58:I[522016,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],""] 59:I[505014,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"default"] 5a:I[830789,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"CollectionDetailClient",1] 5b:T1179,Преобразуем подкоренные выражения и найдём область определения. **Первое слагаемое.** По формулам двойного угла $ 1+\cos 4x=2\cos^2 2x $ и $ 1-\cos 4x=2\sin^2 2x $, поэтому \[ \dfrac{1+\cos 4x}{1-\cos 4x}=\dfrac{2\cos^2 2x}{2\sin^2 2x}=\operatorname{ctg}^2 2x . \] Дробь определена при $ 1-\cos 4x\neq 0 $, то есть при $ \sin 2x\neq 0 $. Подкоренное выражение корня восьмой (чётной) степени неотрицательно автоматически, так как $ \operatorname{ctg}^2 2x\geqslant 0 $. При этом \[ \sqrt[8]{\dfrac{1+\cos 4x}{1-\cos 4x}}=\sqrt[8]{\operatorname{ctg}^2 2x}=\big(\operatorname{ctg}^2 2x\big)^{1/8}=\left|\operatorname{ctg} 2x\right|^{1/4}\geqslant 0 . \] **Второе слагаемое.** Так как $ \dfrac{9\pi}{2}=4\pi+\dfrac{\pi}{2} $, период тангенса равен $ \pi $, и по формуле дополнения \[ \operatorname{tg}\!\left(\dfrac{9\pi}{2}-2x\right)=\operatorname{tg}\!\left(\dfrac{\pi}{2}-2x\right)=\operatorname{ctg} 2x . \] Этот тангенс определён, когда $ \cos\!\left(\dfrac{9\pi}{2}-2x\right)=\sin 2x\neq 0 $ — то же самое условие. Корень кубический (нечётной степени) извлекается из любого действительного числа, причём $ \sqrt[3]{\operatorname{ctg}2x} $ имеет тот же знак, что и $ \operatorname{ctg}2x $. **Область определения** всего уравнения: $ \sin 2x\neq 0 $, то есть $ x\neq \dfrac{\pi m}{2},\ m\in\mathbb{Z} $. **Сведение к одной переменной.** Обозначим $ t=\operatorname{ctg} 2x $ (любое действительное число, так как $ \sin 2x\neq 0 $). Поскольку $ \sqrt[8]{t^2}=|t|^{1/4} $ и $ \sqrt[3]{t}=\operatorname{sign}(t)\,|t|^{1/3} $, уравнение принимает вид \[ |t|^{1/4}+\sqrt[3]{t}=0 . \] Здесь первое слагаемое неотрицательно. Сумма неотрицательного числа и $ \sqrt[3]{t} $ равна нулю только тогда, когда $ \sqrt[3]{t}\leqslant 0 $, то есть $ t\leqslant 0 $. Рассмотрим случаи. 1) Если $ t=0 $, то оба слагаемых равны нулю, и равенство выполнено. 2) Если $ t<0 $, то $ |t|^{1/4}>0 $ и $ \sqrt[3]{t}=-|t|^{1/3} $, и уравнение даёт \[ |t|^{1/4}-|t|^{1/3}=0\ \Longleftrightarrow\ |t|^{1/4}=|t|^{1/3}. \] При $ |t|>0 $ логарифмируя (или возводя в 12-ю степень) получаем $ |t|^{3}=|t|^{4} $, то есть $ |t|=1 $. Учитывая $ t<0 $, имеем $ t=-1 $. 3) Если $ t>0 $, то оба слагаемых строго положительны, и сумма больше нуля — решений нет. Итак, ровно два значения: $ t=\operatorname{ctg} 2x=0 $ и $ t=\operatorname{ctg} 2x=-1 $. **Возврат к переменной $ x $.** Из $ \operatorname{ctg} 2x=0 $ следует $ \cos 2x=0 $, то есть $ 2x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k $, откуда \[ x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi k}{2},\qquad k\in\mathbb{Z}. \] Здесь $ \sin 2x=\pm 1\neq 0 $ — все эти точки входят в область определения. Из $ \operatorname{ctg} 2x=-1 $ следует $ \operatorname{tg} 2x=-1 $, то есть $ 2x=-\dfrac{\pi}{4}+\pi n $, откуда \[ x=-\dfrac{\pi}{8}+\dfrac{\pi n}{2},\qquad n\in\mathbb{Z}. \] Здесь $ \sin 2x=\pm\dfrac{\sqrt2}{2}\neq 0 $ — эти точки также допустимы. Проверка для второй серии: $ \operatorname{ctg}2x=-1 $ даёт $ \sqrt[8]{\operatorname{ctg}^2 2x}=\sqrt[8]{1}=1 $ и $ \sqrt[3]{\operatorname{ctg}2x}=\sqrt[3]{-1}=-1 $, сумма $ 1+(-1)=0 $. Для первой серии $ \operatorname{ctg}2x=0 $ даёт $ 0+0=0 $. Обе серии удовлетворяют уравнению, посторонних корней нет. **Ответ:** \[ \boxed{\,x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi k}{2},\qquad x=-\dfrac{\pi}{8}+\dfrac{\pi n}{2},\qquad k,n\in\mathbb{Z}.\,} \]5c:T1514,Решаем систему \[\begin{cases}2^{x+2}=\dfrac{49}{4}x^2+4,\\ 2^{x+2}-4\leqslant x^2\left(14-2^{x+2}\right)\cdot 2^x.\end{cases}\] Идея в том, чтобы не искать корни уравнения по отдельности (они трансцендентны и в явном виде не выписываются), а воспользоваться тем, что любое решение системы прежде всего удовлетворяет уравнению. Поэтому в неравенство можно подставить связь, задаваемую уравнением, и получить простое алгебраическое условие на $x$. **Шаг 1. Что даёт уравнение.