Задача №18162

Сумма членов конечной геометрической прогрессии с первым членом 1 и положительным знаменателем равна $\frac{40}{27}\text{,}$ а сумма тех же членов с чередующимися знаками (первый — со знаком «плюс», второй — со знаком «минус» и т. д.) равна $\frac{20}{27}\text{.}$ Найти знаменатель прогрессии.

Пусть прогрессия содержит $n$ членов, её первый член равен $1\text{,}$ а знаменатель $q>0\text{.}$ Тогда члены прогрессии суть $1,q,q^2,\dots ,q^{n-1}\text{,}$ и по условию

а сумма тех же членов с чередующимися знаками равна

Разделение на чётные и нечётные позиции. Обозначим через $E$ сумму членов, стоящих на нечётных местах (с чётными показателями степени $q$), а через $O$ — сумму членов на чётных местах (с нечётными показателями):

Тогда обычная и знакочередующаяся суммы записываются как

Складывая и вычитая эти равенства, находим $E$ и $O$ численно:

Связь между $O$ и $E\text{.}$ Каждый член с нечётным показателем получается из предшествующего члена с чётным показателем умножением на $q\text{:}$ именно, $q=q\cdot 1\text{,}$ $q^3=q\cdot q^2\text{,}$ $q^5=q\cdot q^4$ и т. д. Следовательно, если число членов $n$ чётно (а только тогда нечётных и чётных позиций поровну), сумма $O$ почленно равна $q\cdot E\text{:}$

Отсюда

Определение числа членов и проверка. Подставив $q=\frac{1}{3}$ в выражение для полной суммы, найдём $n\text{.}$ Для конечной прогрессии

Приравнивая к $\frac{40}{27}\text{:}$

то есть $n=4\text{.}$ Число членов чётно, значит использованное равенство $O=qE$ законно. Прямой подсчёт при $q=\frac{1}{3}$ и $n=4$ подтверждает оба условия:

Оба значения совпали с данными в условии. Условие $q>0$ выполнено.

Ответ: знаменатель прогрессии равен $\frac{1}{3}\text{.}$