Сумма членов конечной геометрической прогрессии с первым членом 1 и положительным знаменателем равна (40)/(27), а сумма тех же членов с чередующимися знаками (первый — со знаком «плюс», второй — со знаком «минус» и т. д.) равна (20)/(27). Найти знаменатель прогрессии.

Пусть прогрессия содержит n членов, её первый член равен 1 , а знаменатель q>0 . Тогда члены прогрессии суть 1, q, q^2, , q^(n-1) , и по условию S=1+q+q^2++q^(n-1)=(40)/(27), а сумма тех же членов с чередующимися знаками равна S'=1-q+q^2-q^3++- q^(n-1)=(20)/(27). **Разделение на чётные и нечётные позиции.** Обозначим через E сумму членов, стоящих на нечётных местах (с чётными показателями степени q ), а через O — сумму членов на чётных местах (с нечётными показателями): E=1+q^2+q^4+, O=q+q^3+q^5+ Тогда обычная и знакочередующаяся суммы записываются как S=E+O, S'=E-O. Складывая и вычитая эти равенства, находим E и O численно: E=(S+S')/(2)=(1)/(2)((40)/(27)+(20)/(27))=(1)/(2)*(60)/(27)=(10)/(9), O=(S-S')/(2)=(1)/(2)((40)/(27)-(20)/(27))=(1)/(2)*(20)/(27)=(10)/(27). **Связь между O и E .** Каждый член с нечётным показателем получается из предшествующего члена с чётным показателем умножением на q : именно, q=q* 1 , q^3=q* q^2 , q^5=q* q^4 и т. д. Следовательно, если число членов n чётно (а только тогда нечётных и чётных позиций поровну), сумма O почленно равна q* E : O=q+q^3++q^(n-1)=q(1+q^2++q^(n-2))=qE. Отсюда q=(O)/(E)=(10/27)/(10/9)=(10)/(27)*(9)/(10)=(9)/(27)=(1)/(3). **Определение числа членов и проверка.** Подставив q=(1)/(3) в выражение для полной суммы, найдём n . Для конечной прогрессии S=(1-q^(n))/(1-q)=(1-(1/3)^(n))/(1-1/3)=(3)/(2)(1-(1)/(3^(n))). Приравнивая к (40)/(27) : (3)/(2)(1-(1)/(3^(n)))=(40)/(27) 1-(1)/(3^(n))=(80)/(81) (1)/(3^(n))=(1)/(81) 3^(n)=81, то есть n=4 . Число членов чётно, значит использованное равенство O=qE законно. Прямой подсчёт при q=(1)/(3) и n=4 подтверждает оба условия: S=1+13+19+127=(27+9+3+1)/(27)=(40)/(27), S'=1-13+19-127=(27-9+3-1)/(27)=(20)/(27). Оба значения совпали с данными в условии. Условие q>0 выполнено. **Ответ:** знаменатель прогрессии равен (1)/(3) .

\(\dfrac{1}{3}\)