** Обозначим $t=2^{x+2}$. Первое равенство означает \[t=\frac{49}{4}x^2+4,\qquad\text{откуда}\qquad t-4=\frac{49}{4}x^2.\] Кроме того, $2^{x+2}=4\cdot 2^x$, поэтому на множестве решений уравнения \[2^{x}=\frac{t}{4}=\frac{1}{4}\left(\frac{49}{4}x^2+4\right)=\frac{49x^2+16}{16}.\] Это две точные подстановки, справедливые в любой точке, удовлетворяющей уравнению. **Шаг 2. Подстановка в неравенство.** Перепишем неравенство в виде $R-L\geqslant 0$, где \[L=2^{x+2}-4=t-4,\qquad R=x^2\left(14-2^{x+2}\right)\cdot 2^x=x^2\,(14-t)\cdot\frac{t}{4}.\] Подставляя $t=\dfrac{49}{4}x^2+4$ (а значит и $t-4=\dfrac{49}{4}x^2$), вычислим разность $R-L$ как функцию одной переменной $x$: \[R-L=x^2\left(14-t\right)\frac{t}{4}-(t-4).\] После раскрытия скобок и приведения подобных получается компактное выражение \[R-L=-\frac{2401}{64}x^6+\frac{147}{8}x^4-\frac{9}{4}x^2=-\frac{x^2\left(49x^2-12\right)^2}{64}.\] (Множитель проверяется прямым раскрытием: $\dfrac{x^2(49x^2-12)^2}{64}=\dfrac{2401}{64}x^6-\dfrac{147}{8}x^4+\dfrac{9}{4}x^2$.) **Шаг 3. Анализ полученного условия.** Итак, для всякой точки $x$, удовлетворяющей уравнению, неравенство равносильно \[-\frac{x^2\left(49x^2-12\right)^2}{64}\geqslant 0.\] Но в левой части $x^2\geqslant 0$ и $\left(49x^2-12\right)^2\geqslant 0$, поэтому всё выражение $\leqslant 0$ при любом $x$. Значит, неравенство может выполняться лишь при обращении левой части в нуль: \[x^2\left(49x^2-12\right)^2=0\quad\Longleftrightarrow\quad x=0\ \ \text{или}\ \ 49x^2=12,\ \text{т.е.}\ x=\pm\frac{2\sqrt{3}}{7}.\] Таким образом, всякое решение системы обязано лежать в множестве $\left\{\,0,\ \dfrac{2\sqrt{3}}{7},\ -\dfrac{2\sqrt{3}}{7}\,\right\}$. **Шаг 4. Отбор по уравнению.** Осталось проверить, какие из этих трёх чисел действительно удовлетворяют исходному уравнению $2^{x+2}=\dfrac{49}{4}x^2+4$. - При $x=0$: левая часть $2^{2}=4$, правая часть $\dfrac{49}{4}\cdot 0+4=4$. Равенство выполнено, и из шага 3 при $x=0$ разность $R-L=0\geqslant 0$ — неравенство тоже выполнено. Значит, $x=0$ — решение системы. - При $x=\dfrac{2\sqrt{3}}{7}\approx 0{,}4949$: правая часть равна $\dfrac{49}{4}\cdot\dfrac{12}{49}+4=3+4=7$, а левая $2^{\,2+2\sqrt3/7}\approx 5{,}637\ne 7$. Уравнение не выполнено. - При $x=-\dfrac{2\sqrt{3}}{7}\approx -0{,}4949$: правая часть та же $7$, а левая $2^{\,2-2\sqrt3/7}\approx 2{,}839\ne 7$. Уравнение не выполнено. Числа $\pm\dfrac{2\sqrt{3}}{7}$ корнями уравнения не являются, поэтому в множество решений системы не входят (они лишь обращали бы неравенство в равенство, но не лежат на кривой уравнения). **Вывод.** Единственная точка, удовлетворяющая одновременно уравнению и неравенству, — это $x=0$. \[\boxed{x=0}\] Замечание. Само уравнение $2^{x+2}=\dfrac{49}{4}x^2+4$ имеет три действительных корня: $x=0$, $x\approx 0{,}2469$ и $x\approx 7{,}3973$ (последние два трансцендентны). Однако приведённое рассуждение не требует их явного нахождения: подстановка связи из уравнения сразу показывает, что неравенство допускает лишь $x\in\{0,\pm 2\sqrt3/7\}$, а уравнению из них отвечает только $x=0$. Тем самым корни $0{,}2469$ и $7{,}3973$ автоматически отсеиваются неравенством.5d:Tef6,Обозначим логарифмы по натуральному основанию: $a=\ln x$, $b=\ln y$, $c=\ln z$. Чтобы оба выражения имели смысл, требуется, чтобы основания $x^5y^2z$ и $x^2y^5z$ были положительны и не равны единице, а аргументы $\dfrac{\sqrt[3]{x^2y}}{z}$ и $\dfrac{\sqrt{xy}}{z}$ — положительны. В частности $x>0$, $y>0$, $z>0$, поэтому величины $a,b,c$ определены, а условие «основание $\neq 1$» означает, что показатель основания не равен нулю: $5a+2b+c\neq 0$ и $2a+5b+c\neq 0$. Перепишем оба логарифма через $a,b,c$, используя $\log_{B}A=\dfrac{\ln A}{\ln B}$: \[ \log_{(x^5y^2z)}\!\left(\frac{\sqrt[3]{x^2y}}{z}\right)=\frac{\tfrac13(2a+b)-c}{5a+2b+c}, \qquad \log_{(x^2y^5z)}\!