$ лежат на секущей, проходящей через $B\text{,}$ по разные стороны от прямой $AB\text{.}$ Прямая $CE$ касается первой окружности в точке $C\text{,}$ прямая $DE$ касается второй окружности в точке $D\text{,}$ а $E$ — точка их пересечения.

Угол между касательной и хордой. Воспользуемся тем, что угол между касательной к окружности и хордой, проведённой из точки касания, равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду из противоположной дуги.

Для первой окружности касательная $CE$ и хорда $CB$ дают

поскольку вписанный угол $\angle BAC$ опирается на хорду $BC$ из дуги, не содержащей точку $C$ у касательной. Аналогично, рассматривая ту же касательную $CE$ и хорду $CA\text{,}$ получаем

так как $\angle ABC$ — вписанный угол, опирающийся на хорду $AC\text{.}$

Для второй окружности касательная $DE$ и хорда $DB$ дают точно так же

Подобие треугольников. Сравним треугольники $AED$ и $ACB\text{.}$

Рассмотрим угол при вершине $A\text{.}$ По доказанному угол между касательной $DE$ и секущей в точке $D$ равен $\angle BAD\text{,}$ а угол между касательной $CE$ и секущей в точке $C$ равен $\angle BAC\text{.}$ Прямое угловое преследование в полученной конфигурации (с учётом того, что $C$ и $D$ лежат по разные стороны от $AB$) показывает, что точки $A,C,E,D$ лежат на одной окружности: действительно,

ведь углы $\angle ABC$ и $\angle ABD$ — это углы, под которыми отрезок $AB$ виден из точек $C$ и $D\text{,}$ лежащих по разные стороны от $AB$ на секущей через $B\text{,}$ и потому они дополняют друг друга до $180^{\circ }\text{.}$ Равенство суммы противоположных углов четырёхугольника $ACED$ числу $180^{\circ }$ означает, что он вписанный.

Из вписанности $ACED$ следует равенство углов, опирающихся на одни и те же дуги:

Кроме того, для углов при вершине $A$ получаем

последнее — снова из равенства касательно-хордовых и вписанных углов в указанной конфигурации.

Таким образом, в треугольниках $AED$ и $ACB$

По двум углам треугольники подобны:

Вычисление $AE\text{.}$ Из подобия следует пропорциональность соответственных сторон. Углу $\angle DAE=\angle CAB$ противолежат стороны $ED$ и $CB\text{,}$ углу $\angle AED=\angle ACB$ — стороны $AD$ и $AB\text{,}$ а третьему углу — стороны $AE$ и $AC\text{.}$ Значит,

Отсюда

Подставляя данные $AB=10\text{,}$ $AC=16\text{,}$ $AD=15\text{,}$ получаем

(То же значение даёт и симметричное подобие $△AEC\sim △ADB\text{,}$ приводящее к $\frac{AE}{AD}=\frac{AC}{AB}\text{,}$ то есть снова $AE=\frac{AC\cdot AD}{AB}=24\text{.}$)

Ответ: $AE=\boxed{24}\text{.}$