Найти все x, при которых хотя бы одно из двух выражений |x-3|(|x-5|-|x-3|)-6x и |x|(|x|-|x-8|)+24 неположительно и при этом его модуль не меньше модуля другого.

Обозначим два данных выражения A(x)=|x-3|(|x-5|-|x-3|)-6x, B(x)=|x|(|x|-|x-8|)+24. Условие задачи требует найти все x, при которых хотя бы для одного из этих выражений одновременно выполнено: само выражение неположительно и его модуль не меньше модуля другого. То есть искомое множество — это объединение (A<= 0 и |A|>= |B|) или (B<= 0 и |B|>= |A|). Модули раскрываются в точках 0, 3, 5, 8, поэтому разобьём числовую прямую на участки (-inf;0), [0;3), [3;5], (5;8), [8;+inf) и на каждом запишем A и B многочленами. **Раскрытие модулей по участкам.** | Участок | A(x) | B(x) | |---|---|---| | x<0 | 6-8x | 8x+24 | | 0<= x<3 | 6-8x | 2x^2-8x+24 | | 3<= x<= 5 | -2x^2+8x-24 | 2x^2-8x+24 | | 5< x<8 | 6-8x | 2x^2-8x+24 | | x>= 8 | 6-8x | 8x+24 | Сразу отметим знак B. На отрезке [0;8] имеем B(x)=2x^2-8x+24=2((x-2)^2+8)>= 16>0. При x>= 8 выражение B=8x+24>= 88>0. При x<0 выражение B=8x+24 обращается в нуль в точке x=-3 и отрицательно лишь при x<-3. Значит, единственное место, где может выполняться B<= 0, — это луч x<= -3. **Ключевое наблюдение на отрезке [3;5].** Здесь A(x)=-2x^2+8x-24, B(x)=2x^2-8x+24, то есть B(x)=-A(x). При этом A(x)=-2x^2+8x-24=-2((x-2)^2+8)<0 для всех x (дискриминант квадратного трёхчлена x^2-4x+12 отрицателен, а старший коэффициент -2). Следовательно, на всём отрезке [3;5] выполнено A(x)<0<= 0 и, так как B=-A, имеем |A|=|B|, то есть |A|>= |B|. Значит, первая скобка в условии выполнена для каждого xin[3;5] (включая концы, поскольку требуется «не меньше», и равенство модулей это требование удовлетворяет). Таким образом, весь отрезок [3;5] входит в ответ. **Проверим, не добавляются ли точки вне [3;5].** Заметим, что вне отрезка [3;5] (а именно при 0<= x<3, 5< x<8 и x>= 8) выражение B строго положительно, поэтому вторая скобка условия (B<= 0) там невозможна, и остаётся проверять только первую скобку с A. Рассмотрим участки, где A(x)=6-8x, а B(x)>0 (это 0<= x<3, 5<x<8, x>= 8). Условие A<= 0 означает 6-8x<= 0, то есть x>= 34; тогда |A|=8x-6. Условие |A|>= |B|=B даёт 8x-6 >= 2x^2-8x+24 2x^2-16x+30<= 0 (x-3)(x-5)<= 0, то есть 3<= x<= 5. На рассматриваемых участках 0<= x<3, 5<x<8, x>= 8 это неравенство не даёт ни одной внутренней точки: пересечение с [3;5] пусто (концы 3 и 5 уже учтены отрезком [3;5]). Значит, новых решений здесь нет. Осталось проверить луч x<0, где A(x)=6-8x>6>0, так что условие A<= 0 не выполняется, и первая скобка отпадает. Для второй скобки нужно B<= 0, что возможно лишь при x<= -3; тогда |B|=-(8x+24), |A|=6-8x, и неравенство |B|>= |A| принимает вид -(8x+24) >= 6-8x -24 >= 6, что неверно. Стало быть, и на луче x<0 решений нет. **Итог.** Условию удовлетворяют ровно точки отрезка [3;5]: xin[3;5].

\(x\in[3;5]\)