\left(\frac{\sqrt{xy}}{z}\right)=\frac{\tfrac12(a+b)-c}{2a+5b+c}. \] По условию оба выражения равны одному и тому же числу $t$. Значит, \[ \frac{\tfrac13(2a+b)-c}{5a+2b+c}=t,\qquad \frac{\tfrac12(a+b)-c}{2a+5b+c}=t. \] Так как знаменатели отличны от нуля, домножим на них: \[ \tfrac13(2a+b)-c=t\,(5a+2b+c),\qquad \tfrac12(a+b)-c=t\,(2a+5b+c). \] Это два линейных уравнения относительно $a,b,c$. Вычтем второе из первого. Свободные члены с $c$ (а именно $-c$ слева и $-tc$ справа) одинаковы в обоих уравнениях и при вычитании сокращаются: \[ \left(\tfrac13(2a+b)-\tfrac12(a+b)\right)=t\,\big((5a+2b)-(2a+5b)\big). \] Раскроем скобки слева: \[ \frac{2a+b}{3}-\frac{a+b}{2}=\frac{2(2a+b)-3(a+b)}{6}=\frac{a-b}{6}, \] а справа $(5a+2b)-(2a+5b)=3a-3b=3(a-b)$. Получаем \[ \frac{a-b}{6}=t\cdot 3\,(a-b),\qquad\text{то есть}\qquad (a-b)\left(\frac16-3t\right)=0. \] По условию $x\neq y$, а так как логарифм — функция строго монотонная, из $x\neq y$ следует $\ln x\neq\ln y$, то есть $a\neq b$. Значит, множитель $a-b$ отличен от нуля, и его можно сократить: \[ \frac16-3t=0\quad\Longrightarrow\quad t=\frac{1}{18}. \] Покажем, что такое значение действительно достижимо (то есть существует тройка $x\neq y$, удовлетворяющая обоим равенствам). Подставив $t=\tfrac{1}{18}$ в любое из двух исходных уравнений, после приведения подобных оба уравнения превращаются в одно и то же условие \[ \frac{7a}{18}+\frac{2b}{9}-\frac{19c}{18}=0\quad\Longleftrightarrow\quad c=\frac{7a+4b}{19}. \] Здесь $a$ и $b$ можно выбирать произвольно (лишь бы $a\neq b$ и оба основания не обратились в единицу). Например, при $a=2,\ b=1$ получаем $c=\dfrac{18}{19}$, то есть $x=e^2,\ y=e,\ z=e^{18/19}$; тогда $x\neq y$, основания $x^5y^2z=e^{418/19}$ и $x^2y^5z=e^{171/19}$ положительны и отличны от единицы, аргументы положительны, и непосредственная подстановка даёт для обоих выражений значение $\dfrac{1}{18}$. Таким образом, искомое общее значение равно $\boxed{\dfrac{1}{18}}$.5e:Tff0,Обозначим искомый угол $\angle CDB$. Введём вспомогательную величину $\gamma=\angle BCA=\angle ACD$ — это половинки угла $C$, равные между собой, так как по условию $CA$ — биссектриса угла $\angle BCD$. **Шаг 1. Равнобедренный треугольник $ABD$.** В треугольнике $ABD$ стороны $AB=AD$, значит он равнобедренный, и углы при основании $BD$ равны: \[\angle ABD=\angle ADB=\frac{180^\circ-\angle BAD}{2}=\frac{180^\circ-140^\circ}{2}=20^\circ.\] **Шаг 2. Угол $\angle BAC$ из условия $\angle BEA=110^\circ$.** Точка $E$ лежит на диагонали $BD$, поэтому луч $BE$ совпадает с лучом $BD$, и $\angle ABE=\angle ABD=20^\circ$. Точка $E$ лежит и на диагонали $AC$, поэтому луч $AE$ совпадает с лучом $AC$, и $\angle BAE=\angle BAC$. Рассмотрим треугольник $ABE$: сумма его углов даёт \[\angle BAC=\angle BAE=180^\circ-\angle BEA-\angle ABE=180^\circ-110^\circ-20^\circ=50^\circ.\] **Шаг 3. Углы при вершине $A$ в треугольниках $ABC$ и $ACD$.** Так как диагональ $AC$ лежит внутри угла $\angle BAD$ (четырёхугольник выпуклый, $C$ и точка пересечения диагоналей лежат внутри угла $A$), то \[\angle CAD=\angle BAD-\angle BAC=140^\circ-50^\circ=90^\circ.\] **Шаг 4. Связь по теореме синусов и нахождение $\gamma$.** Запишем теорему синусов для треугольников $ABC$ и $ACD$, у которых сторона $AC$ общая. В треугольнике $ABC$ углы равны $\angle BAC=50^\circ$, $\angle ACB=\gamma$, значит $\angle ABC=180^\circ-50^\circ-\gamma=130^\circ-\gamma$, и \[\frac{AB}{\sin\gamma}=\frac{AC}{\sin\angle ABC}=\frac{AC}{\sin(130^\circ-\gamma)}.\] В треугольнике $ACD$ углы равны $\angle CAD=90^\circ$, $\angle ACD=\gamma$, значит $\angle ADC=180^\circ-90^\circ-\gamma=90^\circ-\gamma$, и \[\frac{AD}{\sin\gamma}=\frac{AC}{\sin\angle ADC}=\frac{AC}{\sin(90^\circ-\gamma)}.\] Поскольку $AB=AD$, левые части (а значит и величины $\dfrac{AC}{\sin\angle ABC}$ и $\dfrac{AC}{\sin\angle ADC}$) равны, откуда \[\sin(130^\circ-\gamma)=\sin(90^\circ-\gamma).\] Углы $130^\circ-\gamma$ и $90^\circ-\gamma$ различны, поэтому равенство синусов возможно лишь в случае, когда они дополняют друг друга до $180^\circ$: \[(130^\circ-\gamma)+(90^\circ-\gamma)=180^\circ\ \Longrightarrow\ 220^\circ-2\gamma=180^\circ\ \Longrightarrow\ \gamma=20^\circ.