Задача №18163

Найти все $x\text{,}$ при которых хотя бы одно из двух выражений

$$|x-3|(|x-5|-|x-3|)-6x\text{и}|x|(|x|-|x-8|)+24$$

неположительно и при этом его модуль не меньше модуля другого.

Обозначим два данных выражения

$$A(x)=|x-3|(|x-5|-|x-3|)-6x,B(x)=|x|(|x|-|x-8|)+24.$$

Условие задачи требует найти все $x\text{,}$ при которых хотя бы для одного из этих выражений одновременно выполнено: само выражение неположительно и его модуль не меньше модуля другого. То есть искомое множество — это объединение

$$(A\le 0\text{и}|A|\ge |B|)\text{или}(B\le 0\text{и}|B|\ge |A|).$$

Модули раскрываются в точках $0,3,5,8\text{,}$ поэтому разобьём числовую прямую на участки $(-\infty ;0)\text{,}$ $[0;3)\text{,}$ $[3;5]\text{,}$ $(5;8)\text{,}$ $[8;+\infty )$ и на каждом запишем $A$ и $B$ многочленами.

Раскрытие модулей по участкам.

Сразу отметим знак $B\text{.}$ На отрезке $[0;8]$ имеем $B(x)=2x^2-8x+24=2((x-2{)}^2+8)\ge 16>0\text{.}$ При $x\ge 8$ выражение $B=8x+24\ge 88>0\text{.}$ При $x<0$ выражение $B=8x+24$ обращается в нуль в точке $x=-3$ и отрицательно лишь при $x<-3\text{.}$ Значит, единственное место, где может выполняться $B\le 0\text{,}$ — это луч $x\le -3\text{.}$

Ключевое наблюдение на отрезке $[3;5]\text{.}$ Здесь

$$A(x)=-2x^2+8x-24,B(x)=2x^2-8x+24,$$

то есть $B(x)=-A(x)\text{.}$ При этом

$$A(x)=-2x^2+8x-24=-2((x-2{)}^2+8)<0$$

для всех $x$ (дискриминант квадратного трёхчлена $x^2-4x+12$ отрицателен, а старший коэффициент $-2$). Следовательно, на всём отрезке $[3;5]$ выполнено $A(x)<0\le 0$ и, так как $B=-A\text{,}$ имеем $|A|=|B|\text{,}$ то есть $|A|\ge |B|\text{.}$ Значит, первая скобка в условии выполнена для каждого $x\in [3;5]$ (включая концы, поскольку требуется «не меньше», и равенство модулей это требование удовлетворяет). Таким образом, весь отрезок $[3;5]$ входит в ответ.

Проверим, не добавляются ли точки вне $[3;5]\text{.}$

Заметим, что вне отрезка $[3;5]$ (а именно при $0\le x<3\text{,}$ $5<x<8$ и $x\ge 8$) выражение $B$ строго положительно, поэтому вторая скобка условия $(B\le 0)$ там невозможна, и остаётся проверять только первую скобку с $A\text{.}$

Рассмотрим участки, где $A(x)=6-8x\text{,}$ а $B(x)>0$ (это $0\le x<3\text{,}$ $5<x<8\text{,}$ $x\ge 8$). Условие $A\le 0$ означает $6-8x\le 0\text{,}$ то есть $x\ge \frac{3}{4}\text{;}$ тогда $|A|=8x-6\text{.}$ Условие $|A|\ge |B|=B$ даёт

$$8x-6\ge 2x^2-8x+24⟺2x^2-16x+30\le 0⟺(x-3)(x-5)\le 0,$$

то есть $3\le x\le 5\text{.}$ На рассматриваемых участках $0\le x<3\text{,}$ $5<x<8\text{,}$ $x\ge 8$ это неравенство не даёт ни одной внутренней точки: пересечение с $[3;5]$ пусто (концы $3$ и $5$ уже учтены отрезком $[3;5]$). Значит, новых решений здесь нет.

Осталось проверить луч $x<0\text{,}$ где $A(x)=6-8x>6>0\text{,}$ так что условие $A\le 0$ не выполняется, и первая скобка отпадает. Для второй скобки нужно $B\le 0\text{,}$ что возможно лишь при $x\le -3\text{;}$ тогда $|B|=-(8x+24)\text{,}$ $|A|=6-8x\text{,}$ и неравенство $|B|\ge |A|$ принимает вид

$$-(8x+24)\ge 6-8x⟺-24\ge 6,$$

что неверно. Стало быть, и на луче $x<0$ решений нет.

Итог. Условию удовлетворяют ровно точки отрезка $[3;5]\text{:}$

$$\boxed{x\in [3;5]}.$$