\] (Вариант $130^\circ-\gamma=90^\circ-\gamma$ невозможен.) Итак, $\angle ACD=\angle ACB=20^\circ$ и $\angle ADC=90^\circ-\gamma=70^\circ$. **Шаг 5. Искомый угол $\angle CDB$.** В выпуклом четырёхугольнике луч $DB$ (то есть $DE$) лежит внутри угла $\angle ADC$, поэтому \[\angle CDB=\angle ADC-\angle ADB=70^\circ-20^\circ=50^\circ.\] Заметим попутно, что найденная конфигурация согласована: вычисленные углы дают $\angle BCA=\angle ACD=20^\circ$ (биссектриса), $\angle BAD=140^\circ$, $\angle BEA=110^\circ$, причём точки расположены так, что четырёхугольник $ABCD$ выпуклый. (Кстати, из $\angle ACB=\angle ADB=20^\circ$ видно, что точки $A,B,C,D$ лежат на одной окружности.) **Ответ:** $\angle CDB=50^\circ$.5f:T1ec2,Перепишем уравнение, перенеся всё в левую часть. Заметим, что $2a^2+a=a(2a+1)$, поэтому $\left|2a^2+a\right|=|a|\cdot|2a+1|$. Используя $\sin 2x=2\sin x\cos x$, получаем \[2\sin x\cos x+|2a+1|\sin x+|a|-2|a|\cos x-\sin x-|a|\,|2a+1|=0.\] Сгруппируем слагаемые. Вынесем $\sin x$ из тех членов, где он есть, и заметим, что оставшиеся члены тоже разлагаются: \[\bigl(2\cos x+|2a+1|-1\bigr)\sin x-|a|\bigl(2\cos x+|2a+1|-1\bigr)=0,\] то есть \[\bigl(\sin x-|a|\bigr)\bigl(2\cos x+|2a+1|-1\bigr)=0.\] Это разложение проверяется раскрытием скобок и совпадает с исходным выражением тождественно. Значит, при каждом фиксированном $a$ множество корней уравнения есть объединение решений двух уравнений: \[\text{(I)}\quad \sin x=|a|,\qquad\qquad \text{(II)}\quad \cos x=\dfrac{1-|2a+1|}{2}.\] Обозначим $p=|a|$ и $q=\dfrac{1-|2a+1|}{2}$. Все корни образуют $2\pi$-периодическое множество, поэтому минимальное расстояние между соседними корнями достаточно искать в пределах одного периода с учётом перехода через границу периода. Условие задачи: это минимальное расстояние не меньше $\dfrac{\pi}{2}$. **Разбор по областям параметра.** Уравнение (I) разрешимо тогда и только тогда, когда $p=|a|\le1$, то есть при $a\in[-1;1]$. При $a\in[-2;-1)$ имеем $|a|>1$, и уравнение (I) корней не даёт. Уравнение (II) разрешимо при $-1\le q\le1$. Так как $|2a+1|\ge0$, всегда $q\le\tfrac12\le1$; неравенство $q\ge-1$ равносильно $|2a+1|\le3$, то есть $-2\le a\le1$. Следовательно, на всём промежутке $[-2;1]$ уравнение (II) разрешимо. **Случай A: $a\in[-2;-1)$.** Здесь активно только уравнение (II). На этом промежутке $2a+1<0$, поэтому $|2a+1|=-2a-1$ и \[q=\dfrac{1-(-2a-1)}{2}=\dfrac{2+2a}{2}=1+a.\] При $a=-2$ получаем $q=-1$: уравнение $\cos x=-1$ даёт ровно один корень на период ($x=\pi+2\pi k$), соседние корни отстоят на $2\pi\ge\dfrac{\pi}{2}$. Значение $a=-2$ подходит. При $a\in(-2;-1)$ имеем $-1y_0 $ лежит по другую сторону от $ AB $, вне треугольника $ ABC $, и потому отбрасывается. Итак, $ H=\left(-\dfrac{3\sqrt7}{14},\,\dfrac{\sqrt{21}}{14}\right) $, и \[ d^2=|O_1H|^2=H_x^2+H_y^2=\dfrac{9}{28}+\dfrac{21}{196}=\dfrac{63}{196}+\dfrac{21}{196}=\dfrac{84}{196}=\dfrac{3}{7}. \] **Шаг 5. Вычисление радиуса.** По формуле (1) с $ SH^2=\dfrac{5}{21} $, $ \rho^2=\dfrac{7}{3} $, $ d^2=\dfrac{3}{7} $: \[ t=\dfrac{d^2+SH^2-\rho^2}{2\,SH}=\dfrac{\dfrac{3}{7}+\dfrac{5}{21}-\dfrac{7}{3}}{2\sqrt{\dfrac{5}{21}}} =\dfrac{\dfrac{9}{21}+\dfrac{5}{21}-\dfrac{49}{21}}{2\sqrt{\dfrac{5}{21}}} =\dfrac{-\dfrac{35}{21}}{2\sqrt{\dfrac{5}{21}}}=-\dfrac{\sqrt{105}}{6}. \] Знак $ t $ лишь указывает, по какую сторону от плоскости основания лежит центр сферы; для радиуса важен квадрат: \[ t^2=\dfrac{105}{36}, \qquad R^2=\rho^2+t^2=\dfrac{7}{3}+\dfrac{105}{36}=\dfrac{84}{36}+\dfrac{105}{36}=\dfrac{189}{36}=\dfrac{21}{4}. \] Следовательно, \[ R=\sqrt{\dfrac{21}{4}}=\boxed{\dfrac{\sqrt{21}}{2}}. \] Заметим, что положение точки $ C $ на большей дуге окружности (при сохранении $ \angle ACB=60^\circ $) не влияет на ответ: радиус $ R $ выражается лишь через $ \rho $ и $ t $, а величина $ t $ зависит только от $ d=|O_1H| $, $ SH $ и $ \rho $, которые от выбора $ C $ не зависят. Это согласуется с тем, что задача имеет однозначный ответ. Ответ: $ R=\dfrac{\sqrt{21}}{2} $.41:[["$","script",null,{"id":"collection-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"Course\",\"name\":\"Мехмат МГУ — март 1999\",\"description\":\"Коллекция \\\"Мехмат МГУ — март 1999\\\" для подготовки к экзамену. Содержит 6 задач. Готовьтесь к экзаменам онлайн.\",\"url\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections/mehmat-1999-03\",\"provider\":{\"@type\":\"Organization\",\"name\":\"SdamEx\",\"url\":\"https://sdamex.com\"},\"educationalLevel\":{\"@type\":\"EducationalOccupationalCredential\",\"credentialCategory\":\"ЕГЭ\"},\"hasCourseInstance\":{\"@type\":\"CourseInstance\",\"courseMode\":\"online\"},\"dateCreated\":\"2026-06-10T00:40:00.000Z\"}"}}],["$","script",null,{"id":"breadcrumb-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Математика\",\"item\":\"https://sdamex.com/math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"ДВИ МГУ (математика)\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":3,\"name\":\"Коллекции\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":4,\"name\":\"Мехмат МГУ — март 1999\"}]}"}}],["$","nav",null,{"aria-label":"Хлебные крошки","className":"min-w-0 mb-4","children":["$","ol",null,{"className":"flex flex-wrap items-center gap-x-1 gap-y-0.5 text-xs text-muted-foreground","children":[["$","li","Математика-0",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[false,["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Математика"}]]}],["$","li","ДВИ МГУ (математика)-1",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":[["path",{"d":"m9 18 6-6-6-6","key":"mthhwq"}]],"className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"ДВИ МГУ (математика)"}]]}],["$","li","Коллекции-2",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math/collections","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Коллекции"}]]}],["$","li","Мехмат МГУ — март 1999-3",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","span",null,{"className":"truncate text-foreground/80","aria-current":"page","children":"Мехмат МГУ — март 1999"}]]}]]}]}],["$","$L5a",null,{"subject":"math","examCode":"dvi-math","collectionId":"mehmat-1999-03","serverCollection":{"id":"ffc9a54e-a819-4198-be65-8fb28ea642fe","name":"Мехмат МГУ — март 1999","code":"mehmat-1999-03","collection_type":"system_variant","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","exam_code":"dvi-math","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","hidden_problem_count":0,"session":"03","session_label":"Олимпиада «Абитуриент-1999», март (механико-математический факультет МГУ)","solved_count":0,"source":"Мехмат МГУ (архив, mathus.ru)","source_url":"https://mathus.ru/olymp/mm1999-03.pdf","total_problem_count":6,"variant_batch":"mehmat-1993-2010-v1","visible_problem_count":6,"year":1999},"created_at":"2026-06-10T00:40:00Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem_count":6,"visible_count":6,"total_count":6,"pdf_unlocked":false},"serverCollectionProblems":{"items":[{"problem_id":"01dd41b6-a664-476f-9bef-73b160e5ae54","collection_id":"ffc9a54e-a819-4198-be65-8fb28ea642fe","display_order":1,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"01dd41b6-a664-476f-9bef-73b160e5ae54","short_id":18155,"task_number":17,"topic_id":"56ee582a-3c52-4fd3-85c9-966671ec7454","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":6,"content_text":"Решить уравнение\n\\[\\sqrt[8]{\\dfrac{1+\\cos 4x}{1-\\cos 4x}}+\\sqrt[3]{\\operatorname{tg}\\left(\\dfrac{9\\pi}{2}-2x\\right)}=0.\\]","answer_text":"\$\\frac{\\pi}{4}+\\frac{\\pi k}{2};\\ -\\frac{\\pi}{8}+\\frac{\\pi n}{2},\\ n,k\\in\\mathbb{Z}\$","answer":"\$\\frac{\\pi}{4}+\\frac{\\pi k}{2};\\ -\\frac{\\pi}{8}+\\frac{\\pi n}{2},\\ n,k\\in\\mathbb{Z}\$","solution_text":"$5b","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":1,"session":"03","variant_key":"mm1999-03","year":1999},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"56ee582a-3c52-4fd3-85c9-966671ec7454","name":"Тригонометрические уравнения","description":null},"tags":[{"id":"3d67eb82-f5d0-40c6-936f-4730c9e5b2a7","code":"tag-57","name":"Основные тригонометрические тождества"},{"id":"3d83bcf4-0d09-4a5d-b894-e2c684238e58","code":"tag-58","name":"Неравенство содержащее радикал"},{"id":"9564a83d-ccf3-4211-91ed-f6f568873b0e","code":"tag-131","name":"Тригонометрические уравнения"},{"id":"b44bdba8-2ba0-4cd7-a541-f58966163e08","code":"tag-170","name":"Преобразования тригонометрических выражений"}]}},{"problem_id":"fb01e49e-b045-45b4-9e91-36373e595ced","collection_id":"ffc9a54e-a819-4198-be65-8fb28ea642fe","display_order":2,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"fb01e49e-b045-45b4-9e91-36373e595ced","short_id":18156,"task_number":17,"topic_id":"ed59c219-7865-4cc3-a53c-7c8022853f23","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":8,"content_text":"Решить систему\n\\[\\begin{cases}2^{x+2}=\\dfrac{49}{4}x^2+4,\\\\ 2^{x+2}-4\\leqslant x^2\\left(14-2^{x+2}\\right)\\cdot 2^x.\\end{cases}\\]","answer_text":"\$0\$","answer":"\$0\$","solution_text":"$5c","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":2,"session":"03","variant_key":"mm1999-03","year":1999},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"ed59c219-7865-4cc3-a53c-7c8022853f23","name":"Системы уравнений","description":null},"tags":[{"id":"4b7dfc01-ef7d-43d7-baec-c5f58da87aa6","code":"tag-75","name":"Системы уравнений"},{"id":"71f19a1a-c6b7-4320-9e0b-3cb73213fa41","code":"tag-104","name":"Показательные неравенства"},{"id":"c04c64eb-0a91-459f-8a98-25e089aa4372","code":"tag-181","name":"Уравнения смешанного типа"},{"id":"e007efe4-fb15-42f2-b085-578c49c5651c","code":"tag-214","name":"Показательные уравнения"}]}},{"problem_id":"e27a9e05-cd00-4f0f-b577-0264b2de7e8b","collection_id":"ffc9a54e-a819-4198-be65-8fb28ea642fe","display_order":3,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"e27a9e05-cd00-4f0f-b577-0264b2de7e8b","short_id":18157,"task_number":91,"topic_id":"fbd591a9-072b-49ce-a91e-2ef4415a0351","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":6,"content_text":"Известно, что для некоторой тройки чисел \$x\$, \$y\$, \$z\$ (\$x\\neq y\$) выражения\n\\[\\log_{(x^5y^2z)}\\left(\\dfrac{\\sqrt[3]{x^2y}}{z}\\right)\\quad\\text{и}\\quad \\log_{(x^2y^5z)}\\left(\\dfrac{\\sqrt{xy}}{z}\\right)\\]\nравны одному и тому же числу. Найти это число.","answer_text":"\$\\frac{1}{18}\$","answer":"\$\\frac{1}{18}\$","solution_text":"$5d","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":3,"session":"03","variant_key":"mm1999-03","year":1999},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"fbd591a9-072b-49ce-a91e-2ef4415a0351","name":"Алгебраические преобразования","description":null},"tags":[{"id":"69dbd048-33e5-42a7-ae46-9f908eab9d5a","code":"tag-93","name":"Преобразование выражений, включающих операцию логарифмирования"},{"id":"c8cd9c24-fac7-48ab-b79b-6c5fbd73b985","code":"tag-189","name":"Логарифмические уравнения"},{"id":"e082d742-24ab-47dd-aa86-811e2d0d11d4","code":"tag-215","name":"Логарифм числа"},{"id":"f69451d0-02df-42b8-a45e-481a03558513","code":"tag-234","name":"Логарифм произведения, частного, степени"}]}},{"problem_id":"efb3e768-18bc-40f4-aefb-938bbdd69128","collection_id":"ffc9a54e-a819-4198-be65-8fb28ea642fe","display_order":4,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"efb3e768-18bc-40f4-aefb-938bbdd69128","short_id":18158,"task_number":18,"topic_id":"3951be60-fc16-47ee-ab3f-9e0a9e85807d","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":5,"content_text":"Диагонали выпуклого четырёхугольника \$ABCD\$ пересекаются в точке \$E\$, \$AB=AD\$, \$CA\$ — биссектриса угла \$C\$, \$\\angle BAD=140^\\circ\$, \$\\angle BEA=110^\\circ\$. Найти угол \$CDB\$.","answer_text":"\$50^\\circ\$","answer":"\$50^\\circ\$","solution_text":"$5e","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":4,"session":"03","variant_key":"mm1999-03","year":1999},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"3951be60-fc16-47ee-ab3f-9e0a9e85807d","name":"Четырёхугольники","description":null},"tags":[{"id":"15da34e4-d070-405a-91d2-414e2e663b6e","code":"tag-20","name":"Величина угла, градусная мера угла"},{"id":"7f921f0b-fe67-4487-80ee-57cda7287f48","code":"tag-119","name":"Многоугольники"},{"id":"a42676d8-721d-416b-9509-d365704bb645","code":"tag-151","name":"Треугольник"},{"id":"bba42d31-e3f9-4693-8eef-a0ce6f1b0703","code":"tag-178","name":"Многоугольники и их свойства"}]}},{"problem_id":"79e067d0-f6d3-4a5a-bc13-bb2bb8209de7","collection_id":"ffc9a54e-a819-4198-be65-8fb28ea642fe","display_order":5,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"79e067d0-f6d3-4a5a-bc13-bb2bb8209de7","short_id":18159,"task_number":19,"topic_id":"7ee08b18-18e8-42f5-8ad4-c094688c771d","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":9,"content_text":"Найти все значения \$a\$ из промежутка \$[-2;1]\$, при каждом из которых расстояние на числовой оси между любыми различными корнями уравнения\n\\[\\sin 2x+|2a+1|\\sin x+|a|=2|a|\\cos x+\\sin x+\\left|2a^2+a\\right|\\]\nне меньше чем \$\\dfrac{\\pi}{2}\$.","answer_text":"\$a\\in\\{-2\\}\\cup\\left[-1-\\dfrac{\\sqrt2}{2};\\,-1\\right]\\cup\\{0\\}\\cup\\{1\\}\$","answer":"\$a\\in\\{-2\\}\\cup\\left[-1-\\dfrac{\\sqrt2}{2};\\,-1\\right]\\cup\\{0\\}\\cup\\{1\\}\$","solution_text":"$5f","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":5,"session":"03","variant_key":"mm1999-03","year":1999},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"7ee08b18-18e8-42f5-8ad4-c094688c771d","name":"Задачи с параметрами","description":null},"tags":[{"id":"63383330-9060-4445-8f93-c53c52a03571","code":"tag-89","name":"Уравнения с параметром"},{"id":"9564a83d-ccf3-4211-91ed-f6f568873b0e","code":"tag-131","name":"Тригонометрические уравнения"},{"id":"cbfcdc3f-7c60-42fd-8b0c-b0e16a570b75","code":"tag-195","name":"Уравнение с модулем"},{"id":"d049c81a-1ded-4ac2-9392-9a84869c2975","code":"tag-197","name":"Неравенства с параметром"}]}},{"problem_id":"a19febb4-8c19-4517-b6cd-5485b03d2a22","collection_id":"ffc9a54e-a819-4198-be65-8fb28ea642fe","display_order":6,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"a19febb4-8c19-4517-b6cd-5485b03d2a22","short_id":18160,"task_number":20,"topic_id":"b37141ac-ec06-41ef-977b-401cb8faa903","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":8,"content_text":"Основание \$H\$ высоты \$SH\$ треугольной пирамиды \$SABC\$ принадлежит грани \$ABC\$, \$SH=\\sqrt{\\dfrac{5}{21}}\$, \$SA=1\$, \$SB=2\$, \$\\angle ASB=120^\\circ\$, \$\\angle ACB=60^\\circ\$. Найти радиус сферы, описанной около пирамиды \$SABC\$.","answer_text":"\$\\frac{\\sqrt{21}}{2}\$","answer":"\$\\frac{\\sqrt{21}}{2}\$","solution_text":"$60","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":6,"session":"03","variant_key":"mm1999-03","year":1999},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"b37141ac-ec06-41ef-977b-401cb8faa903","name":"Сферы","description":null},"tags":[{"id":"adb080da-d269-4b77-8b36-2e33ae3edb83","code":"tag-162","name":"Тетраэдр"},{"id":"b552a6b1-3556-43f3-a502-57911d8e44b8","code":"tag-171","name":"Перпендикулярность прямой и плоскости"},{"id":"c7a9f11c-aee5-4ebf-811d-3d1a226c0716","code":"tag-188","name":"Описанный шар"},{"id":"d910c52b-60cc-47a9-b58b-f21ab0d0fc24","code":"tag-205","name":"Треугольная пирамида"}]}}],"total":6},"serverExams":[{"id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","code":"dvi-math","name":"ДВИ МГУ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"1aed6121-06cc-4a5a-87f5-77de484ebb36","program_code":"dvi","exam_type":"ДВИ","description":"Дополнительное вступительное испытание МГУ им. М.В. Ломоносова по математике. С 2026 года экзамен состоит из двух частей: лёгкий тест с кратким ответом и традиционная письменная часть с полным решением.","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-07-11","metadata":{"duration_minutes":180,"max_secondary_score":100,"mock_exam_enabled":true,"part2_tasks":6,"parts":[{"answer_format":"detailed","part":1,"scale":"linear","slots_in_variant":10,"tasks":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13],"weight":30},{"answer_format":"detailed","part":2,"scale":"score_conversion","slots_in_variant":6,"tasks":[14,15,16,17,18,19,20],"weight":70}],"score_conversion":[2,30,30,35,35,35,35,35,40,40,40,40,40,45,45,45,45,45,50,50,50,50,50,55,55,55,55,55,60,60,60,60,60,65,65,65,65,65,70,70,70,70,70,75,75,75,75,75,80,80,80,80,80,85,85,85,85,85,90,90,90,90,90,95,95,95,95,95,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":10,"15":10,"16":10,"17":10,"18":10,"19":10,"20":10},"structure_2026":{"consultation_video_url":"https://disk.360.yandex.ru/d/NbP139HUZpCPDA","exam_2026":{"exam_date":"2026-07-11","note":"Реальный основной день; в образце Ш12622 тест был из 15 задач.","test_task_count":10,"written_task_count":6},"exam_portal":"https://exam.msu.ru/","official_exam_page":"https://cpk.msu.ru/exam/101","parts":["base","written"],"test_task_count":15},"task_count":7,"task_numbering":"part_relative","year":2026},"created_at":"2026-06-10T20:49:34.08312Z","updated_at":"2026-09-01T00:33:23.788959Z","problem_count":1008,"theory_count":36,"system_collection_count":190},{"id":"3a8471c5-2a11-4932-ba3e-7ab7d1ae7a1d","code":"ege-base","name":"Математика (база) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_base","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Базовый ЕГЭ по математике для получения аттестата","has_part2":false,"max_task_number":21,"exam_date":"2026-06-04","metadata":{"duration_minutes":180,"max_score":21,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":21,"part2_tasks":0,"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":1,"21":1},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","problem_count":8561,"theory_count":85,"system_collection_count":111},{"id":"23f00ba7-bd19-4ca8-9349-5134d88397cf","code":"ege-prof","name":"Математика (профиль) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_prof","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Профильный ЕГЭ по математике для поступающих в технические вузы","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-06-08","metadata":{"duration_minutes":235,"max_score":33,"max_secondary_score":100,"max_task_number":20,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":13,"part2_tasks":7,"score_conversion":[0,6,11,17,22,27,34,40,46,52,58,64,70,72,74,76,78,80,82,84,86,88,90,92,94,95,96,97,98,99,100,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":2,"15":3,"16":2,"17":2,"18":3,"19":4,"20":4},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2026-08-30T23:51:20.728833Z","problem_count":2491,"theory_count":123,"system_collection_count":255},{"id":"b0db9506-ddcf-4200-8815-7a709ea0dc4e","code":"oge-math","name":"ОГЭ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"ff8f63b8-bfcc-47f3-9d55-bc666ee30237","program_code":"oge","exam_type":"ОГЭ","description":"Основной государственный экзамен по математике (9 класс): 25 заданий, 235 минут. Часть 1 — задания 1-19 с кратким ответом (1 балл), часть 2 — задания 20-25 с развёрнутым ответом (2 балла). Максимум 31 первичный балл, итоговая отметка 2-5.","has_part2":true,"max_task_number":25,"metadata":{"duration_minutes":235,"geometry_min_points":2,"geometry_min_points_note":"Для отметки выше 2 необходимо >=2 первичных баллов за геометрию (задания 15-19, 23-25); кодируется в скоринге пробника через geometry_tasks + geometry_min_points (0423)","geometry_tasks":[15,16,17,18,19,23,24,25],"hidden":false,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":19,"part2_tasks":[20,21,22,23,24,25],"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":2,"21":2,"22":2,"23":2,"24":2,"25":2},"task_count":25,"year":2026},"created_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","updated_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","problem_count":2181,"theory_count":104,"system_collection_count":89}]}]]

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